凸四边形的一个面积公式及一个猜想

凸四边形的一个面积公式及一个猜想 (李明 中国医科大学数学教研室 110001) 本文借助解三角形的知识推导出了凸四边形的一个面积公式，并通过类比得出了关于凸 边形面积公式的一个猜想. nn,5，， 凸四边形 面积公式 余弦定理 凸n边形 众所周知，如果已知三角形的两边aa,,及其夹角(如图1)， 121我们便有三角形面积S的公式如下： 3 1 (1) Saa,sin,31212 将上述结论类比到凸四边形，我们便有如下问题： 若已知凸四边形的三条边长依次为aa,a和， 123且知道它们所夹的两个内角依次为,,和(如图2)， 12 则其面积S如何用这已知的三条边和两个角来准确表示？ 4 即凸四边形有怎样的面积公式？ 在图2的基础上连出对角线AAm,，,AAA,，并记， 13132这就得到了图3.于是，凸四边形的面积S可以写成如下表达式： 4 SSS,， 4,,AAAAAA123134 11,，,aaamsinsin,,, ，，1213222 11,，,aaamsinsincoscossin,,,,, (2) ，，12132222 至此，欲求Ssin,，只须先用已知的边角将及这三个未知量一一表示出来. m,cos,4 首先，由余弦定理易得： 22maaaa,，,2cos, (3) 12121 其次，由余弦定理并结合(3)式可得： 222amaaa，,,cos,21211cos,,, (4) 222amaaaa，,2cos,212121 最后，由(4)式可得： 1 asin,211 (5) sin1cos,,,,,22aaaa2cos,，,12121 将(3)、(4)和(5)式代入(2)式并稍加整理，便可得到凸四边形的一个面积公式如下： 111 (6) Saaaaaa,，,，sinsinsin,,,,，，41212321312222 将上文的求凸四边形的面积公式问题推广到凸边形，我们便有如下问题： nn,5，， 若已知凸边形的条边长依次为 nn,5n,1，， aaaaa,,,,,，且知道它们所夹的 n,212321nn,, 个内角依次为,,,,,,(如图4)，则其面积 122n, 如何用这已知的条边和个角来准确表示？ n,1n,2 即凸边形有怎样的面积公式？ nn,5，， 对于此推广问题，从公式(1)和公式(6)的特点出发进行类比，我们猜想凸边形应nn,5，， 该有面积公式如下： 1ij，，1Saa,,，，，,,,1sin ，，，，nijiij，,11,11,,,,ijn2 至于此猜想是否正确，还有待于进一步研究. 2