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降落伞选购的优化模型论文定稿

2017-12-21 18页 doc 83KB 14阅读

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降落伞选购的优化模型论文定稿降落伞选购的优化模型论文定稿 降落伞选购的优化模型 作者名字 (**学校 **系,**省 **市 邮编) 摘 要:本文是一个降落伞选购的最优化问题,通过对问题的分析,运用力 学知识及微积分的知识,结合MATLAB软件和LINDO软件求得最佳选购方案 是选择6个半径为3米的降落伞,所需最少费用是元. Wxxxxx(,,,,)492912345 关键词:力学知识;微积分知识;最佳选购方案 1.问题重述 某灾区需要用飞机空投的救灾物资.需要选择一些降落伞,以保证在2000kg 高度为米、降落伞落地时的速度不超过米/秒的情况...
降落伞选购的优化模型论文定稿
降落伞选购的优化模型论文定稿 降落伞选购的优化模型 作者名字 (**学校 **系,**省 **市 邮编) 摘 要:本文是一个降落伞选购的最优化问题,通过对问题的分析,运用力 学知识及微积分的知识,结合MATLAB软件和LINDO软件求得最佳选购 是选择6个半径为3米的降落伞,所需最少费用是元. Wxxxxx(,,,,)492912345 关键词:力学知识;微积分知识;最佳选购方案 1.问题重述 某灾区需要用飞机空投的救灾物资.需要选择一些降落伞,以保证在2000kg 高度为米、降落伞落地时的速度不超过米/秒的情况下,使得空投任务得50020 以圆满完成.现已知降落伞面为半径r的半球面,用每根长为共根绳索连接的16l载重仅位于球心正下方球面处如图(1).每个降落伞的价格由三部分组成:伞m 面费用由伞的半径决定,见(1).绳索费用由绳索总长度及单价元/米决c4rii 定.固定费用为元.同时可以认为降落伞在降落过程中受到的空气阻力与降c2000 落速度和伞面积成正比.为了确定阻力系数,用半径米,载重的降mkg,300r,3落伞以米高度作试验测得各时刻的高度见表(2).试根据以上的条件为其t500h 确定降落伞的选购方案,即共需多少个,每个伞的半径多大(在表(1)中选择), 在满足空投的需求下,使总的费用最底. 表(1) rm() 2 2.5 3 3.5 4 i c(元) 65 170 350 660 1000 i 图(1) 表(2) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 t(s) 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 hm() 2.问题分析 通过阅读题目,我们可知本题属于优化问题,要使降落伞落地速度不超过 ,且能圆满完成空投的救灾物资的任务,而且使得费用最小,要2000kg20/ms 实现这一目标就要选择合适的降落伞,如何选伞就成为解决问题的关键.考虑到其落地速度不超过20,根据物理知识,它与物体的受力有关,所以我们首ms/ 先对承载物进行受力分析.在竖直方向上,它主要受的力有重力和空气阻力(空 mgfma,,气对降落伞的摩擦力).由牛顿第二定律可得,对此式积分可得到速度和位移的表达式.由题意可知降落伞在降落过程中受到的空气阻力与降落速 fkvs,k度和伞面积成正比,所以设(其中为阻力系数,为降落伞下降过程v 中的速度,为降落伞面积),利用微分对牛二定律进行推导可得到,Htvts,,,, k公式,根据已经测得的数据,运用MATLAB计算出几组阻力系数的值,应用误差分析对后几项数据进行均值处理得到.再联立速度和位移的表达式,结合已k 知条件可得出承载物的质量与降落伞半径(或面积)和速度的关系式,由落地时对速度的要求及所给降落伞的半径应用MATLAB求解,可解出各种半径降落伞的最大承载量.最后,设出每种降落伞的个数,根据题意确定约束条件xxxxxx(,,,,)和目标函数yxxxxx(,,,,),应用LINDO软件求解出降落伞个1234512345 数的最优解,从而得出降落伞的选购方式和所需的最小费用. 2 3.模型假设 针对本问题,我们做出以下假设: 1. 假设在竖直方向上,承载物只受重力和空气阻力的影响. 2. 假设货物可以任意分割. 3. 假设降落伞和绳索的重量可以忽略不计. 4. 假设空气阻力系数恒定. 5. 假设水平方向不受力. 4.符号说明 符号 说明 单位 f N空气阻力 mkg所投物的质量 m h物体在时刻的高度 t / k阻力系数 2 s 降落伞的面积 m 2 a ms/加速度 v ms/物体下降速度 2 g ms/重力加速度 s t时间 m 物体的位移 H c固定费用 元 0 p每米绳索的价格 元 q绳索的条数 条 元 ni,1,2,3,4,5,半径为的伞所需的绳索总费用 rii m降落伞的半径 ri,1,2,3,4,5,i kg mi,1,2,3,4,5,半径为的降落伞的最大承载量 rii 元 wi,1,2,3,4,5, 半径为的降落伞的总造价 rii 3 5.