高等数学教案

高等数学 激发学生的兴趣～树立学生的希望 云南经济管理职业学院 YUNNAN COLLEGE OF BUSINESS MANAGEMENT 教 案 本 2010-2011学年秋季学期 系(部) 基础部 年 级 2010级 专 业 建筑管理 课 程 高等数学 班 级 4班、5班 任课教师 周见文 第一章 函数 极限 连续 第一节 函数 教案编号:1 教学时间: 教学班级 授课类型: 教学目的: 1、理解函数的概念，掌握函数的表示，并会建立简单应用问题中的函 数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 教学重点: 1、 复合函数及分段函数的概念; 2、 基本初等函数的性质及其图形; 教学难点: 1、 分段函数的建立与性质; 一. 函数的概念 定义 设数集D,R, 则称映射f : D ,R为定义在D上的函数, 通常简记为 y,f(x), x,D, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D, 即D,D. f f 应注意的问题: 记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), x,D”或“y=f(x), x,D”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数符号: 函数y,f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “,”等. 此时函数就记作y,, (x), y,F(x). 函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这 f 两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域: 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例: 12 求函数的定义域. y,,x,4x 2 要使函数有意义, 必须x,0, 且x, 4,0. 解不等式得| x |,2. 所以函数的定义域为D,{x | | x |,2}, 或D,(,,, 2],[2, ，,]). 二. 函数的表示 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集 {P(x, y)|y,f(x), x,D} 称为函数y,f(x), x,D的图形. 图中的R 表示函数y,f(x)的值域. f 函数的例子: x x,0, 例. 函数. y,|x|,,,x x,0, 称为绝对值函数. 其定义域为D,(,,, ，,), 值域为R ,[0, ，,). f 1 x,0,,y,sgnx,0 x,0 例. 函数. ,,,1 x,0, 称为符号函数. 其定义域为D,(,,, ，,), 值域为R ,{,1, 0, 1}. f 例 设x为任上实数. 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作[ x ]. 函数 y , [ x ] 称为取整函数. 其定义域为D,(,,, ，,), 值域为R ,Z . f 5, , [],3, [,1],,1, [,3. 5],,4. ,[2],1[],07 三. 分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. ,2x 0,x,1,y, 例。 函数. ,,1，x x,1, 这是一个分段函数, 其定义域为D,[0, 1],(0, ，,), [0, ，,). 当0,x,1时, ; 当x>1时, y,1，x. y,2x 11f(),2,2 例如; ; f(3),1，3,4. f(1),2 1 ,222 四. 函数的基本性态 (1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D, 数集X,D. 如果存在数K, 使对任一x,X, 有1 f(x),K, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K为函数f(x)在X上的一个上界. 图形11 特点是y,f(x)的图形在直线y,K的下方. 1 如果存在数K, 使对任一x,X, 有f(x), K, 则称函数f(x)在X上有下界, 而22 称K为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y,f(x)的图形在直线y,K22的上方. 如果存在正数M, 使对任一x,X, 有| f(x) |,M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y,f(x)的图形在直线y, , M和y , M的之间. 函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x,X, 使| f(x) | > M. 1 例如 (1)f(x),sin x在(,,, ，,)上是有界的: |sin x|,1. 1f(x), 函数在(1, 2)内是有界的. x (2)函数的单调性 设函数y , f(x)的定义域为D, 区间I ,D. 如果对于区间I上任意两点x及x, 12当x f(x), 12 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 2 函数y , x在区间(,,, 0]上是单调增加的, 在区间[0, ，,)上是单调减少的, 在(,,, ，,)上不是单调的. (3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x,D, 则,x,D). 如果对于任一x,D, 有 f(,x) , f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果对于任一x,D, 有 f(,x) , ,f(x), 则称f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: 23 y,x, y,cos x 都是偶函数. y,x, y,sin x都是奇函数, y,sin x，cos x是非奇非偶函数. (4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一x,D有(x,l),D, 且 f(x，l) , f(x) 则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 五(反函数与复合函数 反函数: ,1 ,1 设函数f : D,f(D)是单射, 则它存在逆映射f: f(D),D, 称此映射f为函数f的反函数. 按此定义, 对每个y,f(D), 有唯一的x,D, 使得f(x),y, 于是有 ,1 f(y),x. ,1这就是说, 反函数f的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. ,1 一般地, y,f(x), x,D的反函数记成y,f(x), x,f(D). ,1 若f是定义在D上的单调函数, 则f : D,f(D)是单射, 于是f的反函数f必 ,1定存在, 而且容易证明f也是f(D)上的单调函数. ,1 相对于反函数y,f(x)来说, 原来的函数y,f(x)称为直接函数. 把函数y,f(x)和它的反函数 ,1y,f(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y,x是对称的. 这是因 ,1为如果P(a, b)是y,f(x)图形上的点, 则有b,f(a). 按反函数的定义, 有a,f(b), 故 ,1 ,1Q(b, a)是y,f(x)图形上的点; 反之, 若Q(b, a)是y,f(x)图形上的点, 则P(a, b)是y,f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y,x对称的. 复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数y,f(u)的定义域为D, 函数u,g(x)在D上有定义且g(D), D, 则由 1 1下式确定的函数 y,f[g(x)], x,D 称为由函数u,g(x)和函数y,f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数g与函数f构成的复合函数通常记为, 即 (),f[g(x)]. f,gf,g 与复合映射一样, g与f构成的复合函数的条件是: 是函数g在D上的值f,g 域g(D)必须含在f的定义域D内, 即g(D),D. 否则, 不能构成复合函数. f f 2 例如, y,f(u),arcsin u, 的定义域为[,1, 1], 在u,g(x),21,x 33上有定义, 且g(D),[,1, 1], 则g与f可构成复合函数 D,[,1, ,],[, 1]22 2 , x,D; y,arcsin21,x 22但函数y,arcsin u和函数u,2，x不能构成复合函数, 这是因为对任x,R, u,2，x均不在y,arcsin u的定义域[,1, 1]内. 多个函数的复合: 六. 初等函数 基本初等函数: , 幂函数: y,x (,,R是常数); x 指数函数: y,a(a,0且a,1); 对数函数: y,logx (a,0且a,1, 特别当a,e时, 记为y,ln x); a 三角函数: y,sin x, y,cos x, y,tan x, y,cot x, y,sec x, y,csc x; 反三角函数: y,arcsin x, y,arccos x, y,arctan x, y,arccot x . 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如 x22y,cot , y,sinx, y,1,x2 等都是初等函数. 第二节 极限的概念 教案编号:2 教学时间: 教学班级 授课类型: 教学目的: 1、理解极限的概念。 教学重点: 1、极限的概念及极限的性质。 教学难点: 2、极限的定义。 一、数列的极限 如可用渐近的方程法求圆的面积, 设有一圆～ 首先作内接正四边形～ 它的面积记为A;再作内接正八边形～ 它1的面积记为A;再作内接正十六边形～ 它的面积记为A;如此下去～ 每次边数加23n1倍～ 一般把内接正8×2,边形的面积记为A , 这样就得到一系列内接正多边形n的面积: A～ A～ A～ , , , , , , ～ A～ , , , 123n 设想n 无限增大(记为n,,～ 读作n 趋于穷大)～ 即内接正多边形的边数无限 在这个过程中～ 内接正多边形无限接近于圆～ 同时A也无限接近于某一增加～n 确定的数值～ 这个确定的数值就理解为圆的面积, 这个确定的数值在数学上称为 上面有次序的数(数列) A～ A～ A～ , , , ～ A～ , , ,当n ,,时的极限, 123n 数列的概念:如果按照某一法则～ 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数 x～ 则得到一列有次序的数 n x～ x～ x～ , , , ～ x～ , , , 123n 这一列有次序的数就叫做数列～ 记为{x}～ 其中第n 项x叫做数列的一般项, nn 数列的例子: n123n {}: ～ ～ ～ , , , ～ , , ,, n，1234n，1 nn {2,: 2～ 4～ 8～ , , , ～ 2～ , , ,, 11111 {}: ～ ～ ～ , , , ～ ～ , , , , nn24282 n1n1 {(,1)，,: 1～ ,1～ 1～ , , , ～ (,1)，～ , , , , n,1n,1nn，(,1)，(,1)14 {}: 2～ ～ ～ , , , ～ ～ , , , , 23nn n,1n，(,1)n1nn1它们的一般项依次为 ～ 2～ ～ (,1)，～ , nn，12n 数列的几何意义:数列{x}可以看作数轴上的一个动点～ 它依次取数轴上的n 点x～ x～ x～ , , , ～ x～ , , ,, 123n 数列与函数:数列{x}可以看作自变量为正整数n 的函数: n x,f (n)～ n 它的定义域是全体正整数, 数列极限的定义: 定义 如果数列{x}与常a 有下列关系:对于任意给定的正数, ，不论它多么n 小，～ 总存在正整数N ～ 使得对于n >N 时的一切x～ 不等式 n |x,a |<, n 都成立～ 则称常数a 是数列{x}的极限～ 或者称数列{x}收敛于a ～ 记为 nn 或x,a (n,,), limx,annn,, 如果数列没有极限～ 就说数列是发散的, ， ,,, ,0, ，N,N～ 当n,N时～ 有|x,a|,, . limx,ann,,n 二、函数的极限 一、函数极限的定义 函数的自变量有几种不同的变化趋势: x无限接近x : x,x～ 00, x从x的左侧(即小于x)无限接近x : x,x～ 0000， x从x的右侧(即大于x)无限接近x : x,x～ 0000 x的绝对值|x|无限增大: x,,～ x小于零且绝对值|x|无限增大: x,,,～ x大于零且绝对值|x|无限增大: x,，,, 1(自变量趋于有限值时函数的极限 通俗定义: 如果当x无限接近于x ～ 函数f(x)的值无限接近于常数A～ 则称当x趋于x 00 时～ f(x)以A为极限, 记作 f(x),A或f(x),A(当x,), limx0x,x0 定义1 设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义, 如果存在常数A～ 对于0 任意给定的正数, (不论它多么小)～ 总存在正数,～ 使得当x满足不等式 0<|x,x|,, 时～ 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x),A|,, ～ 0 那么常数A就叫做函数f(x)当x ,x时的极限～ 记为 0 或f(x),A(当x,x), limf(x),A0x,x0 定义的简单表述: limf(x),A,,,,0～ ，,,0～ 当0,|x,x|,,时～ |f(x),A|,, , 0x,x0 函数极限的几何意义: 例1, 证明limc,c, x,x0 证明: 这里|f(x),A|,|c,c|,0～ 因为,,,0～ 可任取,,0 ～ 当0,|x,x|,, 时～ 有 0|f(x),A|,|c,c|,0,, ～ limc,c所以, x,x0 limx,x 例2, 证明, 0x,x0

分析

定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析

