数列公式大全

数列大全 数列公式大全 设An为等差数列d为公差 性质1AnA1n-1dAmn-md SnnA1An/2nA1nn-1d/2 2AnSn-Sn-12AnAn-1An1An-kAnk 3若abcd则AaAbAcAd 设An为某数列Sn为前n项和则有以下几点性质: 4形如Snan2bncab?0当且仅当c0时An为等差数列.即当An为等差数Sn是不含常数项的关于n的二次函数. 5形如aAnbAn-1ca?b的数列总可以化为等比数列即令axbxc即xc/a-b即An-c/a-baAn-1-c/a-b 所以BnAn-b/1-a为等比数列 6形如aAnbAn-1cAn-20abc?0的数列总可以化为等比数列即令ax2bxc0的根为x1x2则 An-x1An-1x2An-1-x1An-2 An-x2An-1x1An-1-x2An-2 令Bn-1An-x1An-1..........................1 Bn-1An-x2An-1...........................2 则BnBn为等比数列从而可以求出BnBn。再解12方程组可求出An。 7若An0形如AnacAn-1b的数列可化为5的形式即两边取对数即:algAnblgAn-1lgc令BnlgAn即aBnbBn-1c 等差数列Sna1nnn-1d/2 等比数列1:q1时Snna1 2:q1时Sna11-q的n次方/1-q 求和 等差“首数末数项数/2 等比数列求和公式首项1-比值项数/1-比值 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、 等差数列求和公式 、 等比数列求和公式 自然数方幂和公式 3、 4、 5、 例 求和1x2x4x6…x2n4x?0 2 解 ?x?0 ?该数列是首项为1公比为x2的等比数列而且有n3项 当x21 即x?1时 和为n3 评注 1利用等比数列求和公式当公比是用字母表示时应对其是否为1进行讨论如本若为“等比”的形式 而并未指明其为等比数列还应对x是否为0进行讨论 2要弄清数列共有多少项末项不一定是第n项 对应高考考题设数列112…12 ……的前顶 的值。 二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位和为 则 置近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列an bn的前n项和其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 然后再将得到的新和式和原和式相减转化为同倍数的等比数列求和这种方法就是错位相减法。 例 求和 ………………………? 解由题可知 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积 设 ………………………. ? 设制错位 ??得 错位相减 再利用等比数列的求和公式得 ? 注意、1 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题设正项等比数列 的首项 前n项和为 且 。?求 的通项 ?求 的前n项和 。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列反序再把它与原数列相加就可以得到n个 . 例 求证 证明 设 ………………………….. ? 把?式右边倒转过来得 反序 又由 可得 …………..…….. ? ??得 反序相加 ? 四、分组法求和 有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差、等比或常见的数列然后分别求和再将其合并即可. 若数列 的通项公式为 其中 中一个是等差数列另一个是等比数列求和时一般用分组结合法。 例求数列 的前n项和 数列的通项公式为 而数列 分别是等差数列、等比数列求和时一般用分组结合法 解 因为 所以 分组 前一个括号内是一个等比数列的和后一个括号内是一个等差数列的和因此 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项通项分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的. 通项分解裂项如 1 2 3 4 5 例 求数列 的前n项和. 解设 裂项 则 裂项求和 小结此类 变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。 注意 余下的项具有如下的特点 1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。 练习 在数列an中 又 求数列bn的前n项的和. 六、合并法求和 针对一些特殊的数列将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质因此在求数列的和时可将这些项放在一起先求和然后再求Sn. 例 在各项均为正数的等比数列中若 的值. 解设 由等比数列的性质 找特殊性质项 和对数的运算性质 得 合并求和 10 数列的求和方法多种多样它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法在解题中才能比较容易解决数列问题。