三维空间的向量2011

三维空间的向量2011 三维空间的向量 平面与直线 【提示】 本章讨论三维空间的向量及其运算——向量加法、数乘向量以及内积，并且利用向量研究平面与直线以及它们之间的位置关系( 线性代数的主要研究对象n维向量是从三维向量的概念发展而来，因此，了解直观的三维空间有助于更好地理解抽象的n维空间(本章中三维向量及其运算首先作为一个几何系统提出，经过空间直角坐标系建立向量的坐标后，转化为一个代数系统(这两个系统之间保持着完全的一致性，这一过程再现了人类的认识过程(对一组三维向量位置关系的讨论为下一步研究n维向量组的线性关系提供了直观的背景材料(而平面与直线对研究线性方程组提供了直观背景( 第一节 三维向量及其线性运算 在中学物理中讨论过一种既有大小又有方向的量，称为矢量，例如力、速度、位移等等(在数学中这种量称为向量(物理学中的矢量大多除了大小、方向外，还与起点(或作用点等)有关，而本中讨论的向量与起点无关，即:大小相等、方向一致的向量被认为是相等的，而无论它的起点在那里，这种向量称为自由向量(通常将向量看作一个有向线段，有向 称为向量的模(或长度)，有向线段的方向表示向量的方线段的长度表示向量的大小， 向(以点A为起点、点B为终点的向量记作，有时也用粗斜体字母表示三维向量，例AB 如a，b，r等等(向量a的模用|a|表示，||=|AB|(|AB|表示线段AB的长度)(模为1的向AB 量称为单位向量，模为0的向量称为零向量，通常用o表示，零向量的方向被认为是任意的(如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量共线，向量a与b共线记作a//b(零向量方向任意，因此认为零向量与任何向量共线(如果一组向量可以放到同一个平面上，则称这组向量共面(共线的向量一定共面( 一、向量的线性运算 1、 向量加法 a+b a+b 图1 图2 b b a a a，b是两个向量，将向量b的起点放在向量a的终点，以a的起点为起点，b的终点为终点的向量‎‎称为向量a与b的和，记作a+b，(见图1)(例AB，BC,AC如(称这种为三角形法(物理学中力的合成、位移的叠加就是向量加法的实际应用(用中学物理学中定义力的合成的平行四边形法也可以计算向量的加法，其结果是一致的((见图2) 2、数乘向量 k是个实数，a是个向量，依照下列方‎‎法定义的向量称为k与的数量乘a积，记作ka( ka的大小依下列规定‎‎:|ka|=|k||a|;其中|ka|表示ka的模，|k|表示k的绝对值，|a|表示a的模(ka的方向遵循下列规‎‎定:若k>0，ka与a方向相同，若k<0，ka与a方向相反(若k=0，依照模与零向量的规定，ka=o( 向量加法与数乘向量合称向量的线性运算( a，a，„，as是一组向量，k，k，„，k 是一组实数，ka+ka+„+ksas称为向量1212s1122 线性组合(如果存在一组实数k1，k，„，k，使得 组a，a，„，as的一个2s12 b=ka+ka+„+ka，则称b可以被向量组a，a，„，as线性表示或线性表‎‎出，其中k，1122ss121k，„，ks称为组合系数( 2 不难验证，向量的线性运算满足下列运算法则: (1)向量加法满足交换律，即 a+b=b+a; (1) 这从图2中即可看出( (2)向量加法满足结合律，即 (a+b)+c =a+(b+c); (2) 图3 三个向量的和向量是以这三个向量为三条棱的平行六 面体的体对角线(对顶线)，而其中两个向量的和是它们所在的侧面的对角线，再与第三条棱相加即得到体对角线，这与相加的先后顺序无关((见图3) 零向量o在向量加法中有着特殊的地位，即: 3)对于任意向量a，有a+o=a; (3) ( 在三维空间全部向量的范围内，对于每一个向量，都一定存在一个和它大小相等，方向相反的向量，用一个数学表达式来表示，即: (4)对于任意向量a，一定存在一个向量b，使a+b=o; (4) 我们称这个向量b为向量a的负向量，用-a表示( (5)对于任意向量a，1a=a; (5) (6)k，l是任意两个实数，(kl) a=k(la) (6) (7)(k+l) a=ka+la; (7) (8)k(a+b)= ka+kb( (8) 这八条运算法则是线性运算最基本的法则(看起来这些法则都是很显然的，有些甚至好象没必要，然而，人们通过长期实践观察，发现这八条法则每一条都是独立的，即其中任何一条都不能用逻辑手段通过其它几条推导出来，但是线性运算的全部性质都可以利用这八条法则推导出来，而如果缺少其中任何一条则有些性质不能通过逻辑推导出来(因此，在线性代数中，这八条法则称为线性运算公理系统，它是线性代数的理论基础(除这八条法则外，线性运算还满足下列几条主要性质: 零向量的唯一性——在全部三维向量中，只存在唯一一个零向量( 负向量的唯一性——任意向量只有唯一一个负向量( 对于任意向量a，0a=o; (9) 对于任意实数k，ko=o; (10) 对于任意向量a，(-1)a= -a; (11) 如果ka=o，那么，k=0或a=o中至少有一个成立(称为消去律‎‎)( (12) 规定a-b=a+(-b)，因此，向量的减法不被看作是个独立的运算(不难看出，a-b是以b的终点为起点‎‎，以a的终点为终点的向量( 例1 用向量证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形( 证明:如图，设四边形ABCD的对角线AC与BD交于O点，因为O点平分AC、BD， D 所以向量 =，= AOOCDOOBC O 又 =+，=+ B AOOBDCDOOCABA 所以=(向量相等包括:长度相等，方向一致)( DCAB 即:四边形ABCD的一组对边平行且‎‎相等， ABCD是平行四边形‎‎( 从这个例子可以看出，用向量处理几何问往往非常简练( 二、向量的共线与共面 定理1.1 (数轴原理)如果向量a?o，那么向量b与向量a共线的充分必要条件是:存在唯一一个实数λ，使b=λa( 