: |f(x),A|,|x,x|, 因此,, ,0～ 要使|f(x),A|,, ～ 只要,x,x|,, , 00 证明: 因为,, ,0～ ，, ,, ～ 当0,|x,x|,, 时～ 有|f(x),A|,|x,x|,, ～ 所以00 , limx,x0x,x0 例3, 证明, lim(2x,1),1x,1 分析: |f(x),A|,|(2x,1),1|,2|x,1|, ,|1| ,, ,0～ 要使|f(x),A|,, ～ 只要, x,,2 , 证明: 因为,, ,0～ ，,,, /2～ 当0,|x,1|,, 时～ 有,,2 |f(x),A|,|(2x,1),1|,2|x,1|,, ～ 所以, lim(2x,1),1x,1 2x,1 例4, 证明lim,2, x,x1,1 分析: 注意函数在x,1是没有定义的～ 但这与函数在该点是否有极限并无关 系, 2x,1,|,2| 当x,1时～ |f(x),A|,|x,1|, ,, ,0～ 要使|f(x),A|,, ～ 只要|x,1|,, , x,1 2x,1,|,2|,0～ ，,～ 当0,|x,1|,时～ 有| f(x),A|,|x,1|,～ 证明: 因为,, ,, , , x,1 2x,1lim,2所以, x,x1,1 第三节 极限运算 教案编号:3 教学时间: 教学班级 授课类型: 教学目的: 1、掌握极限的性质及四则运算法则。 2、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极 限求极限的方法。 3、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类 型。 教学重点: 1、极限的概念极限的性质及四则运算法则。 2、两个重要极限。 教学难点: 一、 极限运算法则 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小, 例如～ 当x,0时～ x与sin x都是无穷小～ x，sin x也是无穷小, 及是当x,x时的两个无穷小～ 则,,0～ ，,0及,0～ 使 简要证明: 设,,, ,,012当0,|x,x|,, 时～ 有|,|,, , 当0,|x,x|,, 时～ 有|,|,, , 0102 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小, 简要证明: 设函数u在x的某一去心邻域{x|0,|x,x|,,}内有界～ 即，M,0～ 001使当0,|x,x|,,时～ 有|u|,M, 又设, 是当x,x时的无穷小～ 即,, ,0, 存在, ,0～ 0102使当0,|x,x|,, 时～ 有|,|,, , 0, 取, ,min{,～ ,}～ 则当0,|x,x|,, 时～ 有 120 |u,,|, M, , 这说明u,, 也是无穷小, 11 例如～ 当x,,时～ 是无穷小～ arctan x是有界函数～ 所以arctan x也是无穷xx小, 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小, 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小, 定理3 如果lim f (x),A～ lim g (x),B～ 那么 (1) lim [f (x),g(x)] , lim f (x) ,lim g (x) ,A , B , (2) lim f (x),g(x) , lim f (x) , lim g (x) ,A,B , f(x)limf(x)Alim,, (3)(B,0), g(x)limg(x)B 证明(1): 因为lim f (x),A～ lim g (x),B ～ 根据极限与无穷小的关系～ 有 f (x),A，,～ g (x),B，,～ 其中,及, 为无穷小, 于是 f (x) , g (x),(A ， ,) , (B ， ,) , (A , B) ， (, , ,)～ 即f (x) , g (x)可表示为常数(A , B)与无穷小(, , ,)之和, 因此 lim [f (x) , g (x)] , lim f (x) , lim g (x) , A , B , 推论1 如果lim f (x)存在～ 而c为常数～ 则 lim [c f (x)],c lim f (x), 推论2 如果lim f (x)存在～ 而n是正整数～ 则 n nlim [f (x)],[lim f (x)], 例1, 求, lim(2x,1)x,1 解: , lim(2x,1),lim2x,lim1,2limx,1,2,1,1,1x,1 x,1 x,1 x,1 nn,1 讨论: 若～ 则 limP(x),?P(x),ax，ax， , , , ，ax，a01n,1nx,x0 nn,1 提示: limP(x),lim(ax)，lim(ax)， , , , ，lim(ax)，lima01n,1nx,xx,xx,xx,xx,x00000 nn,1 ,alim(x)，alim(x)， , , , ，alimx，lima01n,1nx,xx,xx,xx,x0000 nn,1nn,1 ,ax，ax，, , ,，a,P(x), ,a(limx)，a(limx)， , , , ，a)0010n0n01xxxx,,00 nn,1若～ 则, limP(x),P(x)P(x),ax，ax， , , , ，a0n01x,x0 3x,1lim 例2, 求, 2x,2 x,5x，3 3lim(x,1)3x,1x,2lim, 解: 222 x,x,5x，3lim(x,5x，3)x,2 33limx,lim1(limx),13217,x,2x,22x,,,, , ,,22221033,，limx,5limx，lim3(limx),5,2，32x,x,2x,2x,2 x,3lim 例3, 求, 2x,3 x,9 lim1x,3x,311x,3 ,,lim,lim,lim 解: , 2lim(x，3)6x,3 x,3 x,3 x,9(x,3)(x，3)x，3x,3 2x,3lim 例4, 求, 2x,1 x,5x，4 22xx,5，41,5,1，4lim,,0 解: ～ x,x2,32,1,31 讨论: Px() 有理函数的极限 lim,?x,xQx()0 提示: P(x)P(x)0lim, 当Q(x),0时～ , 0x,xQ(x)Q(x)00 P(x)lim 当Q(x),0P(x),0且时～ ,,, 00x,xQ(x)0 当Q(x),P(x),0时～ 先将分子分母的公因式(x,x)约去, 000 323x，4x，2lim 例5, 求, 32x,,7x，5x,3 3 解: 先用x 去除分子及分母～ 然后取极限: 423，，3233x，4x，23xx,,limlim , 3253x,,x,,7，5,37xx7，,3xx 二、两个重要极限 准则I 如果数列{x}、{y}及{z}满足下列条件: n nn (1)y,x,z(n,1～ 2～ 3～ , , ,)～ nnn (2)～ ～ limy,alimz,annnn,,,, 那么数列{x}的极限存在～ 且, limx,an nn,, 准则I, 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件: (1) g(x),f(x),h(x), D B (x),A～ lim h(x),A, (2) lim g 1 那么lim f(x)存在～ 且lim f(x),A, x 注 如果上述极限过程是x,x～ 要求函数在x的某一00O A 去心邻域内有定义～ 上述极限过程是x,,～ 要求函数当C |x|,M时有定义～ 准则I 及准则I, 称为夹逼准则, xsinlim,1 下面根据准则I,证明第一个重要极限: , x,0x sinx 证明 首先注意到～ 函数对于一切x,0都有定义, 参看附图: 图中的圆x ,, 为单位圆～ BC,OA～ DA,OA, 圆心角，AOB,x (0,x,), 显然 sin x,CB～ x,～ AB2tan x,AD, 因为 S,S,S～ 扇形,AOBAOB,AOD 所以 111sin x,x,tan x～ 222即 sin x,x,tan x, 不等号各边都除以sin x～ 就有 x11,,～ sinxcosx sinxcosx,,1或 , x xsin, lim,1limcosx,1注意此不等式当,,x,0时也成立, 而～ 根据准则I,～ , x,02xx,0 xtan 例1, 求, limx,0x sinx1xxsin1tanlim,,,lim,lim,1 解: , limx,0x,0x,0x,0xxxxcosxcos 1,cosx 例2, 求lim, 2x,0x xx222sinsin11,cosx22lim 解: , limlim,22x,x0xx,0x,0x22()2 2x,,sin,,11122 ,,,,, lim1,,x0x,222,,,,2 x2sin111,,22lim1,,,,,,, ,,xx,0222,,2 准则II 单调有界数列必有极限, 如果数列{x}满足条件 n ,x, , , ,～ x,x,x, , , , ,x n n，1 1 2 3 就称数列{x}是单调增加的, 如果数列{x}满足条件 n n x,x,x, , , , ,x,x, , , ,～ 1 2 3 n n，1 就称数列{x}是单调减少的, 单调增加和单调减少数列统称为单调数列, n， 如果数列{x}满足条件x,x～ n,N～ n n n，1 在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界, 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛, 现在准则II表明: 如果数列不仅有界～ 并且是单调的～ 那么这数列的极限必定存在～ 也就是这数列一定收敛, 准则II的几何解释: 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动～ 或者无限向右移动～ 或者无限趋近于某一定点A～ 而对有界数列只可能后者情况发生, 1nlim(1，) 根据准则II～ 可以证明极限存在, ,,nn 1nx,(1，) 设～ 现证明数列{x}是单调有界的, nnn 按牛顿二项公式～ 有 1n1n(n1)1n(n1)(n2)1n(n1) (nn1)1,,,,,,,,，nx(1)1 ,，,，,，,，,，,,,，, n23nn1!n2!n3!nn!n 11112112n,1,1，1，(1,)，(1,)(1,)， , , , ，(1,)(1,) , , , (1,) ～ 2!n3!nnn!nnn n,111121121x,，，,，,,，,,,，,,,,,,11(1)(1)(1) (1)(1) (1) n，1n，n，n，nn，n，n，2!13!11!111 112n，(1,)(1,) , , , (1,) , (n，1)!n，1n，1n，1 比较x～ x的展开式～ 可以看出除前两项外～ x的每一项都小于x的对应项 n n，1 n n，1 ～ 并且x还多了最后一项～ 其值大于0～ 因此 n，1 x, x ～ n n，1 这就是说数列{x}是单调有界的, n 这个数列同时还是有界的, 因为x的展开式中各项括号内的数用较大的数1n代替～ 得 11,1111111n2 , x,1，1，，， , , , ,1，1，，， , , , ，,1，,3,,3n2n,1n,11n2!3!!22221,2 根据准则II～ 数列{x}必有极限, 这个极限我们用e 来表示, 即 n 1n, lim(1，),e,,nn 1xlim(1,) 例3, 求, ,,xx 解: 令t,,x～ 则x ,,时～ t ,,, 于是 1111x,tlim(1,),lim(1，) ,lim,, 1,,xxt,,tt,,et(1，)t 111x,x(,1),x,1,1,,，lim(1)lim(1),[lim(1，)],e或 , x,xx,,x,,x,,,x 第四节 无穷小量的比较 教案编号:4 教学时间: 教学班级 授课类型: 教学目的: 1、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极 限。 教学重点: 1、无穷小及无穷小的比较。 教学难点: 1、会用等价无穷小求极限。 一、无穷小 如果函数f(x)当x,x(或x,,)时的极限为零～ 那么称函数f(x)为当x,x(或00 x,,)时的无穷小, 特别地～ 以零为极限的数列{x}称为n,,时的无穷小, n 例如～ 11lim,0 因为～ 所以函数为当x,,时的无穷小, x,,xx ～ 所以函数为x,1当x,1时的无穷小, 因为lim(x,1),0x,1 11lim,0 因为～ 所以数列{}为当n,,时的无穷小, n,,n，1n，1 讨论: 很小很小的数是否是无穷小,0是否为无穷小, 提示: 无穷小是这样的函数～ 在x,x(或x,,)的过程中～ 极限为零, 很小很0 小的数只要它不是零～ 作为常数函数在自变量的任何变化过程中～ 其极限就是这 个常数本身～ 不会为零, 无穷小与函数极限的关系: 定理1 在自变量的同一变化过程x,x(或x,,)中～ 函数f(x)具有极限A的0充分必要条件是f(x),A，,～ 其中,是无穷小, 证明: 设limf(x),A～ ,, ,0 ～ ， , ,0～ 使当0,|x,x|,, 时～ 有 0x,x0 |f(x),A|,, , 令,,f(x),A～ 则,是x,x时的无穷小～ 且 0 f(x),A，, , 这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小,之和, 反之～ 设f(x),A，, ～ 其中A 是常数～ ,是x,x时的无穷小～ 于是 0 |f(x),A|,|,|, 因,是x,x时的无穷小～ ,, ,0 ～ ， , ,0～ 使当0,|x,x|,, ～ 有 00 |,|,, 或|f(x),A|,, 这就证明了A 是f(x) 当 x,x时的极限, 0 简要证明: 令,,f(x),A～ 则|f(x),A|,|,|, 如果,, ,0 ～ ， , ,0～ 使当0,|x,x|,, ～ 有f(x),A|,, ～ 就有|,|,, , 0 反之如果,, ,0 ～ ， , ,0～ 使当0,|x,x|,, ～ 有|,|,, ～ 就有f(x),A|,, , 0 这就证明了如果A 是f(x) 当 x,x时的极限～ 则,是x,x时的无穷小, 如00 果,是x,x时的无穷小～ 则A 是f(x) 当 x,x时的极限, 00 类似地可证明x,,时的情形, 331，x111x1，1,，lim例如～ 因为～ 而～ 所以, lim,0,3333x,,x,,2x22xx2x22 二、无穷大 如果当x,x(或x,,)时～ 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大～ 就称函数 0 f(x)为当x,x(或x,,)时的无穷大, 记为 0 (或), limf(x),,limf(x),,x,xx,,0 应注意的问题: 当x,x(或x,,)时为无穷大的函数f(x)～ 按函数极限定义来0 说～ 极限是不存在的, 但为了便于叙述函数的这一性态～ 我们也说“函数的极限 是无穷大”～ 并记作 (或), limf(x),,limf(x),,x,xx,,0 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述,很大很大的数是否是无穷大? 