模型建立与求解 5.1. 模型建立 [1]5.1.1 阻力系数的计算 k 在竖直方向上对所投物体进行受力分析如图(2),根据 牛顿第二定律有 mgfma,, (1) 由题意可知降落伞在降落过程中受到的空气阻力与降落速度 和伞面积成正比,所以设 图(2) fkvs, (2) 把(2)式代入(1)式可得 mgkvsma,, 根据加速度的定义,上式可转化为 dvmgkvsm,, dt由上式积分可得速度与时间的表达式 ,kst,,mgm1vte,,,, (3) ,,ks,, 再对(3)式进行积分得位移的表达式 ,kst22mgtmgmgm,,,Hte,, (4) 2222ksksks )式和所给数据求得阻力系数. 运用(4k [1]5.1.2 降落伞的承载量的计算 联立(3)式与(4)式,消去时间可得 t 2,,,mgksvmvH,,,ln1 (5) ,,22ksmgks,, 由(3)式类推可得到时间与质量的关系式 ,kst,,mgm1vme,,,, ,,ks,, 4 对上式求导得 ,,kstkstgggt',,,,,mm vmee ksksm 再求导得 ,kst2kgstm,,0,,,vme,, 3m 所以为严格单调减函数,又因为,所以,所以vm'vm'0,vmlim'0vm,,,,,,,,,m,, 是关于的增函数,由反函数性质可知, 也是关于的增函数.那么当速度达mmv v,20到最大时,对应的承载物质量也最大.由已知条件知,所以当 v,20时,可求得各降落伞的最大承载量. [2]5.1.3 总费用的计算 xr设购买半径为的降落伞的个数是(),通过对题意进行分i,1,2,3,4,5,6ii 析,得到总费用的函数表达式 r 5 WxcLpqc,,,,, ,iii0,i1r L r根据几何知识如图(3)得到半径为的伞对应的每根绳索 i 的长度为,则总费用可表示为 图(3) Lr,2ii 5 Wxcrpqc,,,2 ,, (6) ,iii0,i1 令 wcrpqc,,,2 (7) iii0 则(6)式可转化为 5 Wxw, ,ii,i1 根据题中的要求,确定优化模型的目标函数为 5 yWxw,,min (8) ,ii,i1 5 约束条件为 5,xm2000,,,ii (9) ,,i1 ,xixZ0,(1,2,3,4,5),,,,ii, 5.2. 模型求解 [3]5.2.1 运用MATLAB对表(2)给出的数据进行处理,得到下表 表(3) k1k2k3k4k5k6k7k8k9k102.27 2.96 2.92 2.88 2.88 2.95 2.93 2.94 2.94 2.94 由表(3)数据可以看出,从起,的值基本趋于稳定,所以取到k6k6k10k 的平均数可得. k,2.94 kgvH,,,,,2.94,9.8,20,5005.2.2 把 代入(5)式,整理得出 6s,,22,,,,,4321.858.89.8ln1ssmm ,,m,, 所以有 ,,6s22i,,,,,,4321.858.89.8ln11,2,3,4,5ssmmi ,,,,iiiimi,, 2rsr,2,根据题意可知,结合表(1)所给数据运用MATLAB计算得到半径为iii [3]m的降落伞的最大承载量,如下表所示 i 表(4) 2() () rmkgms() miii 2 25.13 150.79 2.5 39.27 235.61 3 56.55 339.29 3.5 76.97 461.81 4 100.53 603.18 2由上表得出:半径是米的降落伞的最大承载量是,半径是米kg150.792.5 6 的伞的最大承载量是,半径是米的伞的最大承载量是,半kgkg235.613339.29径是米的伞的最大承载量是,半径是米的伞的最大承载量是4kg3.5461.81 . kg603.18 r根据题中所给信息,结合表(1)的数据运用式(7)得到半径为的伞的总i造价,如下表所示 wi ) 表(5 (米) (元) (元) (元) crnwc(元) iiii0 2 65 181.0193 200 446.01 2.5 170 226.2742 200 596.27 3 350 271.5290 200 821.52 3.5 660 316.7838 200 1176.78 4 1000 362.0387 200 1562.03 由上表易知,半径是米的伞所需的总造价是元,半径是米的伞2446.002.5所需的总造价是元,半径是米的伞所需的总造价是元,半径是596.303821.503.5米的伞所需的总造价是元,半径是米的伞所需的总造价是元. 41176.801562.00把表(5)的数据带入(8)式,把表(4)的数据带入(9)式,得 yxxxxx,,,,,min(446.0596.3821.51176.81562.0) 12345 150.79235.61339.29461.81603.182000xxxxx,,,,,,12345 ,xixZ,,,0,(1,2,3,4,5),ii, [2]运用LINDO软件计算得出最优解为 xxxxx,,,,,0,6 12453 圆满完成空投任务所需的最小费用为 y,4929 所以,当选购个半径为米的降落伞时,可以按要求完成空投任务,且花36 4929费的费用最少,最少费用是元. 