做余弦运动物体下悬挂小球运动研究

做余弦运动物体下悬挂小球运动研究 摘 要,做余弦运动的物体,通过刚性杆与小球连接。小球运动方程,得到二阶微分方程并求解小球运动幅值,进而对运动幅值进行分析。关键词,余弦运动,小球,二阶微分方程,运动幅值 中图分类号,O411.1 文献标志码,A 1、模型分析 众所周知,二阶非齐次微分方程是常微分方程的重要内容,在纯粹数学、应用数学、技术、力学以及物理学等众多领域有着及其重要的位置[1-5],因此本文举例进行了说明。 对于两个相连物体的运动来说,较为常见的是物体A的运动对物体B有影响,而物体B运动对物体A没有影响,那该问题可以简化为以下的物理模型。 在桌面上放置一物体A,其下悬挂一质量为m的小球B。当物体A在水平面上做微幅余弦运动时,对于小球B的运动,可由以下分析求得。物体A和小球B运动示意图见图1。 令物体A坐标为(x1,y1),小球B的坐标(x2,y2),物体A与小球B之间的连接杆为刚性杆,长L。杆与垂直方向的夹角为?琢。其中x1, y1,x2,y2和?琢都是时间t的函 1 数。 物体A的运动方程为, 其中,b示物体A的运动幅值,?棕表示频率,tm表示缓冲周期。 小球B的运动过程为, 对小球B进行受力分析,在水平方向有, 把x2代入上式可得, 同理,在垂直方向, 把y2代入上式可得, 由 化简可得, 当?琢较小时,可令 , ,故,5,式可以变为 方程,6,就是在该模型下得到的小球B运动的二阶微分方程,方程,6,的解为 其中, 当t=0时,?琢=0,得到 当t=0时,?琢=0,得到 ,,: 2、算例分析 根据上述,可以对一些具体情况进行计算。计算条件见表1。 不同条件下,小球B的运动幅值见图2和图3。 由图2和图3可知,随着物体A运动周期的增加,小球B在水平方向和垂直方向都是先增大后减小,当周期较大时, 2 小球B水平方向和垂直方向的幅值随周期增加变化不大。 对于两种杆长,都存在物体A的某一周期附近小球B的位移发生突变的情况,即在该周期附近,小球B的运动幅值很大。这表示小球运动周期与物体A的运动周期非常接近,发生了共振现象。下面对这一周期进行研究。在前面的公式推导中,系数C存在分母为0的情况,令分母为0可得, 即 当杆长分别为10m和20m时,周期T1分别为6.3s和9.0s。而图2和图3中正好显示在该周期情况下,小球的运动幅值均较大。 3、结论 1、对做余弦运动的物体下悬挂的小球进行理论分析,得到了小球运动方程的解析表达式。 2、通过算例分析发现,当物体A运动周期与某一周期接近时,小球的运动幅值较大。反之,小球运动幅值与物体A的周期关系很小。 3、在较多数的实际应用中,共振现象会造成物体运动过大,并产生破坏,通过本文研究,为避免共振现象的发生提供了一定的理论基础,比如吊车在海上作业时必须要避免共振现象的发生。 参考文献 [1] 丁同仁,李承治.常微分方程教程[M]. 北京: 高等教育 3 出版社, 2001. [2] 韩中庚.数学建模方法及其应用[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005. [3] 李尚志,陈发来,吴辉发等,数学实验[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999. [4] 黄大琪.一阶与二阶微分方程在物理中的应用举例[J]. 芜湖联合大学学报, 1998, 2(1): 6,8. [5] 同济大学数学教研室.高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996. 作者简介, 潘静,1979-,,女,辽宁铁岭人,渭南师范学院物理与电气工程学院讲师,硕士,研究方向,从事大学物理和电磁学教学理论和实验研究。 4