提示: ,,M,0～ ，, ,0～ 当0,|x,|,, limf(x),,x0x,x0 时～ 有|f(x)|,M, 正无穷大与负无穷大: ～ , limf(x),，,limf(x),,, x,x x,x00(x,,)(x,,) 1lim,, 例2 证明, x,1x1, 1,, 证 因为,M,0～ ，～ 当0,|x,1|,, 时～ 有 M 1||,M ～ x,1 1lim,,所以, x,1x1, 111|x,1|,||,,M 提示: 要使～ 只要, Mx,1|x,1| 第四节 函数的连续性 教案编号:5 教学时间: 教学班级 授课类型: 教学目的: 1、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。 2、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性 质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。 教学重点: 1、函数连续性及初等函数的连续性。 2、区间上连续函数的性质。 教学难点: 1、闭区间上连续函数性质的应用。 一、连续函数的概念 定义1 设函数y,f(x)在点x 的某一个邻域内有定义～ 如果当自变量的增量0 ,x ,x,x 趋于零时～ 对应的函数的增量,y, f(x，,x), f(x )也趋于零～ 即 000 ～ 或～ lim,y,0limf(x),f(x)0x,x,x,00 那么就称函数y,f(x)在点x 处连续, 0 注: ? lim,y,lim[f(x，,x),f(x)],000,x,,x,00 ?设x,x+,x～ 则当,x,0时～ x,x～ 因此 00 lim,y,0,,, lim[f(x),f(x)],0limf(x),f(x)00x,xx,x,x,000 函数连续的等价定义2:设函数y,f(x)在点x的某一个邻域内有定义～ 如果对0于任意给定义 的正数, ～ 总存在着正数, ～ 使得对于适合不等式|x,x|<, 的一切x～ 对应的函数0值f(x)都满足不等式 |f(x),f(x)|<, ～ 0 那么就称函数y,f(x)在点x处连续, 0 左右连续性: limf(x),f(x) 如果～ 则称y,f(x)在点处左连续, x00,x,x0 limf(x),f(x) 如果～ 则称y,f(x)在点处右连续, x00，x,x0 左右连续与连续的关系: 函数y,f(x)在点x处连续,函数y,f(x)在点x处左连续且右连续, 00 函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数～ 叫做在该区间上的连续函数～ 或者说函数在 该区间上连续, 如果区间包括端点～ 那么函数在右端点连续是指左连续～ 在左端 点连续是指右连续, 连续函数举例: 1, 如果f(x)是多项式函数～ 则函数f(x)在区间(,,～ ，,)内是连续的, 这是因为～ f(x)在(,,～ ，,)内任意一点x处有定义～ 且 0 , limP(x),P(x)0x,x0 2, 函数在区间[0～ ，,)内是连续的, f(x),x 二、连续函数的运算性质 定理1 设函数f(x)和g(x)在点x连续～ 则函数 0 f(x) f(x),g(x)～ f(x),g(x)～(当时) g(x),00g(x) 在点x也连续, 0 f(x),g(x)连续性的证明: 因为f(x)和g(x)在点x连续～ 所以它们在点x有定义～ 从而f(x),g(x)在点x000也有定义～ 再由连续性和极限运算法则～ 有 , lim[f(x),g(x)],limf(x),limg(x),f(x),g(x)00x,xx,xx,x000 根据连续性的定义～ f(x),g(x)在点x连续, 0 例1, sin x 和cos x 都在区间(,,～ ，,)内连续～故由定理3知tan x 和cot x 在 它们的定义域内是连续的, 三角函数sin x～ cos x～ sec x～ csc x～ tan x～ cot x在其有定义的区间内都是连续的, 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 如果函数f(x)在区间I上单调增加(或单调减少)且连续～ 那么它的反x ,1函数x,f(y)也在对应的区间I,{y|y,f(x)～x,I}上单调增加(或单调减少)且连续, y x 证明(略), ,,[,, ] 例2, 由于y,sin x在区间上单调增加且连续～ 所以它的反函数22 y,arcsin x 在区间[,1～ 1]上也是单调增加且连续的, 同样～y,arccos x 在区间[,1～ 1]上也是单调减少且连续, y,arctan x 在区间(,,～ ，,)内单调增加且连续,y,arccot x 在区间(,,～ ，,)内单调减少且连续, 总之～ 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的, 定理3 设函数y,f[g(x)]由函数y,f(u)与函数u,g(x)复合而成～ ,U(x),Dlimg，x),u, 若～ 而函数y,f(u)在连续～ 则 u0f,g00x,x0 limf[g，x)],limf(u),f(u), 0x,xu,u00 x,3lim 例3, 求, 2x,3x,9 x,3x,31lim,lim, 解: , 22x,x,33x,9x,96 提示: x,3x,3 是由与u,复合而成的, y,y,u22x,9x,9 x,311 ～ 函数在点连续, ,g(x) limu,,y,u02x,3x,966 定理4 设函数y,f[g(x)]由函数y,f(u)与函数u,g(x)复合而成～ U(x),D, 若0f og函数u,g(x)在点x连续～ 函数y,f(u)在点u,g(x)连续～ 则复合函数y,f[,(x)]在点000 x也连续, 0 1y,sin 例4, 讨论函数的连续性, x 11y,sin 解: 函数是由y,sin u及复合而成的, u,xx sin u当,,0～ a ,1)对于一切实数x都有定义～且在区间(,,～ ，,)内是单调的和连续的～ 它的值域为(0～ ，,), x 由定理4～ 对数函数logx (a>0～ a ,1)作为指数函数a的反函数在区间(0～ ，,) a 内单调且连续, , 幂函数y,x的定义域随,的值而异～ 但无论,为何值～ 在区间(0～ ，,)内幂函数总是有定义的,可以证明～ 在区间(0～ ，,)内幂函数是连续的, 事实上～ 设x>0～ 则 ,logx,,uaay,x,～ 因此～ 幂函数x可看作是由y,a～ u,,logx 复合而成的～ 由此～ 根a 据定理6～ 它在(0～ ，,)内是连续的,如果对于,取各种不同值加以分别讨论～ 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的, 结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的, 最后～ 根据初等函数的定义～ 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可 就得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的, 所谓定义区间～ 是包含在定义域内的区间, 初等函数的连续性在求函数极限中的应用: 如果f(x)是初等函数～ 且x是f(x)的定义区间内的点～ 0 lim则f(x),f(x), 0x,x0 2lim1,x 例5, 求, x,0 21,xx,0 解: 初等函数f(x),在点是有定义的～ 0 2lim1,x,1,1所以 , x,0 例6, 求, limlnsinx,x,2 , 解: 初等函数f(x),ln sin x在点是有定义的～ x,02 ,所以 , limlnsinx,lnsin,0,2x,2 三、闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值, 定理1说明～ 如果函数f(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 那么至少有一点,,[a～ b]～ 1使f(,)是f(x)在[a～ b]上的最大值～ 又至少有一点,,[a～ b]～ 使f(,)是f(x)在[a～ b]1 2 2上的最小值, 注意: 如果函数在开区间内连续～ 或函数在闭区间上有间断点～ 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值, 例: 在开区间(a～ b) 考察函数y,x, 又如～ 如图所示的函数在闭区间[0～ 2]上无最大值和最小值, ,x，1 0,x,1,,y,f(x),1 x,1, ,,,x，3 1,x,2, 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界, 介值定理 零点: 如果x 使f(x ),0～ 则x 称为函数f(x)的零点, 000 定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 且f(a)与f(b)异号～ 那么在开区间(a～ b)内至少有一点, 使f(,),0, 定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 且在这区间的端点取不同的函数值 f(a),A及f(b),B～ 那么～ 对于A与B之间的任意一个数C～ 在开区间(a～ b)内至少有一点, ～ 使得 f(,),C , 定理4,(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 且f(a),f(b)～ 那么～ 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C～ 在开区间(a～ b)内至少有一点, ～ 使得 f(,),C , 证: 设,(x),f(x),C～ 则,(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 且,(a),A,C与,(b),B,C异号, 根据零点定理～ 在开区间(a～ b)内至少有一点, 使得 ,(,),0 (a<,0～ f(1),,2<0, 3 2根据零点定理～ 在(0～ 1)内至少有一点, ～ 使得f(,),0～ 即 ,,4,，1,0 (0<,<1), 3 2这等式说明方程x,4x，1,0在区间(0～ 1)内至少有一个根是, 四、函数的间断点 间断定义: 设函数f(x)在点x的某去心邻域内有定义, 在此前提下～ 如果函数f(x)有下列0 三种情形之一: (1)在x没有定义, 0 (2)虽然在x有定义～ 但f(x)不存在, lim0x,x0 (3)虽然在x有定义且f(x)存在～ 但f(x),f(x), limlim00x,xx,x00 则函数f(x)在点x为不连续～ 而点x称为函数f(x)的不连续点或间断点, 00 ,, 例1, 正切函数y,tan x在处没有定义～ 所以点是函数tan x的间断x,x,22点, , 因为～ 故称为函数tan x的无穷间断点, x,limtanx,,,2x,2 11y,sinsin在点x,0没有定义～ 所以点x,0是函数的间断点, 例2, 函数xx 1sin当x,0时～ 函数值在,1与，1之间变动无限多次～ 所以点x,0称为函数的振x荡间断点, 间断点的分类: 通常把间断点分成两类:如果x是函数f(x)的间断点～ 但左极限f(x,0)及右极00限f(x，0)都存在～ 那么x称为函数f(x)的第一类间断点, 不是第一类间断点的任00 何间断点～ 称为第二类间断点, 在第一类间断点中～ 左、右极限相等者称为可去间断点～ 不相等者称为跳跃间断点, 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点, 第二章 导数与微分 第一节 导数的概念 教案编号:6 教学时间: 教学班级 授课类型: 教学目的: 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 教学重点: 1、导数和微分的概念与微分的关系。 