证明:由数乘向量的定义(充分性是显然的(下面证明必要性: b设 b//a，取λ满足: |λ|=，当b与a同向时，λ=|λ|;当b与a反向时，λ= -|λ|( a 用数乘向量的定义可以验证，b=λa( 证明λ的唯一性:如果存在λ，λ，使λa=b，λa=b，则有λ1a-λa=o，即(λ-λ) a=o1212212 由消去律，因为a?o，所以λ-λ=0，即λ=λ(? (向量线性运算的基本性质7)(1212 这个定理也可以这样叙述:一条直线上的所有向量都可以被这条直线上的一个非零向量线性表出，并且，表示方法是唯一的(这个定理是建立数轴的理论基础( 推论 向量a，b共线的充分必要条件‎‎是:存在不全为零的实数，λλ，使 12 λa+λb=o 12 λ2证明:首先证明充分性:不妨设λ1?0，则a=b，因此a//b( ,λ1 证明必要性:若a，b都是零向量，结论成立(如果a?o，由定理1.1，b=λa，即-λa+1b=o? 过去我们熟悉的数轴是:在一条直线上取定一个坐标原点O与单位长度1，直线上任意 OP一点P对应唯一一个实数x(称为P点的坐标)，x的绝对值等于线段的‎‎长度(或P点到O点的距离)，当P点在O点右侧时x为正，当P点在O点左侧时x为负( 下面我们利用定理1.1建立数轴上的点与实数的对应法则: i i是个与直线l平行的单位向量，O是l上一定点，P是直线l上? l ? O P OPOP任意一点，做向量，由于与i共线并且i?o，所以存在唯一图4 OP一个实数λ，使,λi，λ即,点的坐标((图,)不难看出，两种 方法建立的直线上点与实数的对应关系是一致的( 将定理1.1推广到平面，我们有 定理1.2 平面上所有向量可以被这个平面上两个不共线的向量线性表出，并且表示方法是唯一的( 证明:a，b是平面π上两个不共线的向量，(因为零向量与任何向量共线，所以a、b l1 P B c A a O l2 图5 b 都不会是零向量)，c是平面π上任一向量‎‎(设c的起点为O，终点为P，即c=(将a、OPb的起点放在O点(从P点做两条直线l1，l2分别平行于向量a、所在直线b(因为:a、b不共线，并且P点在a、b所在的平面上，所以l2一定与a所在直线相交，设交点为A;一l1 b所在直线相交，设交点为B(四边形OAPB是平行四边形，OP是它的对角线，定与 c==+(因为//a，//b，并且a，b都不是零向量(由定理1.1，存在唯一OPOAOBOAOB 一组实数k1，k，使得 c= ka+kb(? 212 推论1 三向量共面的充分必要条件是:其中一个向量可以被其余向量线性表出( 证明:充分性显然(必要性:设向量a，b，c共面，如果a，b共线，由定理1.1，结论成立(如果a，b不共线，由定理1.2，结论成立( 推论2 三向量a，b，c共面的充分必要条件‎‎是:存在不全为零的实数，λλ，λ，使123 λa+λb+λc= o( 123 向量的共线与共面统称为线性相关(一般地，如果存在不全为零的实，λ数，„，λλ，12s使λ1a1+λa+„+λa=o，则称向量a，a，„，a，否则称为线性无关(不难得到一线性相关2 2s s 1 2 s 组向量线性相关的充分必要条件是:其中一个向量可以被其余向量线性表出( 请读者试着证明(参考图3): 定理1.3 三维空间任意向量可以被三个不共面的向量线性表出，并且表示方法是唯一的( 推论 三维空间任意四个或更多向量线性相关( 第二节 向量的坐标 一、 空间直角坐标系 在空间选定一点O作为坐标原点，以O点为起点做三条相 z 互垂直的数轴，分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴(简称x轴，y轴，C z轴)，就构成一个空间直角坐标系，记这个坐标系为[O;x， P(a,b,c) y，z](让这三条轴的排列顺序依照右手法则，即令右手拇指竖起O 指向Oz轴的正向，其余四指伸‎‎开指向Ox轴正向，然后旋转弯y B A ,x 曲指向Oy轴正向((也可以令右手的拇指、食指、中指相互2图6 垂直，它们依次指向Ox轴、Oy轴、Oz轴的正向)，这个坐标 系称为右手系(坐标系中的每两条轴确定一个平面，分别称为XOY坐标面、YOZ坐标面、XOZ坐标面(P是空间一点，过P点分别做与Ox轴、Oy轴、Oz轴垂直的平面，每个平面与坐标轴有一个交点，与Ox轴的交点对应实数a、与Oy轴的交点对应实数b、与Oz轴的交点对应实数c，则三元有序数组(a，b，c)称为P点的坐标(见图6)(空间每一个点都对应一组坐标，不同点的坐标不相同(反之，任给一个三元有序数组(a，b，c)，在Ox轴上选定实数a所对应的点，在Oy轴上选定实数b所对应的点，在Oz轴上选定实数c所对应的点，分别过这三个点做与Ox轴、Oy轴、Oz轴垂直的平面，这三个平面‎‎两两垂直，因此，有唯一一个交点，三元有序数组(a，b，c)就是这个交点的坐标(不同的三元有序数组对应的交点也不相同(所以，在空间建立一个直角坐标系后，空间的点与它的坐标即三元有序数组(a，b，c)之间存在一一对应关系(今后我们经常记坐标为(a，b，c)的点P为P(a，b，c)( 二、 向量的坐标 r是个向量，在空间建立‎‎直角坐标系[O;x，y，z]，将r的起点放到坐标原点O，设r的终点为P，即r=，若P点坐标为(a，b，c)，则定义三元有序数组(a，b，c)为向量r的OP 坐标，记作r=(a，b，c)((注意:向量的坐标与点P的坐标表示方法不同，分别为:OP 点P(a，b，c)与向量=(a，b，c)() OP 以上是用通常的方法定义向量的坐标(为了进一步研究向量，下面用单位向量的观点定义向量的坐标( z 以空间一点O为起点，做三个相互垂直(两两垂直)的单C 位向量i，j，k，这三个向量的顺序符合右手法则，即构成一个空k r (a,b,c) 间直角坐标系，记作[O;i，j，k]，(图7)({i，j，k }称为这个O j y 坐标系的基向量组，也叫坐标基架，简称基(由于它们相互垂直B