正方形的判定

正方形的判定 教学目标:： 1、 知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。 2、 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说 理的基本方法。 3、 理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问的观点。 教学重点：掌握正方形的判定条件。 教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算。 教学过程： 一、 创设问题情景，引入新课 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们 之间有怎样的包含关系？请填入下图中。 通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱 形都是特殊的平行四边形。 1、怎样判断一个四边形是矩形？ 2、怎样判断一个四边形是菱形？ 3、怎样判断一个四边形是平行四边形？ 4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？ 议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？ 二、讲授新课 1、探索正方形的判定条件： 学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师 生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。 （1）直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是 直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形； （2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形； （3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。 后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个 方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边想的相等的矩形是正 方形；有一个角是直角的菱形是正方形。 上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、 矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可 作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。 2、正方形判定条件的应用 【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。 （1） 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； （2） 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形； （3） 对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （4） 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （5） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 师生共析： （1） 是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每 个角为90?，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题。 （2） 真命题。四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是 菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真。 （3） 假命题。对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定 是正方形。如下图，满足AO=CO，BO=DO且AC?BD但四边形ABCD不是正方形。 （4） 假命题。它可能是任意四边形。如上图，AC?BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形。 （5） 真命题。 方法一，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角 线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形。可判定其为真。 方法二，对角线平分 平行四边形 菱 形 对角线垂直 正方形 平行四边形 矩 形 对角线相等 方法三，由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱 形又是矩形的四边形就是正方形。 总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立 的判定依据，以便灵活应用。 【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且?EAF=45?，试说明EF=BE+DF。 师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。 像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。 解：将?ADF旋转到?ABC，?????? 则?ADF??ABG ?AF=AG，?ADF=?BAG，DF=BG ??EAF=45?且四边形是正方形， ??ADF??BAE=45? ??GAB??BAE=45? 即?GAE=45? ??AEF??AEG（SAS） ?EF=EG=EB?BG=EB?DF 【例3】画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。 画法：1、画线段=30cm，取AC的中点O。 2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm。 3、连结AB?BC?CD?DA. 则四边形ABCD就是所要画的正方形. 证明：?AO=CO,BO=DO 四边形ABCD是平行四边形。 又?AC=BD, ?平行四边形ABCD是矩形。 ?AC?BD ?平行四边形ABCD是菱形。 ?四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）。 说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的判定方法的认识. 三、随堂练习 课本练习3。 通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。 四、课时小结 师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形 判定方法的应用。 五、课后作业 习题 14，15，16，17。 补例、如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使?EAF=45?，AG?EF于G. 求证： AG=AB 解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证Rt?ABE与Rt?AGE全等，但条件不够. ?EAF=45?怎么用呢？显然?1＋?2=45?，若把它们拼在一起，问题就解决了. 证明：把 ?AFD绕A点旋转90?至?AHB. ??EAF=45?，??1＋?2=45?. ??2=?3，??1＋?3=45?. 又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. ? ?AEF??AEH.