教学难点: 一、引例 1(直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动～ 时刻t质点的坐标为s～ s是t的函数: s,f(t)～ s,sf(t),f(t)00求动点在时刻t的速度, 考虑比值 ～ ,0t,tt,t00 这个比值可认为是动点在时间间隔t,t内的平均速度, 如果时间间隔选较短～ 这个比值在实0 践中也可用来说明动点在时刻t的速度, 但这样做是不精确的～ 更确地应当这样: 令t ,t,0～ 00 ft,ftf(t),f(t)()()00取比值的极限～ 如果这个极限存在～ 设为v ～ 即 ～ 这时就把这v,limt,tt,tt,t000个极限值v称为动点在时刻t的速度, 0 2(切线问题 设有曲线C及C上的一点M～ 在点M外另取C上一点N～ 作割线MN, 当点N沿曲线C趋于点M时～ 如果割线,,绕点,旋转而趋于极限位置MT～ 直线,,就称为曲线,有点,处的切线, 设曲线C就是函数y,f(x)的图形, 现在要确定曲线在点M(x, y)(y,f(x))处的切线～ 只0000要定出切线的斜率就行了, 为此～ 在点M外另取C上一点N(x, y)～ 于是割线MN的斜率为 y,yf(x),f(x)00 ,～ tan,,x,xx,x00 其中,为割线MN的倾角, 当点N沿曲线C趋于点M时～ x,x, 如果当x,时～ 上式的极限0 0存在～ 设为k ～ 即 fx,fx()()0k, limx,xx,x00 存在～ 则此极限k 是割线斜率的极限～ 也就是切线的斜率, 这里k,tan ,～ 其中,是切线MT的倾角, 于是～ 通过点M(x, f(x))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线, 00 二、导数的定义 1, 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出～ 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的 fx,fx()()0极限: , 令,x,x,x～ 则,y,f(x，,x),f(x), f(x),f(x)～ x,x相当于,x ,0～ 于是lim00000x,xx,x00 fx，,x,fxfx,fx()()()(),y000成为 或, limlimlim,x,0,x,,x,x0x,xx,x00 定义 设函数y,f(x)在点x的某个邻域内有定义～ 当自变量x在x处取得增量,x(点00x，,x仍在该邻域内)时～ 相应地函数y取得增量,y,f(x，,x),f(x), 如果,y与,x之比当,x,0000时的极限存在～ 则称函数y,f(x)在点x处可导～ 并称这个极限为函数y,f(x)在点x处的导数～ 00 fx，,x,fx,y()()dy00,,,fx,,记为～ 即 ～ 也可记为～ 或y|y| ()limlimx,xx,x000x,x,x,,x,,x,xdx000dfx(), x,xdx0 函数f(x)在点x处可导有时也说成f(x)在点x具有导数或导数存在, 00 导数的定义式也可取不同的形式～ 常见的有 fxhfx(，),()00,fx ～ (),lim0h,h0 fx,fx()()0, fx,, ()lim0x,xx,x00 在实际中～ 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题～ 在数学上就是所谓函数的变化率问题, 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述, fx，,x,fx()()00 如果极限不存在～ 就说函数y,f(x)在点x处不可导, lim0,x,,x0 fxxfx，,,()()00,,～ 如果不可导的原因是由于lim,x,x0, 也往往说函数y,f(x)在点x处的导数为无穷大, 0 如果函数y,f(x)在开区间I内的每点处都可导～ 就称函数f(x)在开区间I内可导～ 这时～ 对于任一x ,I～ 都对应着f(x)的一个确定的导数值, 这样就构成了一个新的函数～ 这个函数叫 df(x)dy,,做原来函数y,f(x)的导函数～ 记作 ～～ ～ 或, yf(x)dxdx 导函数的定义式: fx，,x,fxfxhfx()()(，),(),y, ,, limlim,x,0h,0,xh f ,(x)与f ,(x)之间的关系: 0 函数f(x)在点x处的导数f ,(x)就是导函数f ,(x)在点x,x处的函数值～ 即 00 ,,f(x)f(x), , 0x,x0 导函数f ,(x)简称导数～ 而f ,(x)是f(x)在x处的导数或导数f ,(x)在x处的值, 000 左右导数: 所列极限存在～ 则定义 fxhfx(，),()00,fx(),lim f(x)在的左导数:, x,00,h,h0 fxhfx(，),()00,fx(),lim f(x)在x的右导数:, ，00，h,h0 fxhfx(，),()00lim 如果极限存在～ 则称此极限值为函数在x的左导数, 0h,,h0 fxhfx(，),()00lim 如果极限存在～ 则称此极限值为函数在x的右导数, 0h,，h0 ,,导数与左右导数的关系: ,,, f(x),f(x),Af(x),A,0，00 2(求导数举例 例1(求函数f(x),C(C为常数)的导数, fxhfx(，),()CC,,fx,lim,0 解: , (),limh,0h,0hh 即 (C ) ,,0, 3(单侧导数: fxhfx(，),() 极限存在的充分必要条件是 limh,0h fxhfxfxhfx(，),()(，),() 及 limlim,，h,0h,0hh 都存在且相等, fxhfx(，),(),fx f(x)在处的左导数:～ (),limx,00,h,0h fxhfx(，),(),fx f(x)在处的右导数:, (),limx，00，h,0h 导数与左右导数的关系: 函数f(x)在点x处可导的充分必要条件是左导数左导数f ,(x) 和右导数f ,(x)都存在且相0,0，0 等, 如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导～ 且右导数f ,(a) 和左导数f ,(b)都存在～ 就说f(x)有，, 闭区间[a, b]上可导, 例6(求函数f(x),,x|在x,0处的导数, fhfh(0，),(0)||,f(0),lim,lim,,1 解: ～ ,,,h,0h,0hh fhfh(0，),(0)||,f(0),lim,lim,1 ～ ，，，h,0h,0hh 因为f ,(0), f ,(0)～ 所以函数f(x),|x|在x,0处不可导, ,， 四、导数的几何意义 函数y,f(x)在点x处的导数f ,(x)在几何上表示曲线y,f(x)在点M(x, f(x))处的切线的斜0000 率～ 即 f ,(x),tan , ～ 0 其中,是切线的倾角, 如果y,f(x)在点x处的导数为无穷大～ 这时曲线y,f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x,x00 为极限位置～ 即曲线y,f(x)在点M(x, f(x))处具有垂直于x轴的切线x,x, : 000 由直线的点斜式方程～ 可知曲线y,f(x)在点M(x, y)处的切线方程为 00 y,y,f ,(x)(x,x), 000 过切点M(x, y)且与切线垂直的直线叫做曲线y,f(x)在点M处的法线如果 00 1f ,(x),0～ 法线的斜率为,～ 从而法线方程为 0,f(x)0 1 y,y,,(x,x), 00,f(x)0 11 例2, 求等边双曲线在点(, 2)处的切线的斜率～ 并写出在该点处的切线方程和法y,x2线方程, 1, 解: ～ 所求切线及法线的斜率分别为 y,,2x 111 ～ , k1k,,,,(,),,421x,24xk21 1y,2,,4(x,) 所求切线方程为～ 即4x，y,4,0, 2 11y,2,(x,)所求法线方程为～ 即2x,8y，15,0, 42 四、函数的可导性与连续性的关系 ,y,limf(x), 设函数y,f(x)在点x 处可导～ 即存在, 则 00,x,0,x ,y,y,lim,y,lim,,x,lim,lim,x,f(x),0,0 , 0,x,,x,,x,,x,0000,x,x这就是说～ 函数y,f(x)在点x 处是连续的, 所以～ 如果函数y,f(x)在点x处可导～ 则函数在该0 点必连续, 另一方面～ 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导, 3 例3( 函数在区间(,,, ，,)内连续～ 但在点x,0处不可导, 这是因为函数在点f(x),x x,0处导数为无穷大 3fhf(0，),(0)h,0lim,,，, lim, h,0h,hh0 x 第二节 函数的微分法 教案编号:7 教学时间: 教学班级 授课类型: 教学目的 1、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导 数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 教学重点: 1、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。 教学难点: 1、复合函数的求导法则; 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 如果函数u,u(x)及v,v(x)在点x具有导数～ 那么它们的和、差、积、商(除分母 为零的点外)都在点x具有导数～ 并且 [u(x) ,v(x)],,u,(x) ,v,(x) , [u(x),v(x)],,u,(x)v(x)，u(x)v,(x), ,,,u(x)u(x)v(x),u(x)v(x)，， , ,2,,v(x)v(x)，， uxhvxhuxvx(，)(，),()()uxvx, 证明 (2) [(),()],limh,0h 1 ,lim[u(x，h)v(x，h),u(x)v(x，h)，u(x)v(x，h),u(x)v(x)] h,0h uxhuxvxhvx，,，,()()()()，， vxhux,，，lim()(),,h,0hh，， uxhuxvxhvx(，),()(，),()vxhux ,lim,lim(，)，(),limh,0h,0h,0hh ,u,(x)v(x)，u(x)v,(x)～ lim其中v(x，h),v(x)是由于v,(x)存在～ 故v(x)在点x连续, h,0 3 2 例1(y,2x,5x，3x,7～ 求y, 3 2 3 2 3 2 解: y,,(2x,5x，3x,7),, (2x),,，5x),，，3x),,，7),, 2 (x),, 5， x),， 3， x), 2 2 ,2,3x,5,2x，3,6x,10x，3, ,,3,()4cossinfx,x，x,f() 例2, ～ 求f ,(x)及, 22 ,32,,,,f(x),(x)，(4cosx),(sin),3x,4sinx 解: ～ 2 , 32,f(),,,4 , 24 二、复合函数的求导法则 定理2 如果u,g(x)在点x可导～ 函数y,f(u)在点u,g(x)可导～ 则复合函数y,f[g(x)]在点x 可导～ 且其导数为 dydydydu,,,,,f(u),g(x) 或, dxdudxdx 证明: 当u,g(x)在x的某邻域内为常数时～ y=f[,(x)]也是常数～ 此时导数为零～ 结论自然 成立, 当u,g(x)在x的某邻域内不等于常数时～ ,u,0～ 此时有 ,yf[g(x，,x)],f[g(x)]f[g(x，,x)],f[g(x)]g(x，,x),g(x) ,,,,x,xg(x，,x),g(x),x f(u，,u),f(u)g(x，,x),g(x),, ～ ,u,x dy,yfu，,u,fugx，,x,gx()()()(),,, = f ,(u),g ,(x), limlimlim ,x,0,u,0,x,0dx,x,u,x 简要证明: dy,y,yy,,u,u,,,,, , limlim,lim,lim,f(u)g(x),x,0,x,0,u,0,x,0dx,x,u,x,u,x dy3x 例3 ～ 求, y,edx u33x 解 函数可看作是由y,e～ u,x复合而成的～ 因此 y,e dydydu3u22x ,,,e,3x,3xe, dxdudx dy2xy,sin 例4 ～ 求, 21，xdx 2x2xy,sinu,是由y,sin u ～ 复合而成的～ 解 函数221，x1，x 222dydy2(1，x),(2x)2(1,x)du2x,,,cosu,,,cos因此 , 22222dxdudx(1，x)(1，x)1，x 第三节 函数的微分及其应用 教案编号:8 教学时间: 教学班级 授课类型: 教学目的: 1、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数 公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 教学重点: 1、基本初等函数的导数公式。 教学难点: 1、微分形式的不变性 一、基本求导法则与导数公式 1(基本初等函数的导数: (1)(C),,0～ ,,,1(2)(x),,, x～ (3)(sin x),,cos x～ (4)(cos x),,,sin x～ 2(5)(tan x),,secx～ 2(6)(cot x),,,cscx～ (7)(sec x),,sec x,tan x～ (8)(csc x),,,csc x,cot x～ x x(9)(a),,a ln a～ xx(10)(e),,e～ 1,(logx),(11) ～ axlna 1,(lnx),(12) ～ x 1,(13) ～ (arcsinx),21,x 1,(14) (arccosx),,, 21,x 1,(arctanx),(15) ～ 21，x 1,(arccotx),,(16) , 21，x 2(函数的和、差、积、商的求导法则 设u,u(x)～ v,v(x)都可导～ 则 ,,uuv,uv,(),(1)(u ,v),,u,,v,～ (2)(C u),,C u,～ (3)(u v),,u,,v，u,v,～ (4) 2vv 二、微分的定义 引例 函数增量的计算及增量的构成, 一块正方形金属薄片受温度变化的影响～ 其边长由x变到x，,x～ 问此薄片的面积改变00 了多少, 2 设此正方形的边长为x～ 面积为A～ 则A是x的函数: A,x, 金属薄片的面积改变量为 222 ,A,(x，,x),(x) ,2x,x ，(,x), 0002 几何意义: 2x,x表示两个长为x宽为,x 的长方形面积, (,x)表示边长为,x的正方形的00 面积, 22 数学意义: 当,x,0时～ (,x)是比,x 高阶的无穷小～ 即(,x),o(,x), 2x,x是,x的线性0函数～ 是,A的主要部分～ 可以近似地代替,A, 定义 设函数y,f(x)在某区间内有定义～ x及x，,x在这区间内～ 如果函数的增量 00 ,y ,f(x，,x),f(x) 可表示为 ,y,A,x，o(,x)～ 00 其中A是不依赖于,x的常数～ 那么称函数y,f(x)在点x是可微的～ 而A,x叫做函数y,f(x)在0 点x相应于自变量增量,x的微分～ 记作 dy～ 即 dy ,A ,x, 0 函数可微的条件: 函数f(x)在点x可微的充分必要条件是函数f(x)在点x可导～ 且当函00数f(x)在点x可微时～ 其微分一定是 0 dy,f ,(x),x, 02 例1 求函数y,x在x,1和x,3处的微分, 2 解 函数y,x在x,1处的微分为 2 dy,(x),|,x,2,x, x,12函数y,x在x,3处的微分为 2 dy,(x),|,x,6,x , x,33 例2(求函数 y,x当x,2～ ,x ,0. 02时的微分, 解: 先求函数在任意点x 的微分 32 dy,(x),,x,3x,x , 再求函数当x,2～ ,x,0. 