A i 并且都是单位向量，所以称为正交基(将向量r分解为三个x 图7 向量，，之和， OAOBOC r=++ OAOBOC 其中，，分别与i，j，k共线，由上一节定理1.3，这个分解式是唯一的(而由OAOBOC 上一节定理1.1，存在唯一一个三元有序数组(a，b，c)，使 =ai，=bj，=ck OAOBOC 即 r=ai+bj+ck (1) 三元有序数组(a，b，c)称为向量r的坐标，记作 r=(a，b，c) (2) (1)式称为向量r的分量表达式，(2)式称为向量r的坐标表达式，其中a、b、c分别称为向量r的第一、第二、第三分量(对照图6、图7，显然对于同一个向量，两种定义是一致 的(而采用第二种定义，下面我们将看到，等式 r=(a，b，c)=ai+bj+ck (3) 有着非常重要的作用((注:点的坐标与坐标系的原点有关，而自由向量的坐标与坐标系的原点无关(事实上，用上述方法建立坐标系与定义向量的坐标并不需要坐标原点，今后我们经常记坐标系[O;i，j，k]为{i，j，k})( 例1 i=(1，0，0)，j =(0，1，0)，k=(0，0，1);o =(0，0，0)( 三、 用坐标进行向量运算 向量加法:设a的坐标为(a，a，a)，b的坐标为(b，b，b)，则 123123 a =(a，a，a)= ai+aj+ak;b=(b，b，b)= bi+b j +bk 123123123123 a +b=(ai+aj +ak)+(bi+b j +bk)=(a+b) i+(a+b) j +(a+b) k 123123112233由(1)式，(a+b，a+b，a+b)就是a +b的坐标( 112233 数乘向量:λa =λ(ai+aj+ak)=λai+λa j +λak;(λa，λa，λa)就是λa的坐标( 123123123 因此， a +b=(a，a，a)+(b，b，b)=(a+b，a+b， a+b); (4) 123123112233 λa =λ(a，a，a)=(λa，λa，λa) (5) 123123 向量的模(长度):r=(a，b，c)，将向量r的起点放在坐标原点O，设终点为P，则r=，OP由图7，r的模|r|就是P点到原点的距离(因为线段O是以POA，OB，OC为三条棱的长方体的体对角线，所以 222|r|= (6) a，b，c 例2 A点坐标为(a，a，a)，B点坐标为(b，b，b)，求向量的坐标 AB123123 解:因为+=，即=–， OAOBOBOAABAB 而 =(b，b，b)，=(a，a，a) OBOA123123 所以， =(b，b，b)–(a，a，a)=(b–a，b–a，b–a)( AB123123112233 因为向量的模等于A，B两点之间的距离，由此得到空‎‎间两点A(a，a，a)、BAB123(b，b，b)之间的距离公式: 123 222(b,a)，(b,a)，(b,a) (7) d (A，B)=112233 四、 向量的方向角与方向余弦 首先定义两向量之间的夹角:设a、都是非零b向量，将a、b的起点放在一起，将a、b看成两条边，就形成两个‎‎角，规定其中不超过π的那个角为向量之间的夹a、b角(记作< a，b>(显然0?< a，b>? π(将向量r的起点放在空间直角坐标系的原点，用角α，β，γ分别表示r与x轴，y轴，轴的夹角z(即α=;β=;γ=，数组(α，β，γ)称为向量r的方向角(零向量不确定方向，因此零向量没有方向角(任何非零向量都有唯一一组方向角(用向量的方向角可以表示向量的方向，但是，任意三个角不一定构成一组方向角，构成一组方向角的三个角之间应该满足的数量关系也不是很明显的，所以用方向角表示向量的方向不很方便(向量的方向通常用方向余弦表示(如果向量r?o，称(cosα，cosβ，cosγ)为r的方向余弦，其中α，β，γ是向量r的方向角(由于当0 ?x?π时，余弦函数cos x单调，所以方向角与方向余弦一一对应(如果r=(x，y，z)，显然有 xyzcosα=;cosβ=，cosγ=， (8) rrr 或 x=|r|cosα， y=|r|cosβ，z=|r|cosγ( (8’) 不难看出， cos2α+cos2β+cos2γ=1 (9) 这也是一组数构成一个向量的方向余弦的充分必要条件(如果将一个向量的方向余弦也看作是一个向量，显然它是与这个向量方向一致的一个单位向量(如果r?o，用r0表示与r方向一致的单位向量: 10r=r( (10) r 一个向量可以用其模与方向余弦表示为: r=|r|(cosα，cosβ，cosγ)( (11) 0或 r=|r|r (11’) 例3 求与三个坐标轴夹角相等的方向角( 解:设此方向角为(α，β，γ)，因为 α=β=γ， cos2α+cos2β+cos2γ=1 1解得 cosα=cosβ=cosγ=(满足这一条件的角有两个，即 , 3 1111(arccos，arccos，arccos)， (arccos，约0.3π)， 3333 ,1,1,1,1与 (arccos，arccos，arccos)， (arccos，约0.8π)( 3333 第三节 向量的内积 一、内积的定义 矢量)的作用下经过位移s(矢量)所做的功w(标量)等在物理学中一个质点在力F( 于这个力在位移方向上的分力乘以位移的距离(w可以用F与s的运算表示为 w=|F||s|cos 定义1.1 向量a、b的模|a|、|b|以及a、b之间夹角余弦的乘积称为向量a与b的内积(记作a?b(读作“a 点b”，内积亦称点积)(即 a?b=|a||b|cos (1) 向量的内积是个数量，是用两个向量运算出的一个数量( 二、内积的性质 由内积的定义可以直接看出向量的内积满足交换率 1、a?b=b?a (2) 这一性质称为向量的内积具有对称性( 2、a?