6.模型检验 7 首先,我们在米,的条件下,把所求的值代入(4)式得r,3mkg,300k到一个的关系式,应用MATLAB(程序4)进行拟合得到曲线图(4),然Ht() 后我们将表(2)所给时间代入的关系式得到一组高度使其与表(2)中的Ht()t 高度进行比较,高度误差小于,所以求解的精度很高.用MATLAB(程序5)0.1 对表(2)中的和进行拟合作图可得到附录中的曲线图(5),对图(4)和图xt (5)进行比较可以得出,两个图基本上完全相同,说明了这种求解的正确性. 再者,我们在米,的条件下,把所求的值代入(3)式可r,3mkg,300k得到的关系式,应用MATLAB(程序6)进行拟合得到曲线图(6).我们从vt,, 曲线可以看出到秒左右,曲线基本和轴相平行,说明到秒左右速度基本x1010稳定不变,此时的阻力系数也基本确定,说明我们对值计算的正确性很高. k 图(4) 8 图(5) 图(6) 7.模型评价 7.1.模型的优点 1 运用简单的物理知识和几何知识解决实际问题,易理解,使得问题简单化. 2 该模型结合实例进行模型,运用微积分方程求解,公式推导详细,数据完整,并用MATLAB计算,将所学知识充分运用使得所求结果更精确. 3 模型在建立的过程中,切合实际,思路清晰、算法严密,具有一定的推广性. 7.2.模型的缺点 1 运用加权平均值法求解阻力系数有一定的误差. k 2 为了方便计算,对问题进行了理想化的假设,没有考虑风对水平影响,物资的分配,落伞和绳索的重量,高度和速度对阻力系数的影响,这对结果的精确性有一定的影响. 8.模型推广与改进 8.1.模型的推广 本模型不仅可以用于解决在米高度下对2000kg物资的空投问题,也可用500 于高度和质量改变时物资的空投问题,还可以用于解决生产过程中对生产和机器设备的有效利用,对生产效率的预测. 9 8.2.模型的改进 如果考虑降落伞和绳索的质量,水平受风力的影响,竖直方向还有其它力的 影响,随着速度的不同阻力系数呈函数变化,对上述条件进行综合处理,将会使 结果更符合实际,但事实上,如果各个因素综合考虑将会使求解变得极为复杂, 所以这个问题还待进一步完善. 致谢:本文在写作的过程中得到许俊莲老师的大力指导~在此深表感谢: 参考文献 [1] 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松,常微分方程[M]?北京:高等教育出版社,2006.1. [2] 谢金星、薛毅,优化建模与LINDO软件[M]?北京:清华大学出版社,2005.7. [3] 郑阿奇、曹戈,MATLAB实用教程[M]?北京:电子工业出版社,2007.7. The optimize model for purchasing of parachute Abstract: This is an optional parachute optimization problem, through analysis of the problem, by using of the mechanical knowledge and calculus knowledge, combining with MATLAB software and LINDO software to find the best purchase program is that choose 6 radius of 3 m of parachute, is the Wxxxxx(,,,,)12345 minimum necessary cost of 4929 Yuan. Keywords: Mechanical knowledge; Calculus knowledge; the best purchase program 附录 10 程序一 >> k1=solve('300*9.8/(k*18*pi)*(3+300/(k*18*pi)*exp(-k*18*pi*3/300)- k1 = 2.2724894499810392230194084073023 >> k2=solve('300*9.8/(k*18*pi)*(6+300/(k*18*pi)*exp(-k*18*pi*6/300)- 300/(k*18*pi))=75','k') k2 = 2.9607962586692443007587871520134 >> k3=solve('300*9.8/(k*18*pi)*(9+300/(k*18*pi)*exp(-k*18*pi*9/300)- 300/(k*18*pi))=128','k') k3 = 2.9237475683770059381685140328627 >> k4=solve('300*9.8/(k*18*pi)*(12+300/(k*18*pi)*exp(-k*18*pi*12/300)- 