02时的微分 22 dy| ,3x| ,3，2，0.02,0.24, x,2～ ,x,0.02 x,2, ,x,0.02 三、微分的几何意义 当,y 是曲线y,f(x)上的点的纵坐标的增量时～ dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量, 当|,x|很小时～ |,y,dy|比|,x|小得多, 因此在点M的邻近～ 我们可以用切线段来近似代替曲线段, 四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分的表达式 dy ,f ,(x)dx 可以看出～ 要计算函数的微分～ 只要计算函数的导数～ 再乘以自变量的微分, 因此～ 可得如果下的微分公式和微分运算法则, 1, 基本初等函数的微分公式 导数公式: 微分公式: , ,,1 , ,,1(x),,, x d (x),, xd x (sin x),,cos x d (sin x),cos x d x (cos x),,,sin x d (cos x),,sin x d x 2 2(tan x),,sec x d (tan x),secx d x 2 2(cot x),,,cscx d (cot x),,cscx d x (sec x),,sec x tan x d (sec x),sec x tan x d x (csc x),,,csc x cot x d (csc x),,csc x cot x d x x x x x (a ),,aln a d (a ),aln a d x x x x x(e),e d (e),e d x 11,(log),(logx),dxdx aaxlnalnxa 11,(lnx), d(lnx),dx xx 11, (arcsin),(arcsinx),dxdx221,x1,x 11, (arccosx),,(arccos),,dxdx221,x1,x 11,(arctanx),(arctan),dxdx 221，x1，x 11,(arccot),,(arccotx),,dxdx 221，x1，x 2, 函数和、差、积、商的微分法则 求导法则: 微分法则: (u,v),,u,, v, d(u,v),du,dv (Cu),,Cu , d(Cu),Cdu (u,v),, u,v，uv, d(u,v),vdu，udv ,,uuv,uvuvdu,udv,(),(v,0)d(),dx(v,0) 22vvvv 3, 复合函数的微分法则 设y,f(u)及u,,(x)都可导～ 则复合函数y,f[,(x)]的微分为 dy,y,dx,f ,(u),,(x)dx, x 于由,,(x)dx,du～ 所以～ 复合函数y,f[,(x)]的微分公式也可以写成 dy,f ,(u)du 或 dy,y,du, u 由此可见～ 无论u是自变量还是另一个变量的可微函数～ 微分形式dy,f ,(u)du保持不变, 这 一性质称为微分形式不变性, 这性质表示～ 当变换自变量时～ 微分形式dy,f ,(u)du并不改变, 例3(y,sin(2x，1)～ 求dy, 解: 把2x，1看成中间变量u～ 则 ),cos udu,cos(2x，1)d(2x，1) dy,d(sin u ,cos(2x，1),2dx,2cos(2x，1)dx, 在求复合函数的导数时～ 可以不写出中间变量, 五、微分在近似计算中的应用 1(函数的近似计算 在工程问题中～ 经常会遇到一些复杂的计算公式, 如果直接用这些公式进行计算～ 那是 很费力的, 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替, 如果函数y,f(x)在点x处的导数f ,(x),0～ 且,,x|很小时～ 我们有 0 ,y,dy,f ,(x),x～ ,y,f(x，,x),f(x),dy,f ,(x),x～ f(x，,x),f(x)，f ,(x),x, 若令x,x，,x～ 00000000即,x,x,x～ 那么又有 f(x), f(x)，f ,(x)(x,x), 0 000 特别当x,0时～ 有 f(x), f(0)，f ,(0)x, 这些都是近似计算公式, 0 例1(有一批半径为1cm的球～ 为了提高球面的光洁度～ 要镀上一层铜～ 厚度定为0, 301cm, 估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm)? 43VR,, 解: 已知球体体积为～ R,1cm～ ,R,0. 01cm, 镀层的体积为 03 223 ,V,V(R，,R),V(R),V ,(R),R,4,R,R,4，3. 14，1 ，0. 01,0. 13(cm), 0000 于是镀每只球需用的铜约 0. 13 ，8. 9 ,1. 16(g), 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法 教案编号:9 教学时间: 教学班级 授课类型 教学目的: 1、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点:; 1、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点: 1、 隐函数和由参数方程确定的导数。 一、隐函数的微分法 x 显函数: 形如y,f(x)的函数称为显函数, 例如y,sin x ～ y,ln x，+e, 隐函数: 由方程F(x～ y),0所确定的函数称为隐函数, 3 3 例如～ 方程x，y,1,0确定的隐函数为y , y,1,x 如果在方程F(x～ y),0中～ 当x取某区间内的任一值时～ 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在～ 那么就说方程F(x～ y),0在该区间内确定了一个隐函数, 把一个隐函数化成显函数～ 叫做隐函数的显化, 隐函数的显化有时是有困难的～ 甚至是不可能的, 但在实际问题中～ 有时需要计算隐函数的导数～ 因此～ 我们希望有一种方法～ 不管隐函数能否显化～ 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来, y 例1(求由方程e，xy,e,0 所确定的隐函数y的导数, 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 y (e),，(xy),,(e),,(0),～ y即 e, y,，y，xy,,0～ y y,y,,从而 (x，e,0), yx，e 57 例2(求由方程y，2y,x,3x,0 所确定的隐函数y,f(x)在 x,0处的导数y,|, x,0 解: 把方程两边分别对x求导数得 6 5y,y,，2y,,1,21x,0～ 61，21x,由此得 y,, 45y，2 6121x1，,y|| 因为当x,0时～ 从原方程得y,0～ 所以, ,,x,0x,045y22， 22yx3，,1(2, 3) 例3, 求椭圆在处的切线方程, 1692 x29x,,，y,y,0 解: 把椭圆方程的两边分别对x求导～ 得, 从而 y,,, 8916y 33,y,3|k,y,, 当x,2时～ ～ 代入上式得所求切线的斜率, 所求的切线方程为 x,224 33y,3,,(x,2)3x，4y,83,0 ～ 即, 24 ,二、由参数方程所确定的函数的导数 ,x,(t), 设y与x的函数关系是由参数方程确定的, 则称此函数关系所表达的函数为由,y,,(t),参数方程所确定的函数, 在实际问题中～ 需要计算由参数方程所确定的函数的导数, 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难, 因此～ 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数, ,, 设x,(x)～ 且此反函数能与函数y,,(t)具有单调连续反函数t,,,(t)构成复合函数 ,,[(t)和y,(t)都可导～ 则 y,,,(x) ]～ 若x,,, ,,dydydy(t)dt1 ～ ,,,,,dx,dxdtdxdt,(t) dt dy ,,dydy(t)dt即 或, ,,dx,dxdx,(t) dt ,,dy(t)若x,,(t)和y,,(t)都可导～ 则, ,,dx,(t) x,acost, ,t, 例4, 求椭圆在相应于点处的切线方程, ,4y,bsint, ,dy(bsint)bcostb 解: , ,,,,cott,dx(acost),asinta dyb 所求切线的斜率为, ,,,t,dxa4 22,,cossinx,a,ay,b,b 切点的坐标为～ , 004242 2b2y,b,,(x,a) 切线方程为～ 2a2 ,2即 bx，ayab ,0, , x,a(t,sint), 例5(计算由摆线的参数方程所确定 ,y,a(1,cost), 的函数y,f(x)的二阶导数, ,,[a(1,cost)]dyy(t)asint,,, 解: ,,dxx(t)[a(t,sint)]a(1,cost) sintt,,cot (t,2n,～ n为整数), 1,cost2 2dydyddtdt,(),(cot), 2dxdxdxdt2dx 111,,,,, 2ta(1,cost)a(1,cost)22sin2 (t,2n,～ n为整数), 第五节 高阶导数 教案编号:10 教学时间: 教学班级 授课类型 教学目的: 1、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 教学重点: 1、高阶导数; 第 I 条 ?2. 3 高阶导数 一般地～ 函数y,f(x)的导数y,,f ,(x)仍然是x 的函数, 我们把y,,f ,(x)的导数叫做函数 2dyy,f(x)的二阶导数～ 记作 y,,、f ,,(x)或～ 2dx 2dydyd,()即 y,,,(y,),～ f ,,(x),[f ,(x)], ～ , 2dxdxdx 相应地～ 把y,f(x)的导数f ,(x)叫做函数y,f(x)的一阶导数, 类似地～ 二阶导数的导数～ 叫做三阶导数～ 三阶导数的导数叫做四阶导数～ , , ,～ 一般地～ (n,1) 阶导数的导数叫做n 阶导数～ 分别记作 34ndydydy (4) (n) y,,,～ y～ , , , ～ y 或～ ～ , , , ～ , 34ndxdxdx 函数f(x)具有n 阶导数～ 也常说成函数f(x)为n 阶可导, 如果函数f(x)在点x 处具有n 阶 导数～ 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数, 二阶及二阶以上的 导数统称高阶导数, (4)(n)y,称为一阶导数～ y,,～ y,,,～ y～ , , ,～ y都称为高阶导数, 例1(y,ax ，b ～ 求y,,, 解: y,,a～ y,,,0, 例2(s,sin , t～ 求s,,, 2 解: s,,, cos , t ～ s,,,,,sin , t , 32 例3(证明: 函数满足关系式yy,,，1,0, y,2x,x 2,2x1,x,y,, 证明: 因为～ 2222x,x2x,x 2,2x2,2x,x,(1,x)222,2x，x,(1,x)1122x,x,,y,, ～ ,,,,233222x,x(2x,x)(2x,x)y22(2x,x) 3所以yy,,，1,0, , 第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 洛必达法则 教案编号:11 教学时间: 教学班级 授课类型 教学目的: 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 教学重点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理; 2、洛必达法则。 教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用; 2、洛必达法则的灵活运用。 一 中值定理 1、罗尔定理 罗尔定理 如果函数y,f(x)在闭区间[a, b]上连续～ 在开区间(a, b)内可导～ 且有f(a),f(b)～ (a, b)内至少在一点 ～ 使得f ,(),0, 那么在,, 罗尔定理的几何意义: 2、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 在开区间(a～ b)内可导～ 那么在 (a～ b)内至少有一点,(a<,0时～ (ln x),～ x 1 dx,lnx，C (x>0), ,x 11,,(,1), 当x<0时～ [ln(,x)],～ ,xx 1 dx,ln(,x)，C (x<0), ,x 合并上面两式～ 得到 1 dx,ln|x|，C (x,0), ,x 例3 设曲线通过点(1～ 2)～ 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍～ 求此曲 线的方程, 解 设所求的曲线方程为y,f(x)～ 按题设～ 曲线上任一点(x～ y)处的切线斜率为y,,f ,(x),2x, , 即f(x)是2x 的一个原函数, 22xdx,x，C 因为 ～ , 2 2故必有某个常数C使f(x),x，C～ 即曲线方程为y,x，C, 因所求曲线通过点(1～ 2)～ 故 2,1，C～ C,1, 2于是所求曲线方程为y,x，1, 积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线, 从不定积分的定义～ 即可知下述关系: d[f(x)dx],f(x) ～ ,dx d[f(x)dx],f(x)dx或 , , 又由于F(x)是F,(x)的原函数～ 所以 ,F(x)dx,F(x)，C ～ , 或记作 , dF(x),F(x)，C, 二、基本积分表 (1)(k是常数)～等 kdx,kx，C, 111,3,3，1dx,xdx,x，C,,，C 例4 , ,,32312,，xx 5752，12221xxdx,xdx322,,,xx，C 例5 ,x，C, ,x，C577，12 4,，1413,,dxx333,xdx例6 , ,，C,,，C,,3x，C,,334xxx,，13 三、不定积分的性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和～ 即 , [f(x)，g(x)]dx,f(x)dx，g(x)dx,,, ,,, 这是因为, ,f(x)，g(x). [f(x)dx，g(x)dx],[f(x)dx]，[g(x)dx],,,, 性质2 求不定积分时～ 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来～ 即 kf(x)dx,kf(x)dx(k是常数～ k ,0), ,, 51222x(x,5)dx,(x,5x)dx 例7. ,, 51512222,xdx,5xdx,xdx,5xdx ,,,, 7322225 ,x,,x，C, , 73 xxx,e,3sinx，C(e,3cosx)dx,edx,3cosxdx 例8 , ,,, xxx(2)e2exxx2(2)edx,edx,，C,，C 例9 , ,,ln(2)1ln2e， 22x，(1，x)1，x，x11dx,dx,(，)dx 例10 ,,,222xx(1，x)x(1，x)1，x 11,dx，dx,arctanx，ln|x|，C , ,,2x1，x 2244(，1)(,1)，1xx,1，1xx,,dxdxdx 例11 ,,,2221，1，1，xxx 1122,(x,1，)dx,xdx,dx，dx ,,,,221，x1，x 13,x,x，arctanx，C , 3 222tanxdx,(secx,1)dx,secxdx,dx 例12 ,,,, , tan x , x ， C , 第二节 换元积分法 教案编号:15 教学时间: 教学班级 授课类型 教学目的: 1、掌握换元积分法(第一，第二)与分部积分法。 