(b+c)=a?b+a?c (3) 证明:图8中的两个平面都与向量a所在直线垂直，的b c的起点在平面1上，的终点在c平面2上，因此b+c终点即1 的终点也在平面2上(两条虚线分别在两个平面上，所以都2 b c 与a所在直线垂直(因此可以看出: b+c |b+c|cos=|AC|;|b|cos=|AB|; |c|cos=|BC|(所以， A B C a |b+c|cos=|b|cos+|c|cos 由此得到向量的内积与加法满足分配律(? 图8 (注:内积运算优先于加法运算，所以(3)式右端没有加括号) 3、(λa)?b=λ(a?b)=a?(λb) (4) (4)式称为准结合律(我们只证明前一个等式，由交换律即可得到第二个等式: 由定义 (λa)?b=|λa||b|cos<λa，b>; |λa|=|λ||a|， 当λ ? 0时， |λa|=λ|a|，<λa, b>=( 所以 (λa)?b=|λa||b||cos<λa，b>=λ|a||b|cos=λ(a?b); |= ?λ|a|，<λa，b>=π?，cos<λa，b>= ?cos( 当λ<0时， |λa 所以 (λa)?b=|λa||b||cos<λa，b>=?λ|a||b|(?cos)=λ(a?b)(? 注意上式等号左边λa是数量与向量的数乘运算，λ(a?b)是数量λ与数量a的普通乘?b法( 性质2、3合称为向量的内积具有线性性( 4、a?a ? 0;当且仅当a=o时，a?a=0 (称为向量的内积具有正定性) 2今后我们记a?a为a( 当a、b中有一个是零向量时‎‎，显然a?b=0(因为零向量不确定方向，可以认为零向量垂直于任意向量(从向量内积的定义可以看出， 定理1.4 a?b=0的充分必要条件是a?b( 设 r=(a，b，c)=ai+bj+ck r?i=(ai+bj+ck)?i=a; 或 r?i=|r|cos=a; r?j=(ai+bj+ck)?j= b; 或 r?j=|r|cos=b; r?k=(ai+bj+ck)?k=c( 或 r?k=|r|cos=c( 向量的坐标就是这个向量与基向量组的内积(从右边三个式子也可以看出用向量方法建立坐标系与定义向量的坐标并不需要坐标原点，用基本单位向量组{i，j，k}就可以建立坐标系(因为空间任意向量都可以被三个不共面的向量唯一分解，即使{i，j，k}不相互垂直，只要它们不共面，就可以作为坐标系的基来建立坐标系(这种不需要基本单位向量相互垂直的坐标系称为仿射坐标系( 三、用坐标计算向量的内积 设a的坐标为(a，a，a)，b的坐标为(b，b，b)，即 123123 a=(a，a，a)=ai+aj+ak，b=(b，b，b)=bi+bj+bk 123123123123 a?b=(ai+aj+ak)?(bi+bj+bk)=ab+ab+ab，所以 123123112233 3 a?b= (5) ab,iii,1 例1 用内积表示向量的模与两个向量之间的夹角( 322a由内积定义得到: |a|== (6) a,ii1, 此处a2表示a?a( 如果a、b都不是零向量，则 3 ab,iiab?i,1cos== (7) 33ab22ab,,iii,1i,1 零向量不确定方向，因而也不存在与其它向量的夹角( |cos<,b>|?1，得到一个代数中很重要的不等式， 由a 33322? ab||ab,,,iiiii,1ii11,, 等号成立的充分必要条件是，aa，a3与b1，b，b3成比例，在几何中就‎‎是//b(这个不等a122 式可以推广到n项( 例2 设c=a―b，则c?c=(a―b)?(a―b)=a?a+b?b―2a?b 222即 |c|=| a |+|b|―2| a ||b| cos< a, b>( A 图9中，a =，b=，c=，|a|=|CB|=a，|b|=|CA|=b，CBCAAB 222C B |c|=|AB|=c(以上等式就是余弦定理:=ca+b―2abcos?C 图9 例3 证明平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和(广义勾股定理)( D 如图10，AC与BD是平行四边形ABCD的对角线( C ;=;= AB，BCBC，CDAC,CDBD,ABA B 图10 22222=+=+AC，BD(AB，BC)(BC，CD)(AB，BC) 2 (BC,AB) ,,,,,,,,,,,,,,,,222222，2ABBC•,2ABBC•=+ =2() AB，BCAB，BCAB，BC 222222即 =+ |AC|，|BD||AB|，|BC||CD|，|AD| 第四节 三维空间的平面与直线 一、平面及其方程 经过空间一点可以且只能做一个平面与已知直线垂直(设n是一个非零向量，如果它与 平面Π垂直，则称n为π的法向量(给定平面π上一个定点M0与π的法向量n，这个平面就完全确定了(下面讨论在空间直角坐标系[O;x，y，z]下过定点M(x，y，z)，以非零0000向量n =(a，b，c)为法向量的平面方程(见图11)( 设M(x，y，z)为空间一动点，M点在π上的充分必要,n 条件是:向量与n垂直，而两向量垂直的充分必要条MM0M0 M Π 件是内积为0，即 n?=0(将n与的坐标代入，MMMM00图11 得到 a(x–x)+b(y–y)+ c(z–z)=0 (1) 000 称为平面的点法式方程( 任何平面上都存在点，都有法向量，所以，任何平面的方程都是一次方程，今后我们称一次方程为线性方程(那么，是否任何一个线性方程都表示一个平面呢,三个变量的线性方程的一般形式为 ax+by+cz+d=0 (2) 其中a，b，c0(这个方程显然一定有解(设(，xy，z)是方程(2)的一组解，则 不全为000 ax+by+cz+d=0 (3) 000 (2)式减(3)式，得到a(x–x)+b(y–y)+c(z–z)=0这是一个经过点(x，y，z)，以n=(a，b，c)为000000法向量的平面方程(方程(2)称为平面的一般方程(综上所述，任何平面的方程都是线性方程，任何线性方程都表示平面( 例1 方程x+2y–5z+3=0表示一个平面，(1，2，-5)是它的一个法向量(将它化为点法式方程: 