2015年高考上海理科数学试题及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分． （1）【2015年上海，理1】设全集 ，若集合 ，则       ． 【答案】 【解析】根据题意，可得 ，故 ． 【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力． （2）【2015年上海，理2】若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则       ． 【答案】 【解析】设 ，根据题意，有 ，可把 化简成 ，对于系数相等可得出 ， ． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题． （3）【2015年上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为 、解为 ，则       ． 【答案】16 【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组 把 代入，可得 ， ． 【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． （4）【2015年上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则       ． 【答案】4 【解析】根据正三棱柱的体积计算公式 ． 【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题． （5）【2015年上海，理5】抛物线 上的动点 到焦点的距离的最小值为1，则       ． 【答案】2 【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有 ． 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． （6）【2015年上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为 ，则其母线与轴的夹角的大小为      ． 【答案】 【解析】设这个圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，母线与轴的夹角为 ，所以 ，而过轴的截面是一个三角形，故 ，有 ，所以 ， ， ． 【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键． （7）【2015年上海，理7】方程 的解为      ． 【答案】2 【解析】由条件可得 ， ，所以 或 ，检验后只有 符合． 【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题． （8）【2015年上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为      ．（结果用数值表示） 【答案】120 【解析】解法一： 这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4， 所以有 ． 解法二： 根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126 种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种． 【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算． （9）【2015年上海，理9】已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的2倍， 和 的轨迹分别为双曲线 和 ，若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程为      ． 【答案】 【解析】设点 和 的坐标为 、 ，则有 ，又因为 的渐近线方程为 ，故设 的 方程为 ，把 点坐标代入，可得 ，令 ， 即为曲线 的渐 近线方程，即 ． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． （10）【2015年上海，理10】设 为 的反函数，则 的最大值为      ． 【答案】4 【解析】通过，我们可得函数 在定义域 上是单调递增的，且值域为 ，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得 的定义域为 ，值域为 ，又原函数与反函数的公共定义域为 ，故 ． 【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题． （11）【2015年上海，理11】在 的展开式中， 项的系数为      ．（结果用数值表示） 【答案】45 【解析】在 中要得到 项的系数，肯定不能含有 项，故只有 ，而对于 ， 项的系数为 ． 【点评】本题考本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题． （12）【2015年上海，理12】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量 和 分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则       ．（元） 【答案】0.2 【解析】由题可知， ，           所以， 和 的分布列分别为： 1 2 3 4 5             ，即有 ． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键． （13）【2015年上海，理13】已知函数 ，若 存在满足 ，且 ，则 的最小值为      ． 【答案】8 【解析】对任意的 ， ，欲使 取最小值， 尽可能多的让 取最值点，考虑到 ， ， 按照右图所示取值可以满足条件，所以 的最小值为8． 【点评】本题主要考察正弦函数的图像，数形结合是本题关键． （14）【2015年上海，理14】在锐角 中， ， 为 边上的一点， 与 面积分别为2和4，过 作 于 ， 于 ，则       ． 【答案】 【解析】由题可知， ， ， ， ，所以 ， ， ， 化简可得 ． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分． （15）【2015年上海，理15】设 ，则“ 中至少有一个数是虚数”是“ 是虚数”的（  ） （A）充分非必要条件    （B）必要非充分条件    （C）充要条件    （D）既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】充分性不成立，如 ， ， 不是虚数；必要性成立，采用反证法，若 全不是虚数，即 均为实数，则 比为实数，所以 是虚数，则 中至少有一个数是虚数，故选B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键． （16）【2015年上海，理16】已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针转 至 ，则 的纵坐 标为（  ） （A）             （B）               （C）               （D） 【答案】D 【解析】以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ，则 ，且 ， ， 的纵坐标为： ，故选D． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键． （17）【2015年上海，理17】记方程①： ，方程②： ，方程③： ，其中 是正实数．当 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（  ） （A）方程①有实根，且②有实根              （B）方程①有实根，且②无实根    （C）方程①无实根，且②有实根              （D）方程①无实根，且②无实根 【答案】B 【解析】方程③无实根，则 ，又 ， ，当 成等比数列时， ，即有 ，由 得 ，即 ，当方程①有实根，且②无实根时， ， ，可以推出 ，故选B． 【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键． （18）【2015年上海，理18】设 是直线 与圆 在第一象限的交点，则极 限 （  ） （A）               （B）               （C）1                  （D）2 【答案】A 【解析】采用极限思想求解当 时，直线 趋向于 ，直线与圆的交点趋向于 ， 可以理解为过点 所作的圆的切线的斜率 ，设切线方程为 ，结合 ，即 ，解之 ，即 ，故选A． 【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． （19）【2015年上海，理19】（本小题满分12分）如图，在长方体中 ， ， ， 、 分别是棱 、 的中点，证明 、 、 、 四点  共面，并求直线 与平面 所成角的大小． 解：由于 、 分别是棱 、 的中点，所以 ，又 ，所以 ，  由公理三的推论，可知 、 、 、 四点共面．连接 、 由于 ，所 以直线 与平面 所成角的大小与 与平面 所成角的大小相等．设 与平面 所成角为 ，点 到平面 的距离为 ，则 ，在三棱锥 中，体积 ，所以 ，即 ，结合题中的数据，可以计算出 ， ， ， ，由此可以计算出 ，所以 ， 所以 ，即 ，所以直线 与平面 所成角的大小为 ． 【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型；本题也可采用空间向量解决． （20）【2015年上海，理20】（本小题满分14分）如图， 、 、 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米，现甲、乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）．甲的路线是 ，速度是5千米/小时，乙的路线是 ，速度为8千米/小时．乙到达 地 后原地等待，设 时，乙到达 地． （Ⅰ）求 与 的值； （Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米．当 时，求 的表达式，并 判断 在 上的最大值是否超过3？说明理由． 解：（Ⅰ）由题中条件可知 小时，此时甲与 点距离为 千米，由余弦定理可知 ，所以 ．                          ……6分 （Ⅱ）易知，当 时乙到达 位置，所以 ①当 时， ； ②当 时， ；综合①②， 当 时， 单调递减，此时函数的值域为 ； 当 时， 单调递增，此时函数的值域为 ； 当 时， 单调递减，此时函数的值域为 ； 由此，函数 在 上的值域为 ，而 ，即 ， 所以 在 上的最大值没有超过3．                                        ……14分 【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题． （21）【2015年上海，理21】（本小题满分14分）已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别与椭圆交于点 和 ，记得到的平行四边形 的面积为 ．