教学重点: 1、换元积分法与分部积分法。 教学难点: 1、换元积分法; 一、第一类换元法 设f(u)有原函数F(u)～ u,,(x)～ 且,(x)可微～ 那么～ 根据复合函数微分法～ 有 d F[,(x) ],d F(u),F ,(u)d u, F, [,(x) ] d,(x), F ,[,(x) ],,(x)d x ～ 所以 F ,[,(x)],,(x)dx, F ,[,(x)] d,(x), F ,(u)d u, d F(u),d F[,(x) ]～ ,,,因此 ,,,,F[(x)](x)dx,F[(x)]d(x),, , ,dF[,(x)],F[,(x)]，C, ,F(u)du,dF(u),,, ,即 f[,(x)],(x)dx,f[,(x)]d,(x),[f(u)du]u,,(x),,, ,[F(u)，C], F[,(x)]，C, u , ,(x) 定理1 设f(u)具有原函数～ u,,(x)可导～ 则有换元公式 ,f[,(x)],(x)dx,f[,(x)]d,(x),f(u)du,F(u)，C,F[,(x)]，C , ,,, 被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待～ 从而微分等式,,(x)dx ,du可以应用到 被积表达式中, g(x)dx 在求积分时～ 如果函数g(x)可以化为g(x), f[,(x)],,(x)的形式～ 那么 , ,,f[,(x)],(x)dx,[f(u)du]g(x)dx, u,,(x),,, ,,cos2xd(2x)2cos2xdx,cos2x,(2x)dx 例1. ,,, ,cosudu,sinu，C ,sin 2x，C , , 11111,dxxdx,d(3，2x),(3，2) 例2. ,,,23，2x3，2x23，2x 1111,dx,ln|u|，C,ln|3，2x|，C , ,22u2 222xx2x2u,2xedx,e(x)dx,ed(x),edu 例3. ,,,, 2ux , ,e，C,e，C 1122222, 例4. x1,xdx,1,x(x)dx,1,xdx ,,,22 131112222 1(1) ,,,xd,x,,udu,,u，C,,223 3122 , ,,(1,x)，C3 sinx1tanxdx,dx,,dcosx 例5. ,,,cosxcosx 1,,du,,ln|u|，C ,u ,,ln|cos x|，C , 即 , tanxdx,,ln|cosx|，C, 类似地可得, cotxdx,ln|sinx|，C, 二、第二类换元法 定理2 设x ,,(t)是单调的、可导的函数～ 并且,,(t),0, 又设f [,(t)],,(t)具有原函数F(t)～ 则有换元公式 ,1,, f(x)dx,f[,(t)],(t)dt,F(t),F[,(x)]，C,, ,,其中t,,(x)是x,,(t)的反函数, 这是因为 dt1,1,,, , {F,[(x)]},F(t),f[,(t)],(t),f[,(t)],f(x)dxdx dt 22 例6. 求a,xdx(a>0), , ,,22222a,x,a,asint,acost,,t, 解: 设x,a sin t ～ ～ 那么～ 22 dx ,a cos t d t ～ 于是 22a,xdx,acost,acostdt ,, 11222,acostdt,a(t，sin2t)，C , ,24 22xxax,tttsin2,2sincos,2,因为, ～ 所以 t,arcsinaaa 21ax1122222arcsin,，xa,x，C,a(t，sin2t)，Ca,xdx, ,2224a dx 例7. 求(a>0), ,22x，a ,,,,t, 解法一: 设x,a tan t～ ～ 那么 22 2dxasect,dt,sectdt ,ln|sect，tant|，C ,,,22asectx，a 22xx，a22 ～ ,ln(，)，C,ln(x，x，a)，C1aa其中C,C,ln a , 1 222222提示:,asect ～ dx,a sect dt ～ x，a,a，atant 22xa，xtant,t提示:～ , sec,aa 解法二: 设x,a sh t ～ 那么 ach txdx,dt,dt,t，C,arsh，C ,,,22ach tax，a ,,xx222,ln，()，1，C,, ～ ,ln(x，x，a)，C1aa,,其中C,C,ln a , 1 22222x，a,asht，a,a ch t ～ dx ,a ch t d t , 提示: dx 例8 求(a>0), ,22x,a ,0,t, 解: 当x>a 时～ 设x,a sec t ()～ 那么 2 222222x,a,asect,1,asect,a,a tan t ～ 于是 asecttantdx,dt,sectdt, ln |sec t ， tan t |，C , ,,,22atantx,a 22xa,xsect,ttan,因为～ ～ 所以 aa 22dxxx,a22,ln|，|，C, ln |sec t ， tan t |，C ～ ,ln(x，x,a)，C,122aax,a 其中C,C,ln a , 1 当xa～ 于是 dxdu22,,,,ln(u，u,a)，C ,,2222x,au,a 2222 ～ ,,ln(,x，x,a)，C,ln(,x,x,a)，C1 22,x,x,a22,ln，C,ln(,x,x,a)，C～ 12a 其中C,C,2ln a , 1 综合起来有 dx22, ,ln|x，x,a|，C,22x,a ,0,t, 解: 当x>a 时～ 设x,a sec t ()～ 那么 2 asecttantdx,dt,sectdt ,,,22atantx,a 22xx,a ,ln|sect，tant|，C,ln(，)，Caa 22 ～ ,ln(x，x,a)，C 其中C,C,ln a , 1 当x<,a 时～ 令x,,u ～ 则u>a～ 于是 dxdu22 ,,,,ln(u，u,a)，C ,,2222x,au,a 22,x,x,a22 ,,ln(,x，x,a)，C,ln，C2a 22 ～ ,ln(,x,x,a)，C1其中C,C,2ln a , 1 222222x,a,asect,1,asect,a提示:,atant , 22xa,xsect,ttan,提示:～ , aa 综合起来有 dx22,ln|x，x,a|，C , ,22x,a 补充公式: tanxdx,,ln|cosx|，C(16)～ , cotxdx,ln|sinx|，C，,,，～ , secxdx,ln|secx，tanx|，C(18)～ , cscxdx,ln|cscx,cotx|，C(19)～ , 11xdx,arctan，C(20)～ ,22aaa，x 11x,adx,ln||，C(21)～,222ax，ax,a 1xdx,arcsin，C(22)～ ,22aa,x ,第二节 分部积分法 教案编号:16 教学时间: 教学班级 授课类型 教学目的: 1、掌握分布积分法。 教学重点: 1、分部积分法。 教学难点: 设函数u,u(x)及v,v(x)具有连续导数, 那么～ 两个函数乘积的导数公式为 (uv),,u,v，uv,～ 移项得 uv,,(uv),,u,v, 对这个等式两边求不定积分～ 得 ,, ～ 或～ uvdx,uv,uvdxudv,uv,vdu,,,, 这个公式称为分部积分公式, 分部积分过程: ,,uvdx,udv,uv,vdu,uv,uvdx, , , ,, ,,,, 例1 xcosxdx,xdsinx,xsinx,sinxdx,x sin x,cos x，C , ,,, xxxxxxxedx,xde,xe,edx,xe,e，C 例2 , ,,, 2x2x2xx2xedx,xde,xe,edx 例3 ,,, 2xx2xx2xxx,xe,2xedx,xe,2xde,xe,2xe，2edx ,,, 2xxxx2 ,xe,2xe，2e，C ,e(x,2x，2 )，C, 1111222xlnxdx,lnxdx,xlnx,x,dx 例4 ,,,222x 1111222lnln,xx,xdx,xx,x，C , ,2224 arccosxdx,xarccosx,xdarccosx 例5 ,, 1,arccos，xxxdx ,21,x 1,12222,xarccosx,1,x，C,xarccosx,(1,x)d(1,x) , ,2 1111222,xarctanx,x,dxxarctanxdx,arctanxdx 例6 ,,,2221，x2 1112,xarctanx,(1,)dx ,2221，x 1112 , ,xarctanx,x，arctanx，C222x 例7 求, esinxdx, xxxx 解 因为 esinxdx,sinxde,esinx,edsinx,,,xxxx ,esinx,ecosxdx,esinx,cosxde,,xxx ,esinx,ecosx，edcosx, xxx ,esinx,ecosx，edcosx, xxx ～ ,esinx,ecosx,esinxdx, 1xxesinxdx,e(sinx,cosx)，C所以 , ,2 3, 例8 求secxdx, 解 因为 32 secxdx,secx,secxdx,secxdtanx ,,, 2,secxtanx,secxtanxdx , 2,secxtanx,secx(secx,1)dx , 3,secxtanx,secxdx，secxdx ,, 3,secxtanx，ln|secx，tanx|,secxdx ～ , 13,(secxtanx，ln|secx，tanx|)，Csecxdx所以 , ,2 dxI, 例9 求～ 其中n为正整数, n,22n(x，a) dx1xI,,arctan，C 解 , 1,22aax，a 当n,1时，用分部积分法～ 有 2dxxx,，2(,1)ndx ,,22n,122n,122n(，)(，)(，)xaxaxa 2x1a,，,,2(n1)[]dx ～ ,22n,122n,122n，，，(xa)(xa)(xa) x2即 ～ I,，2(n,1)(I,aI),,n1n1n,22n1(x，a) 1x于是 , I,[，(2n,3)I]nn,1222n,12a(n,1)(x，a) 1x以此作为递推公式～ 并由即可得, II,arctan，Cn1aa x 例10 求, edx, 2 解 令x,t ～ 则 ～ dx,2tdt, 于 xttx , edx,2tedt,2e(t,1)，C,2e(x,1)，C,, xx2x edx,ed(x),2xedx,,, xxx ,2xde,2xe,2edx,, xxx , ,2xe,2e，C,2e(x,1)，C 第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分 令,(x),u,～ f[,(x)],(x)dx,f[,(x)]d,(x)f(u)du,,, , u(x)v(x)dx,u(x)dv(x) ,u(x)v(x),v(x)du(x), ,,,哪些积分可以用分部积分法, x2xxcosxdx～ xedx～ xedx, ,,, xlnxdxxarctanxdxarccosxdx～ ～ , ,,, x3esinxdxsecxdx～ , ,, 22xx2u2xedx,edx,edu, , , , ～ ,,, 2x2x2xx2xedx,xde,xe,edx, , , , , ,,, 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 教案编号:17 教学时间: 教学班级 授课类型 教学目的: 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 教学重点: 1、定积分的性质及定积分中值定理 教学难点: 1、定积分的概念 一、引例 曲边梯形的面积 曲边梯形: 设函数y,f(x)在区间[a～ b]上非负、连续, 由直线x,a、x,b、y,0及曲线y,f (x)所围成的图形称为曲边梯形～ 其中曲线弧称为曲边, 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形～ 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替～ 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积～ 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值, 具体方法是: 在区间[a～ b]中任意插入若干个分点 a,x, x, x, , , ,, x, x,b～ 012n,1n 把[a～ b]分成n个小区间 [x～ x]～ [x～ x]～ [x～ x]～ , , , ～ [x～ x]～ 011223n,1n 它们的长度依次为,x, x,x ～ ,x, x,x ～ , , , ～ ,x, x,x , 110221n n n,1 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段～ 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形, 在每个小区间 [x～ x]上任取一点,～ 以[x～ x]为底、f (,)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i,1～ 2～ i,1i i i,1i i , , , ～ n) ～ 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值～ 即 n,f(,),xA,f (,),x， f (,),x，, , ,， f (,),x, , 11 22 n nii,1i 求曲边梯形的面积的精确值: 显然～ 分点越多、每个小曲边梯形越窄～ 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值～ 因此～ 要求曲边梯形面积A的精确值～ 只需无限地增加分点～ 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 记 ,,max{,x～ ,x～, , ,～ ,x}～ 于是～ 上述增加分点～ 使每个小曲边梯形的宽度趋于零～ 相当于12n 令,,0, 所以曲边梯形的面积为 nA,limf(,),x, ,ii,0,,1i 