解:(0，1，1)是方程的一组解，所以这个平面的点法式方程为: x+2(y–1)–5(z–1)=0 例2 方程 x+2y–5z=0 表示一个平面，(1，2，-5)是它的一个法向量，方程常数项为0，故(0，0，0)是方程的解，这个平面经过坐标原点( z 例3 方程 x+2y–1=0 表示一个平面，n =(1，2，0)是它的一 个法向量，因为n垂直于z轴，所以这个平面平行于z轴(注意 方程x+2y–1=0在平面直角坐标系中表示一条直线，而在空间O 它可以看作是XOY平面上的直直角坐标系中表示一个平面，y 线x+2y–1=0沿着平行于z轴方向延伸而成((见图12) x 例4 求经过点(1，2，3)，法向量平行于y轴的平面方 程( 图12 解:j=(0，1，0)平行于y轴，取j为这个平面的法向量(所 求平面方程为y–2=0，或写作y=2(这个平面垂直于y轴( 例5 求经过点(1，2，–3)与x轴的平面方程( 解:经过点(1，2，-3)的平面方程为 a(x–1)+b(y–2)+c(z+3)=0 因为x轴在平面上，所以它的法向量垂直于i，(a，b，c)与i=(1，0，0)的内积为0，得到a=0(由于平面经过x轴，所以坐标原点在平面上，将(0，0，0)代入 b(y–2)+c(z+3)=0 得到 –2b+3c=0 取c=2，b=3(所求方程为 3(y–2)+2(z+3)=0 二、平面与平面的位置关系 Π、Π2是空间两个平面，它们的方程分别为 1 ax+by+cz+d=0; 1111 ax+by+cz+d=0 2222 n=(a，b，c)，n=(a，b，c)分别为π1、Π2的法向量(两个平面之间的位置关11112222 系可以通过它们的法向量之间关系反映出来( 当n// n时，显然有π1//(Π根据向量共线的充分必要条件，因为、nn向量，都不是零 1 221 2所以存在λ? 0，使n=λn(若同时d1=λd，则两平面重合(若d? λd，则两平面平行而不 1 2212 重合，此时两平面没有公共点，与此相对应的是方程组 ax+by+cz+d=0 1111 (4) ax+by+cz+d=0 2222{ 无解((两个方程不相容)(若n、n不共线，即(a，b，c)与(a，b，c)不成比例， 1 2111222则两平面相交，它们的公共部分是一条直线，方程组(4)有无穷多组解( ,两平面之间的夹角(平面角):当0 ? < n，n> ? 时就是n与n的夹角< n， 1 2 1 2 12 ,n>，当< < n，n> ? 时是< n，n>(所以两平面之间的夹角 ,,, 2 1 2 1 22 nn?12<Π，Π>=arccos (5) 12nn12 例6 求过点P(x，y，z)且与平面ax+by+cz+d=0平行的平面方程( 000 解:过一点与一已知平面平行的平面是唯一确定的(因为所求平面与平面ax+by+cz+d=0平行，所以，可以取n =(a，b，c)为它的法向量，所求平面方程为 a(x–x)+b(y–y)+ c(z–z)=0 000 例7 求过点P(1，3，-2)且与平面2x–y+3z–1=0和x+2y+2z–4=0都垂直的平面方程( 解:当两个平面不平行时，过一点且与这两个平面都垂直的平面是唯一确定的( 设所求平面Π的方程为a(x–1)+b(y–3)+ c(z+2)=0，其法向量是n =(a，b，c)，由π与两 (2，-1，3)，n?(1，2，2)，即 个平面都垂直可知，n? 2a-b+3c=0 { a+2b+2c=0 解此方程组，取其一组解a=8，b=1， c=-5(所求平面π的方程为8(x–1)+(y–3)-5(z+2)=0 请读者考虑:若两个已知平面平行，此时所给条件不能确定平面，按照以上方法求解平面方程会遇到什么问题, 三、空间直线及其方程 平面Π、Π2的方程分别为 1 ax+by+cz+d=0; ax+by+cz+d=0 11112222 n=(a，b，c)与n=(a，b，c)分别为π1、Π2的法向量(当n、n，两不共线时 1111 2222 1 2平面的公共部分是一条直线，所以方程组 ax+by+cz+d=0 1111 (6) ax+by+cz+d=0 2222{ (a，b，c1与a2，b，c2不成比例) 112 表示一条直线，称为直线的一般方程( M(x，y，z)是空间一定点，r=(m，n，p)是一个非零向量，经过M0且平行于r0000 的直线是唯一确定的，下面推导它的方程: r 过M0做一条直线l与r平行，M(x，y，z) 是空间一动点(M点在直线l上的充分必要条件是M 0M l •• • • 图13 • O :向量//r(因为r不是零向量，根据向量共线的充分必要条件，存在λ，使MM0 =λr MM0 即 (x-x，y-y，z-z)=λ(m，n，p) 000 令λ取遍全体实数，得到动点M的轨迹就是直线l(将这个向量方程展开，得到 x=x+λm 0 y=y+λn (7) 0{ z=z+λp 0 称为直线的参数方程(参看图13( 它的向量形式是 (x，y，z)=(x，y，z)+λ(m，n，p)( (8) 000 请读者根据图13中的虚线给出向量解释( 将直线的参数方程改写为 xxyyzz,,,000 (9) ,,mnp 称为直线的点向式方程或对称式方程或标准方程(注意当分母中含有0时，例如 m=0， 而n，p均不为0时，这个式子表示 x=x 0 yyzz,,{ 00 ,np 直线与直线的夹角 直线l1与l2的方程分别为 xxyyzz,,,xxyyzz,,,111222; ,,,,mnpmnp111222 ,l1与l2的夹角(0~)就是它们方向向量r1=(m，n，p)与r=(m，n，p)之间11122222 的夹角或其补角(所以: rr?12cos=|cos< r, r>|= (10) 1212rr12 直线与平面的夹角 xxyyzz,,,000设直线l的方程为 ， ,,r n mnp 平面π的方程为 ax+by+cz+d=0，( 直线的方向向量r=(m，n，p)与平面的法向量n =(a，b，c) 图14 ,之间夹角为，直线与平面的夹角就是|-|，所以2 rn? sin=|cos|= (11) rn 例8 将下列直线的一般方l程化为对称‎‎式方程与参数方程( 2x–y+3z–1=0 (l) { x+2y+2z–4=0 解:直线l的一般方程是用两个平面方程联立来表示两个平面的交线l，因为l同时在两 个平面上，所以与两个平面的法向量都垂直( 设直线l的方向向量为r =(m，n，p)，方程组 2m-n+3p=0 m+2n+2p=0 { 的解即为直线l的方向向量(取方程组的一组非零解 r=(8，1，-5)( 再求出直线上的l 一个点:取方程组(l)的一组解(-2，1，2)，得到直线l的对称式方程为 任意 x，2y,1z,2,, 81,5 参数方程为 x=-2+8λ y=1+λ { z=2-5λ 参数方程的向量形式为 (x，y，z)=(-2，1，2)+λ(8，1，-5) 例9 求过点(x，y，z)与平面ax+by+cz+d=0垂直的直线方程以及垂足坐标( 000 xxyyzz,,,000解:设所求直线l的方程为(因为l与平面ax+by+cz+d=0垂直，,,mnp 所以l的方向向量与平面的法向量平行，所求直线l的方程为 xxyyzz,,,000,,( abc 将直线方程与平面方程联立，即可求出交点即垂足的坐标((注意直线的对称式方程实际上 是两个方程联立)( 例10 M(x，y，z)是空间一点，平面π的方程为ax+by+cz+d=0(求点M0到平面π0000 的距离( 解:这个问题可以利用例9的方法求出垂足坐标，然后求出两点距离即点到平面距离(但是这个方法比较麻烦，下面我们探讨用其它方法求解( 参看图14，在平面π上任取一点M，设其坐标为(x，y，z)，做向量 1111 ,,,,,,,, =(x-x，y-y，z-z) MM01010110 ,,,,,,,,,,,,,,,, 则M0到π的距离就等于的模乘以MMMM与π的法向量n =(a，b，c)的余弦的绝对1010 ,,,,,,,,,,,,,,,, 值，即:d(M，Π)=||MM|cos| 01010M0 其中d(M，Π)表示M0到Π的距离(利用向量的内积， 0n M1 Π 图15 ,,,,,,,, MM?n10得到 d(M，Π)= 0n ,,,,,,,, 将与n的坐标代入，得到 MM10 1d(M，Π)= [()()()]axxbyyazz,，,，,0010101222abc，， 注意到(x，y，z)为平面上一点M1的坐标，所以，Π的一般方程ax+by+cz+d=0可以写111 成点法式方程a(x–)+xb(y–y)+ c(z–z)=0(因此， 111 = a(x,x)，b(y,y)，a(z,z)ax，by，cz，d010101000 1(ax，by，cz，d)方程 =0 (12) 222a，b，c (,,)abc0是以单位向量n=为法向量的平面方程，称为平面的法式方程(点M0到平222abc，， 面π的距离就是将点的坐标代入平面的法式方程的左边，然后取绝对值( axbyczd，，，000d(M，Π)= (13) 0222abc，， 过空间一点P向一个平面π引垂线，垂足称为点在这个平P面上的投影‎‎，平面π称为投影面(一条曲线上各点在一个平面上的投影所形成的曲线称为这条曲线在这个平面上的投影(一条直线l在一个平面Π上的投影是一条直线( 例11 求直线l在平面π上的投影(其中l和π的方程分别为: x+y–z–1=0 (l) { x–y+z+1=0 与 x+y+z=0 (Π) 直线l在平面Π上的投影是过直线做一个与l投影面π垂直的平面π(称为投影平‎‎面)1与π的交线(因此，只要求出πΠ联立即可( 的方程与1 方法一、 设π1的方程为 ax+by+cz+d=0 因为π1过直线l，所以直线l上任意一点满足π1的方程(1)，并且π1的法向量与l的方向向量垂直(2)(又π1与π垂直，所以π1与Π的法向量相互垂直(3)(将此三个条件联立即可求出a、b、c、d之间的关系，从而求出π的方程( 1 但是此题直线用一般方程给出，所以上述方法比较麻烦，要求解两个方程组(下面我们利用平面束方程求解( ax+by+cz+d=0 1111(l) { ax+by+cz+d=0 2222 是直线的一般方程，方程 λ(ax+by+cz+d)+λ(ax+by+cz+d)=0表示一个平面，显然满1111122222 足直线方程(l)的点都满足此方程，所以，此方程代表所有经过l的平面，称为过l的平面束方程( 设π1的方程为 x+y–z–1+λ(x–y+z+1)=0 Π1 l Π 图16 即 (1+λ)x+(1–λ)y+(λ–1)z+λ–1=0 (这个平面束方程中不包括后一个平面x–y+z+1=0，由于这个平面显然不是所求平面，π1这个假设是合理的)( 因为Π?Π，所以 1(1+λ)+1(1–λ)+1(λ–1)=0 1 解得 λ= –1(所求投影方程为 x+y+z=0 { y–z–1=0 四、直线之间的位置关系 直线与直线之间的关系有:重合、平行而不重合、相交、异面(前三种均为共面( 设直线l1与l2的方程分别为 xxyyzz,,,xxyyzz,,,111222; ,,,,mnpmnp111222 r=(m，n，p)、r=(m，n，p)分别为l1与l2的方向向量(M(x，y，z)、M(x，11112222)111122 ,,,,,,,, y，z)分别为l1与l2上的点(作向量，两条直线共面的充分必要条件是三向量共面( MM2212 两条直线平行即r//r，其充分必要条件是(m，n，p)与(m，n，p)成比例( 12111222 ,,,,,,,, 考察向量方程 λr+λr= MM112212, r21、 如果r//r2且方程有解，则两直线重合; 1M1 M2 ,2、 如果r//r2且方程无解，则两直线平‎‎行而不重合; 1r 1l2 3、 如果r、r2不共线且方程有解‎‎，则两直线相交; 1l1 4、 如果r、r2不共线且方程无解‎‎，则两直线异面; 