二、定积分定义, 定义 设函数f(x)在[a～ b]上有界～ 在[a～ b]中任意插入若干个分点 a,x, x, x, , , ,, x, x,b～ 012n,1n 把区间[a～ b]分成n个小区间 [x～ x]～ [x～ x]～ , , ,～ [x～ x] ～ 0112n,1n 各小段区间的长依次为 ,x,x,x～ ,x,x,x～, , ,～ ,x,x,x, 110221n n n,1 在每个小区间[x～ x]上任取一个点, (x, , , x)～ 作函数值f (,)与小区间长度,x的乘积 i,1i ii,1 ii ii ) ,x (i,1～ 2～, , ,～ n) ～ 并作出和 f (, ii nS,f(,),x, ,ii,1i 记, , max{,x～ ,x～, , ,～ ,x}～ 如果不论对[a～ b]怎样分法～ 也不论在小区间[x,～ x]上点, 怎12ni1i i样取法～ 只要当,,0时～ 和S 总趋于确定的极限I～ 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区 b间[a～ b]上的定积分～ 记作～ f(x)dx,a nbf(x)dx,limf(,),x即 , ,ii,a,,0,1i 其中f (x)叫做被积函数～ f (x)dx叫做被积表达式～ x叫做积分变量～ a 叫做积分下限～ b 叫做积分上限～ [a～ b]叫做积分区间, 定义 设函数f(x)在[a～ b]上有界～ 用分点a,x,x,x, , , ,,x,x,b把[a～ b]分成n个012n,1n小区间: [x～ x]～ [x～ x]～ , , ,～ [x～ x] ～ 记,x,x,x(i,1～ 2～, , ,～ n), 0112n,1niii,1 ,[x～ x] (i,1～ 2～, , ,～ n)～ 作和 任, ii,1i n , S,f(,),x,ii,1i 记,,max{,x～ ,x～, , ,～ ,x}～ 如果当,,0时～ 上述和式的极限存在～ 且极限值与区间[a～ 12n b]的分法和,的取法无关～ 则称这个极限为函数f(x)在区间[a～ b]上的定积分～ 记作 i bf(x)dx～ ,a nb即 , f(x)dx,limf(,),x,ii,,0,a,1i bA,f(x)dx 根据定积分的定义～ 曲边梯形的面积为, ,a T2S,v(t)dt 变速直线运动的路程为, ,T1 说明: (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关～ 而与积分变量的记法无关～ 即 bbbf(x)dx,f(t)dt,f(u)du, ,,,aaa nf(,),x (2)和通常称为f (x)的积分和, ,ii,1i (3)如果函数f (x)在[a～ b]上的定积分存在～ 我们就说f (x)在区间[a～ b]上可积, 定积分的几何意义: b 在区间[a～ b]上～ 当f(x),0时～ 积分在几何上表示由曲线y,f (x)、两条直线x,a、f(x)dx,a x,b 与x轴所围成的曲边梯形的面积, 当f(x),0时～ 由曲线y ,f (x)、两条直线x,a、x,b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方～ 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值, nnbbf(x)dx,limf(,),x,,lim[,f(,)],x,,[,f(x)]dx , ,,iiii,,aa,,0,,0i,1i,1 用定积分的定义计算定积分: 12 例1. 利用定义计算定积分, xdx,0 解 把区间[0～ 1]分成n等份～ 分点为和小区间长度为 1i,x,x, (i,1～ 2～, , ,～ n,1)～ (i,1～ 2～, , ,～ n) , iinn i,, 取(i,1～ 2～, , ,～ n)～ 作积分和 in nnni122fxx,,,,,,,()() ,,,iiiinn,1,1,1iii n1111112,i,,n(n，1)(2n，1),(1，)(2，) , ,336nn6nn,1i 1,, 因为～ 当,,0时～ n,,～ 所以 n n111112xdxlimf()xlim(1)(2),,,,，，, , ,ii,00,,n,,6nn31i, 利定积分的几何意义求积分: 1(1,x)dx 例2, 用定积分的几何意义求, ,0 解: 函数y,1,x在区间[0～ 1]上的定积分是以y,1,x为曲边～ 以区间[0～ 1]为底的曲边梯形 的面积, 因为以y,1,x为曲边～ 以区间[0～ 1]为底的曲边梯形是一直角三角形～ 其底边长及高 均为1～ 所以 111(1)11,xdx,，，, , ,022 三、定积分的性质, 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 bbb[f(x),g(x)]dx,f(x)dx,g(x)dx , ,,,aaa nnnb,lim[f(,),g(,)],x,limf,(),x,limg(,),x[f(x),g(x)]dx 证明: ,,,iiiiiii,a,,,,0,0,0i,1i,1i,1 bb,f(x)dx,g(x)dx , ,,aa 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 bbkf(x)dx,kf(x)dx , ,,aa nnbbkf(x)dx,limkf(,),x,klimf(,),x,kf(x)dx 这是因为, ,,iiii,,aa,,,0,0,1i,1i 性质, 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积 分之和 即 bcb , f(x)dx,f(x)dx，f(x)dx,,,aac 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性, , 性质4 如果在区间[a b]上f (x),1 则 bb , 1dx,dx,b,a,,aa 性质5 如果在区间[a～ b]上 f (x), g(x) 则 bb (a,b), , f(x)dx,g(x)dx,,aa 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 则在积分区间[a～ b]上 至少存在一个点, ～ 使下式成立: b f(x)dx,f(,)(b,a), ,a 这个公式叫做积分中值公式, 证明 由性质6 b m(b,a),f(x)dx,M(b,a)～ ,a 各项除以b,a 得 b1m,f(x)dx,M ～ ,ab,a 再由连续函数的介值定理～ 在[a～ b]上至少存在一点, ～ 使 b1f(,),f(x)dx ～ ,a,ba 于是两端乘以b,a得中值公式 bf(x)dx,f(,)(b,a) , ,a 积分中值公式的几何解释: 应注意: 不论ab～ 积分中值公式都成立, 第二节 微积分基本公式 教案编号:18 教学时间: 教学班级 授课类型 教学目的: 1、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 教学重点: 1、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点: 1、变上限函数的导数。 一、引例 设物体从某定点开始作直线运动～ 在t时刻所经过的路程为S(t)～ 速度为 v,v(t),S,(t)(v(t),0)～ 则在时间间隔[T～ T]内物体所经过的路程S可表示为 12 T2及v(t)dt～ S(T),S(T)21,T1 T2v(t)dt,S(T),S(T)即 , 21,T1 上式表明～ 速度函数v(t)在区间[T～ T]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T～ T]上1212 的增量, 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢, 二、积分上限函数及其导数 ～ b]上连续～ 并且设x为[a～ b]上的一点, 我们把函数f(x)在部分区间[a～ 设函数f(x)在区间[a xf(x)dxx]上的定积分称为积分上限的函数, 它是区间[a～ b]上的函数～ 记为 ,a xx,f(x)dxf(t)dt,(x)～ 或,(x),, ,,aa 定理1 如果函数f(x)在区间[a～ b]上连续～ 则函数 x,f(x)dx ,(x) ,a 在[a～ b]上具有导数～ 并且它的导数为 xd,f(t)dt,f(x) ,,(x)(a,x0～ 则同理可证,,(x), f(a), 若x,b ～ 取,x<0～ 则同理可证,,(x), f(b), ，, 定理的重要意义: 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的～ 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系, 三、微分学基本公式 定理3 如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间[a～ b]上的一个原函数～ 则 b , f(x)dx,F(b),F(a),a 此公式称为牛顿,,莱布尼茨公式～ 也称为微积分基本公式, , 证明: 已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数～ 又根据定理2～ 积分上限函数 x ,(x), f(t)dt,a 也是f(x)的一个原函数, 于是有一常数C～ 使 F(x),,(x),C (a,x,b), 当x,a时～ 有F(a),,(a),C～ 而,(a),0～ 所以C,F(a), 当x,b 时～ F(b),,(b),F(a)～ 所以,(b),F(b),F(a)～ 即 b f(x)dx,F(b),F(a), ,a 12 例1. 计算xdx, ,0 123x 解: 由于是x的一个原函数～ 所以 3 1111123133[]10xdx,x,,,,, , 0,03333 3dx 例2 计算, ,2,11，x 1 解 由于arctan x是的一个原函数～ 所以 21，x 3 7,,dx3,,(,),,[arctanx], , ,arctan3,arctan(,1),1,2,134121，x ,11dx 例3. 计算, ,,2x ,11,1dx,[ln|x|] 解: ,ln 1,ln 2,,ln 2, ,2,,2x 例4. 计算正弦曲线y,sin x在[0～ ,]上与x轴所围成的平面图形的面积, 解: 这图形是曲边梯形的一个特例, 它的面积 ,,A,sinxdx,[,cosx] ,,(,1),(,1),2, 0,0 第三节 定积分的换元法与分部积分法 教案编号:19 教学时间: 教学班级 授课类型 教学目的: 1、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 教学重点: 1、定积分的换元积分法与分部积分法。 教学难点: 1、定积分的换元积分法分部积分法。 一、换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间[a～ b]上连续～ 函数x,,(t)满足条件: (1),(, ),a ～ ,(,),b, (2),(t)在[,～ ,](或[,～ ,])上具有连续导数～ 且其值域不越出[a～ b]～ 则有 b,,f(x)dx,f[,(t)],(t)dt, ,,a, 这个公式叫做定积分的换元公式, 证明 由假设知～ f(x)在区间[a～ b]上是连续～ 因而是可积的, f [(t)],(t)在区间[～ ](或[～ ,,,,, ,])上也是连续的～ 因而是可积的, 假设F(x)是f (x)的一个原函数～ 则 bf(x)dx,F(b),F(a), ,a 另一方面～ 因为{F[,(t)]},,F ,[,(t)],,(t), f [,(t)],,(t)～ 所以F[,(t)]是f [,(t)],,(t)的一个原 函数～ 从而 ,,f[,(t)],(t)dt,F[,(, )],F[,(, )],F(b),F(a), ,, b,,f(x)dx,f[,(t)],(t)dt因此 , ,,a, a22a,xdx 例1 计算(a>0), ,0 ,a令x,asint222 解 a,xdx acost,acostdt,,00 ,,2a2222,acostdt,(1，cos2t)dt ,,002 ,2a1122[tsin2t]a,，,, , 0224 ,22222t,a,x,a,asint,acost提示: ～ dx,a cos t , 当x,0时t,0～ 当x,a时, 2 ,52cosxsinxdx 例2 计算, ,0 解 令t,cos x～ 则 ,,5522 cosxsinxdx,,cosxdcosx,,00 01令x,tcos111556 [] , ,tdt,tdt,t,,,01066 ,x,提示: 当x,0时t,1～ 当时t,0, 2 ,,5522或 cosxsinxdx,,cosxdcosx,,00 ,1111,6662[cos]coscos0,,x,,，, , 066266 ,35 例3 计算, sinx,sinxdx,0 3,,352 解 sinx,sinxdx,sinx|cosx|dx,,00 33,,222 ,sinxcosxdx,sinxcosxdx,,,02 33,,222 ,sinxdsinx,sinxdsinx,,,02 ,55,22224222 , [sin][sin](),x,x,,,,,0555552 335322sinx,sinx,sinx(1,sinx),sinx|cosx|, 提示: ,,[0, ][, ,] 在上|cos x|,cos x～ 在上|cos x|,,cos x, 22 4，2x 例4 计算, dx,02，1x 2t,1，2433令2x，1,tx，2122 解 dx ,tdt,(t，3)dt,,,011t22x，1 3111271223[3][(9)(3)],t，t,，,，, , 123233321t,x,提示: ～ dx,tdt, 当x,0时t,1～ 当x,4时t,3, 2 例5 证明: 若f (x)在[,a～ a]上连续且为偶函数～ 则 aaf(x)dx,2f(x)dx , ,,,a0 0aaf(x)dx,f(x)dx，f(x)dx 证明 因为～ ,,,,,0aa 00aa令x,,tf(x)dx ,f(,t)dt,f(,t)dt,f(,x)dx而 ～ ,,,,00,aa aaaf(x)dx,f(,x)dx，f(x)dx所以 ,,,,a00 aaa,[f(,x)，f(x)]dx,2f(x)dx,2f(x)dx , ,,,0,a0 讨论: a 若f(x)在[,a～ a]上连续且为奇函数～ 问, f(x)dx,,,a 提示: 若f (x)为奇函数～ 则f (,x)，f (x) ,0～ 从而 aa , f(x)dx,[f(,x)，f(x)]dx,0,,,a0 二、分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间[a～ b]上具有连续导数u,(x)、v,(x)～ 由 (uv),,u,v ，u v,得u v,,u v,u,v ～ 式两端在区间[a～ b]上积分得 bbbbbb,,～ 或, uvdx,[uv],uvdxudv,[uv],vduaa,,,,aaaa 这就是定积分的分部积分公式, 分部积分过程: bbbbbb,,, uvdx,udv,[uv],vdu,[uv],uvdx, , , , aa,,,,aaaa 12 例1 计算, arcsinxdx,0 111222 解 arcsinxdx,[xarcsinx],xdarcsinx,,000 11x,2,,,dx ,02261,x 111,22,，d(1,x) ,021221,x 13,,22 ,，[1,x],，,1, 012122 1xedx 例2 计算, ,0 x,t 解 令～ 则 11xtedx,2etdt ,,00 1t,2tde ,0 11tt ,2[te] ,2edt ,00 1t ,2e,2[e] ,2 , 0 ,n2I,sinxdx 例3 设～ 证明 n,0 1331n,n,,I,,,,,,, (1)当n为正偶数时～ , n2422nn, n,1n,342I,,,,,, (2)当n为大于1的正奇数时～ , nnn,253 ,,nn,122 证明 I,sinxdx,,sinxdcosxn,,00 ,, n,n,1122 ,,[cosxsinx]，cosxdsinx 0,0 ,,n,n,2n2222 ,(n,1)cosxsinxdx,(n,1)(sinx,sinx)dx,,00 ,,n,2n22 ,(n,1)sinxdx,(n,1)sinxdx,,00 ,(n,1)I,,(n,1)I ～ n 2 n由此得 n,1II ,, nn,2n 2m12m32m531,,,II,,,,,,, ～ 2m02m2m22m442,, 2m2m22m442,,II,,,,,,, ～ 2m，112m12m12m353，,, ,,,22I,dx,而～ ～ I,sinxdx,10,1,002 因此 21232531m,m,m,,I,,,,,,,, ～ 2m22224422mm,m, 2m2m22m442,,I,,,,,,, , 2m，12m12m12m353，,, 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的微元法及平面图形的面积 教案编号:20 教学时间: 教学班级 授课类型 教学目的 1、理解元素法的基本思想; 2、掌握用定积分表达和计算平面图形的面积。 教学重点: 1、计算平面图形的面积。 教学难点: 1、计算平面图形的面积。 一、定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y,f (x),0 (x,[a～ b]), 如果说积分～ bA,f(x)dx ,a 是以[a～ b]为底的曲边梯形的面积～ 则积分上限函数 xA(x),f(t)dt ,a 就是以[a～ x]为底的曲边梯形的面积, 而微分dA(x),f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯 形面积的近似值,A,f (x)dx～ f (x)dx称为曲边梯形的面积元素, 以[a～ b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式～ 以 [a～ b]为积分区间的定积分: bA,f(x)dx , ,a 一般情况下～ 为求某一量U～ 先将此量分布在某一区间[a～ b]上～ 分布在[a～ x]上的量用函 数U(x)表示～ 再求这一量的元素dU(x)～ 设dU(x),u(x)dx～ 然后以u(x)dx为被积表达式～ 以[a～ b]为积分区间求定积分即得 bU,f(x)dx, ,a 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法), 二、平面图形的面积 设平面图形由上下两条曲线y,f(x)与y,f(x)及左右两条直线x,a与x,b所围成～ 则上下 面积元素为[f(x), f(x)]dx～ 于是平面图形的面积为 上下 bS,[f(x),f(x)]dx , 上下,a 类似地～ 由左右两条曲线x,,(y)与x,,(y)及上下两条直线y,d与y,c所围成设平面图左右 形的面积为 dS,[,(y),,(y)]dy , 右左,c 22 例1 计算抛物线y,x、y,x所围成的图形的面积, 解 (1)画图, (2)确定在x轴上的投影区间: [0～ 1], 2 (3)确定上下曲线: , f(x),x, f(x),x上下 (4)计算积分 312112312 , ()[]S,x,xdx,x,x,0,03332 例2 计算抛物线y,2x与直线y,x,4所围成的图形的面积, 解 (1)画图, (2)确定在y轴上的投影区间: [,2～ 4], 12,(y),y, ,(y),y，4 (3)确定左右曲线: , 左右2 (4)计算积分 42341112,[y，4y,y],18S,(y，4,y)dy, ,2,,2262 22yx 例3 求椭圆所围成的图形的面积, ，,122ab 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍～ 椭圆在第一象限部分在x 轴上的 投影区间为[0～ a], 因为面积元素为ydx～ 所以 aS,4ydx, ,0 椭圆的参数方程为: x,a cos t ～ y,b sin t ～ a0S,4ydx于是 ,4bsintd(acost),,,02 下面为朱自清的散文欣赏，不需要的朋友可 以下载后编辑删除～～～谢谢～～～ 荷塘月色 作者: 朱自清 这几天心里颇不宁静。今晚在院子里坐着乘凉，忽然想起日日走过的荷塘，在这满月的光里，总该另有一番样子吧。月亮渐渐地升高了，墙外马路上孩子们的欢笑，已经听不见了;妻在屋里拍着闰儿，迷迷糊糊地哼着眠歌。我悄悄地披了大衫，带上门出去。 沿着荷塘，是一条曲折的小煤屑路。这是一条幽僻的路;白天也少人走，夜晚更加寂寞。荷塘四面，长着许多树，蓊蓊郁郁的。路的一旁，是些杨柳，和一些不知道名字的树。没有月光的晚上，这路上阴森森的，有些怕人。今晚却很好，虽然月光也还是淡淡的。 路上只我一个人，背着手踱着。这一片天地好像是我 的;我也像超出了平常的自己，到了另一世界里。我爱热闹，也爱冷静;爱群居，也爱独处。像今晚上，一个人在这苍茫的月下，什么都可以想，什么都可以不想，便觉是个自由的人。白天里一定要做的事，一定要说的话，现在都可不理。这是独处的妙处，我且受用这无边的荷香月色好了。 曲曲折折的荷塘上面，弥望的是田田的叶子。叶子出水很高，像亭亭的舞女的裙。层层的叶子中间，零星地点缀着些白花，有袅娜地开着的，有羞涩地打着朵儿的;正如一粒粒的明珠，又如碧天里的星星，又如刚出浴的美人。微风过处，送来缕缕清香，仿佛远处高楼上渺茫的歌声似的。这时候叶子与花也有一丝的颤动，像闪电般，霎时传过荷塘的那边去了。叶子本是肩并肩密密地挨着，这便宛然有了一道凝碧的波痕。叶子底下是脉脉的流水，遮住了，不能见一些颜色;而叶子却更见风致了。 月光如流水一般，静静地泻在这一片叶子和花上。薄薄的青雾浮起在荷塘里。叶子和花仿佛在牛乳中洗过一样;又像笼着轻纱的梦。虽然是满月，天上却有一层淡淡的云，所以不能朗照;但我以为这恰是到了好处——酣眠固不可少，小睡也别有风味的。月光是隔了树照过来的，高处丛生的灌木，落下参差的斑驳的黑影，峭楞楞如鬼一般;弯弯的杨柳的稀疏的倩影，却又像是画在荷叶上。塘中的月 色并不均匀;但光与影有着和谐的旋律，如梵婀玲上奏着的名曲。 最新有关系学生会竞选演讲稿范文 敬的学校领导、老师、亲爱的同学们: 大家好! 我是来自xx班的xx。我性格活泼开朌,处事沉着、果断,能够顾全大局。今天我很荣幸地站在这里表达自己由来已久的愿服:“我要竞选学生会宣传部部长。”我在这里郑重承诺:“我将尽全力完成学校领导和同学们交给我的任务,使学生会成为一个现代化的积极团体,成为学校的得力助手和同学们信赖的组织。” 我已经在团委会纪检部(戒班级的干部)工作了近一年的段时间,从工作中,我学会了怎样为人处世、怎样学会忍耐,怎样解决一些矛盾,怎样协调好纪检部各成员之间的关系,怎样处理好纪检部不其它部门之间的关系,怎样动员一切可以团结的力量,怎样提拔和运用良才,怎样处理好学习不工作之间的矛盾。这一切证明:我有能力胜任学生会宣传部部长一职,并且有能力把学生会发扬光大。 假如我当上了学生会宣传部长,我要进一步完善自己,提高自己各方面的素质,要进一步提高自己的工作热情,以饱满的热情和积极 的心态去对待每一件事情;要进一步提高责任心,在工作中大胆创新,锐意进取,虚心地向别人学习;要进一步的广纳贤言,做到有错就改,有好的意见就接受,同时坚持自己的原则。 假如我当上了学生会宣传部部长,我要改革学生会的体制。真正的做到“优胜劣汰”,做到“日日清,周周结”,每周都对各部门的负责人进行考核,通过其部门的成员反应情况,指出他在工作中的优点和缺点,以朊友的身份不他商讨解决方案并制定出下阶段的计划。 经常不他们谈心,彼此交流对生活、工作的看法,为把学生会工作做好而努力。开展主席团成员和各部长及负责人常作自我批评,自我检讨的活动,每月以

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面材料形式存入档案。我还将常常找各部门的成员了解一些情况,为作出正确的策略提供可靠的保证。还要协调好各部门 之间的关系,团结一切可团结的力量,扩大学生会宣的影响及权威。 假如我当上了学生会宣传部部长,我将以“奉献校园,朋务同学”为宗旨,真正做到为同学们朋务 ,代表同学们行使合法权益,为校园的建设尽心尽力。在学生会利益前,我们坚持以学校、大多数同学的利益为重,决不以公谋私。努力把学生会打造成一个学生自己管理自己,高度自治,体现学生主人翁精神的团体。 我知道,再多灿烂的话语也只不过是一瞬间的智慧不激情,朴实的 行动才是开在成功之路上的鲜花。我想,如果我当选的话,一定会言必行,行必果。 请各位评委给我一张信任的投票,给我一个施展才能的机会! 荷塘的四面，远远近近，高高低低都是树，而杨柳最多。这些树将一片荷塘重重围住;只在小路一旁，漏着几段空隙，像是特为月光留下的。树色一例是阴阴的，乍看像一团烟雾;但杨柳的丰姿，便在烟雾里也辨得出。树梢上隐隐约约的是一带远山，只有些大意罢了。树缝里也漏着一两点路灯光，没精打采的，是渴睡人的眼。这时候最热闹的，要数树上的蝉声与水里的蛙声;但热闹是它们的，我什么也没有。 忽然想起采莲的事情来了。采莲是江南的旧俗，似乎很早就有，而六朝时为盛;从诗歌里可以约略知道。采莲的是少年的女子，她们是荡着小船，唱着艳歌去的。采莲人不用说很多，还有看采莲的人。那是一个热闹的季节，也是一个风流的季节。梁元帝《采莲赋》里说得好: 于是妖童媛女，荡舟心许;鷁首徐回，兼传羽杯;欋将移而藻挂，船欲动而萍开。尔其纤腰束素，迁延顾步;夏始春余，叶嫩花初，恐沾裳而浅笑，畏倾船而敛裾。 可见当时嬉游的光景了。这真是有趣的事，可惜我们 现在早已无福消受了。 于是又记起《西洲曲》里的句子: 采莲南塘秋，莲花过人头;低头弄莲子，莲子清如水。 今晚若有采莲人，这儿的莲花也算得“过人头”了;只不 见一些流水的影子，是不行的。这令我到底惦着江南了。 ——这样想着，猛一抬头，不觉已是自己的门前;轻轻地 推门进去，什么声息也没有，妻已睡熟好久了。 在北京住了两年多了，一切平平常常地过去。要说福气，这也是福气了。因为平平常常，正像“糊涂”一样“难得”，特别是在“这年头”。但不知怎的，总不时想着在那儿过了五六年转徙无常的生活的南方。转徙无常，诚然算不得好日子;但要说到人生味，怕倒比平平常常时候容易深切地感着。现在终日看见一样的脸板板的天，灰蓬蓬的地;大柳高槐，只是大柳高槐而已。于是木木然，心上什么也没有;有的只是自己，自己的家。我想着我的渺小，有些战栗起来;清福究竟也不容易享的。 这几天似乎有些异样。像一叶扁舟在无边的大海上，像一个猎人在无尽的森林里。走路，说话，都要费很大的力气;还 不能如意。心里是一团乱麻，也可说是一团火。似乎在挣扎着，要明白些什么，但似乎什么也没有明白。“一部《十七史》，从何处说起，”正可借来作近日的我的注脚。昨天忽然有人提起《我的南方》的诗。这是两年前初到北京，在一个村店里，喝了两杯“莲花白”以后，信笔涂出来的。于今想起那情景，似乎有些渺茫;至于诗中所说的，那更是遥遥乎远哉了，但是事情是这样凑巧:今天吃了午饭，偶然抽一本旧杂志来消遣，却翻着了三年前给S的一封信。信里说着台州，在上海，杭州，宁波之南的台。这真是“我的南方”了。我正苦于想不出，这却指引我一条路，虽然只是“一条”路而已。 ---------------朱自清《一封信》 燕子去了，有再来的时候;杨柳枯了，有再青的时候;桃花谢了，有再开的时候。但是，聪明的，你告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢?——是有人偷了他们罢:那是谁?又藏在何处呢?是他们自己逃走了罢:现在又到了哪里呢? 我不知道他们给了我多少日子;但我的手确乎是渐渐空虚了。在默默里算着，八千多日子已经从我手中溜去;像针尖上一滴水滴在大海里，我的日子滴在时间的流里，没有声音，也没有影子。我不禁头涔涔而泪潸潸了。 --载自《匆匆》 这时我们都有了不足之感，而我的更其浓厚。我们却只不愿回去，于是只能由懊悔而怅惘了。船里便满载着怅惘了。直到利涉桥下，微微嘈杂的人声，才使我豁然一惊;那光景却又不同。右岸的河房里，都大开了窗户，里面亮着晃晃的电灯，电灯的光射到水上，蜿蜒曲折，闪闪不息，正如跳舞着的仙女的臂膊。我们的船已在她的臂膊里了;如睡在摇篮里一样，倦了的我们便又入梦了。那电灯下的人物，只觉像蚂蚁一般，更不去萦念。这是最后的梦;可惜是最短的梦!黑暗重复落在我们面前，我们看见傍岸的空船上一星两星的，枯燥无力又摇摇不定的灯光。我们的梦醒了，我们知道就要上岸了;我们心里充满了幻灭的情思。 --载自《桨声灯影里的秦淮河》 近几年来，父亲和我都是东奔西走，家中光景是一日不如一日。他少年出外谋生，独力支持，做了许多大事。那知老境却如此颓唐!他触目伤怀，自然情不能自已。情郁于中，自然要发之于外;家庭琐屑便往往触他之怒。他待我渐渐不同往日。但最近两年的不见，他终于忘却我的不好，只是惦记着我，惦记着我的儿子。我北来后，他写了一信给我，信中说道，“我身体平安，惟膀子疼痛利害，举箸提笔，诸多不便，大约大去之期不远矣。”我读到此处，在晶莹的泪光中，又看见那肥胖的，青布棉袍，黑布马褂的背影。唉!我不知何时