1 图17 五、直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有:直线与平面相交;直线在平面上;直线在平面外( 设直线l的参数方程为 x=x+λm 0 y=y+λn (l) 0{ z=z+λp 0 平面π的方程为 ax+by+cz+d=0 (Π) 将(l)代入(Π):a(x+λm)+b(y+λn)+c(z+λp)+d=0(得到一个关于λ的方程 000 (am+bn+cp)λ+(ax+by+cz+d)=0 (λ) 000 1、 直线与平面相交:方程(λ)有唯一解， 即:am+bn+cp?0; 2、 直线在平面上:方程(λ)无穷多解， 即:am+bn+cp=0，并且ax0+by+cz+d=0; 00 3、 直线在平面外:方程(λ)无解， 即:am+bn+cp=0，并且ax0+by+cz+d?00 0( 请读者分析am+bn+cp?0;am+bn+cp=0;ax+by+cz+d=0;ax+by+cz+d?0分别代表000000什么，可以看出这三个条件的几何意义( 如果直线方程以一般方程给出，直线与平面的位置关系应该如何讨论, 第五节 坐标变换 一、坐标系的平移 将空间直角坐标系 [O;i，j，k](为方便计暂且称其为“旧”坐标系)平行移动到新的坐标原点O’(x，y，z)，得到直角坐标系[O';i，j，k](暂000k 称为“新”坐标系)，i，j，k为坐标轴上的单位向‎‎量，即一个P k 标准正交基(P是空间一点，P点在旧坐标系和新坐‎‎标系下的坐j O i j O’ 标分别为(x，y，z)与(x'，y'，z')(做向量， OPi 图18 =+ (1) OPOO'O'P =xi+yj+zk，= xi+yj+zk，=x'i+y'j+z'k (2) OPOO'O'P000 将(2)式代入(1)式，比较系数，由于i，j，k是一组基，而向量在基‎‎下的分解是唯一的，得到坐标平移公式: x=x'+ x0 y=y'+ y(3) 0 { z=z'+ z 0 请读者考虑:向量的坐标在坐标系的平移下有无变化( 二、坐标系的旋转变换 将空间直角坐标系 [O;i，j，k](“旧”坐标系)绕坐标原点旋转为直角坐标系[O;i'，j'，k'](“新”坐标系)，{i，j，k}与{i'，j'，k'}分别为新旧坐标系的标准正交基(它们之间的夹角余弦如下表: j i' i' j' k' j' i cosα1cosα2 cosα3 i j cosβ1cosβ2 cosβ3 k k' k cosγ1cosγ2 cosγ3 图19 显然，新坐标系的基向量组在旧坐标系下的坐标为 i'=(cosα1，cosβ1，cosγ1)， j'=(cosα2，cosβ2，cosγ2)， (4) k'=(cosα3，cosβ3，cosγ3) { P是空间一点，P点在坐标系[O;i，j，k]下的坐标为(x，y，z)，在坐标系[O;i'，j'，k']下的坐标为(x'，y'，z')(因此，向量 OP=xi+yj+zk= x' i'+ y'j'+z'k'， (5) 将(4)式代入(5)式右边，重新集项，由于i，j，k是坐标系的基向量组‎‎，任何向量在一组基下的分解式是唯一的，所以等式两边i，的系数相j，k等，得到坐标变‎‎换公式 x=x'cosα1+y'cosα2+z'cosα3 y=x'cosβ1+y'cosβ2+z'cosβ3 (6) { z=x'cosγ1+y'cosγ2+z'cosγ3 由于i'，j'，k'是一组标准正交基，即相互垂直的单位向量，所以有: 222cosαs+ cosβs+ cosγs=1， s=1，2，3 (7-1、2、3) cosαscosαt + cosβscosβt +cosγscosγt=0， s?t，s,t=1，2，3 (8-1、2、3) ，k' 构成右手系 (9) i'，j' 上面7个条件是3维空间一个坐标变换是坐标系的旋转变换的充分必要条件(其中前6个条件称为正交条件，可以写作 cosαscosαt + cosβscosβt +cosγs1，s=t，s,t=1，2，3 0，s?t，s,t=1，2，3 cosγt={ 本章内容摘要 三维空间的向量 本章讨论三维空间的向量及其运算，并利用向量方法讨论平面与空间直线(三维向量首先用几何方法定义，然后利用直角坐标系转化为代数系统，下表给出两个系统的对应关系( 几何系统 代数系统 向量的定义 既有大小又有方向的量 三元有序数组(a，b，c) 222向量的模 ||=|AB| AB|r|= a，b，c向量的方向 线段AB的方向 方向余弦 将向量b的起点放在向‎‎量a的 向量的和a+b 终点，以a的起点为起点，b对应分量相加 的终点为终点的向量 数乘向量ka 规定向量k a的模与方向 用k乘所有分量 零向量的定义 模为0的向量 (0，0，0) 负向量的定义 大小相等、方向相反的向量 (-a，-a，-a) 123 3 ab向量的内积ab |a||b|cos< a, b> ?,iii,1 八条基本运算法则 八条基本运算法则 线性运算满足的性质 零向量的唯一性 零向量的唯一性 负向量的唯一性 负向量的唯一性 以及 以及 0a=r 0a=r kr=r ko=r (-1) a = -a (-1)a = -a 消去律 消去律 两向量a，b共线的充分必要条件‎‎是:存在不全为零的实数，λλ，使λa +λb=r( 1212 三向量a，b，c共面的充分必要条件是:存在不全为零的实数，λλ，λ，使 123 λa+λb+λc=r( 123 直线上所有向量可以被这条直线上一个非零向量线性表出，并且表示方法是唯一的( 平面上所有向量可以被这个平面上两个不共线的向量线性表出，并且表示方法是唯一 的( 空间任意向量可以被三个不共面的向量线性表出，并且表示方法是唯一的( 空间直角坐标系{i，j，k}:三个相互垂直的单位向量i，j，k，按右手法则排列，即构 成一个空间直角坐标系(右手系)( 向量r在坐标系{i，j，k}下的坐标:r为i，j，k合r=ai+bj+ck，并且可以表示的线性组 表示方法是唯一的(三元有序数组(a，b，c)称为向量r的坐标，记作r=(a，b，c)( 向量r的坐标表达式与分量表达式:r=(a，b，c)= ai+bj+ck( 内积的定义，性质，用向量计算内积( a b=0的充分必要条件是a?b( ? 平面方程与直线方程 平面的点法式方程:a(x–x)+b(y–y)+ c(z–z)=0( 000 向量(a，b，c)称为平面的法向量，a，b，c不同时为0( 平面的一般方程:ax+by+cz+d=0( 1(ax，by，cz，d)平面的法式方程:=0( 222a，b，c 直线的一般方程: ax+by+cz+d=0 1111，b，c1a2，b，c2例) (a与不成比112{ ax+by+cz+d=0 2222 直线的点向式方程(对称式方程或标准方程,: xxyyzz,,,000( ,,mnp 向量(m，n，p)称为直线的方向向量，m，n，p不同时为0( 直线的参数方程: x=x+λm 0 y=y+λn 0{ z=z+λp 0 直线参数方程的向量形式: (x，y，z)=(x，y，z)+λ(m，n，p) 000空间两点A(a，a，a)、B(b，b，b)之间的距离: 123123 32d(A,B)= ()ab,,ii1i, 空间一点M(x，y，z)到平面Π:ax+by+cz+d=0的距离: 0000 axbyczd，，，000d(M，Π)= 0222abc，， 平面与平面的位置关系 平面Π:ax+by+cz+d=0的法向量为:n=(a，b，c)， 11111 1111平面Π:ax+by+cz+d=0的法向量为:n=(a，b，c) 22222 2222若n?λn，两平面相交( 12 若n=λn，两平面平行，此时若π1上的点满足，两平面重合Π( 122 直线与直线的位置关系 设直线l1与l2的方程分别为 xxyyzz,,,xxyyzz,,,111222 ， ,,,,mnpmnp111222 ,,,,,,,, 两直线共面:1、重合:r//r//;其中r=(m，n，p)，r=(m，n，p) MM121111122212 ,,,,,,,, 2、平行而不重合:r//r2但与不共线; MM112 ,,,,,,,, 3、相交;r、r2不共线但方程λ1+λrr =有解( MM112212 ,,,,,,,,异面: r、r2不共线且方程λ1 r+λ r=无解( MM112212 直线与平面的位置关系 xxyyzz,,,000直线l的方程为 ，r=(m，n，p) ,,mnp 平面π的方程为: ax+by+cz+d=0， n =(a，b，c) 1、 直线与平面相交:rn?0 ? 2、 直线在平面上: rn =0，ax+by+cz+d=0; ?000 、 直线在平面外: rn=0，ax+by+cz+d?0( 3?000 练习一 1. 以一个圆的圆心为起点，圆周上各点为终点的向量是否相等, ,,,,,,,,,,,,,,,,2. 已知平行四边形ABCD的对角线=a，=b，求， ACBDABAD3. 讨论下列式子成立的几何条件 (1)|a+b|=|a-b|;(2)|a+b|>|a-b|;;(3)|a+b|?|a-b|; (4)|a+b|=|a|+|b|;(5)|a+b|=|a|-|b|;(6)|a+b|=||a|-|b|| 4. a，b，c都是非零向量，并且任意两‎‎个不共线，但a+b与c共线，b+c与a共线(证 明:a+b+c=o 5. 用向量方法证明梯形两腰中点连线平行于底边并等于两底边和的一半( 6. A(1，-1，3)，B(-2，0，5)，C(4，-2，1)三点是否共线, 1222ab,7. 证明:ab=(|a|+|b|?||) ?2 8. A(4，1，9)，B(10，-1，6)，C(2，4，3);证明三角形ABC是等腰三角形( 9. a=(1，2，1)，b=(-1，1，1);c?a，c?b，c(i-2j+k) =8，求c 10. a=(k，4，-1)，b=(-1，2，l)(k、l为何值时，a?b,k、l为何值时，a//b, 11. a=(4，-3，5)，在XOY平面上求向量b，使a?b，并且|a|=|b|( 12. a=(2，1，-1)，a//b，ab=3，求b( ? 13. 用向量方法证明直径上的圆周角是直角 14. 用向量方法证明三角形三条高交于一点( ,,,, 15. A(4，，1)，B(3，0，2)(求的模与方向余弦( 2AB 16. 求经过三点M(2，-1，3)，M(0，-1，2)，M(1，0，3)的平面方程( 123讨论若三点在同一直线上时，求平面方程过程中会发生什么问题, 17. 已知点M(1，0，1)，平面П:x-2y+3z+2=0，平面П:x+2y-3z-2=0(求经过点12M且与П，П2都垂直的平面方程(讨论П，П2处于什么位置关系时上述条件不能确定平面，11 此时推导过程会发生什么, 18. 平面П经过点M(1，1，1)与M(0，1，-1)并且与平面П:x+y+z+2=0垂直(求121平面П的方程(讨论M，M2处于什么位置关系‎‎时上述条件不能确定平面，此时推导过程会1 发生什么, 19. 求经过两点的直线方程( 20. 求过点P(-2，-3，1)且平行于X轴的直线的标准方程与一般方程( 21. 求过点M(2，0，-1)，且与直线 2x–3y+z–1=0 { 4x-2y+3z–4=0 平行的直线方程( xyz,，,53122. 求直线与平面x+2y-5z-11=0的交点( ,,223, 23. 求过点M(4，-3，1)且与平面x+2y-z-3=0垂直的直线以及此直线与此平面的交点( xyz,，1124. 求经过点M(2，-3，-1)与直线垂直相交的直线方程( ,,,,211 xyz,,25. (1) 证明直线l:与lx-1=y+1=z-2异面( 12123 (2) 求过点M(1，0，2)且与两直线都平行的平面( *(3) 求l1与l方程( 的公垂线2