300/(k*18*pi))=183','k') k4 = 2.8881148035506746135328534369948 >> k5=solve('300*9.8/(k*18*pi)*(15+300/(k*18*pi)*exp(-k*18*pi*15/300)- 300/(k*18*pi))=236','k') k5 = 2.9018466243704290888401513074516 >> k6=solve('300*9.8/(k*18*pi)*(18+300/(k*18*pi)*exp(-k*18*pi*18/300)- 11 300/(k*18*pi))=285','k') k6 = 2.9562646136982836978278615628779 >> k7=solve('300*9.8/(k*18*pi)*(21+300/(k*18*pi)*exp(-k*18*pi*21/300)- 300/(k*18*pi))=340','k') k7 = 2.9347662923999609794317379903533 k8=solve('300*9.8/(k*18*pi)*(24+300/(k*18*pi)*exp(-k*18*pi*24/300)- 300/(k*18*pi))=392','k') k8 = 2.9441067925276956705135549875143 >> k9=solve('300*9.8/(k*18*pi)*(27+300/(k*18*pi)*exp(-k*18*pi*27/300)- 300/(k*18*pi))=445','k') k9 = 2.9439471985574224844132293043635 >> k10=solve('300*9.8/(k*18*pi)*(30+300/(k*18*pi)*exp(-k*18*pi*30/300) -300/(k*18*pi))=499','k') k10 = 2.9375218268659973805454184917134 >> k=(k7+k8+k9+k10)/4 k = 12 2.9400855275877691287259851934863 程序二 >> m1= solve('-m^2*9.8/(2.94* 25.1327)*log(1-2.94* 25.1327*20/(m*9.8)) -m*20=2.94* 25.1327*(500)','m') ans = 150.79646546591858125548228576842 >> m2=solve('-m^2*9.8/(2.94* 39.2699)*log(1-2.94* 39.2699*20/ (m*9.8))-m*20=2.94* 39.2699*(500)','m') m2 = 235.61981479109192780897650526594 >> m3=solve('-m^2*9.8/(2.94*56.5487)*log(1-2.94*56.5487*20/(m*9.8))- m*20=2.94*56.5487*(500)','m') m3 = 339.29279729963712915213610687402 >> m4=solve('-m^2*9.8/(2.94* 76.9690 )*log(1-2.94* 76.9690 *20/ (m*9.8))-m*20=2.94* 76.9690 *(500)','m') m4 = 461.81481299049792822312031947660 >> m5=solve('-m^2*9.8/(2.94* 100.5310 )*log(1-2.94* 100.5310 *20/ (m*9.8))-m*20=2.94* 100.5310 *(500)','m') m5 = 603.18706186578683914561068530580 程序三 min 446.0x1+596.3x2+821.5x3+1176.8x4+1562.0x5 ST 13 150.7x1+235.6x2+339.2x3+461.8x4+603.1x5>2000 x1>0 x2>0 x3>0 x4>0 x5>0 end GIN x1 GIN x2 GIN x3 GIN x4 GIN x5 RELEASE FIXED VARIABLES FIX ALL VARS.( 1) WITH RC > 17.8109 SET X4 TO >= 1 AT 1, BND= -4928. TWIN= -4942. 44 SET X1 TO <= 0 AT 2, BND= -4928. TWIN=-0.1000E+31 44 SET X4 TO <= 1 AT 3, BND= -4928. TWIN=-0.1000E+31 44 SET X3 TO >= 4 AT 4, BND= -5059. TWIN= -4959. 46 DELETE X3 AT LEVEL 4 DELETE X4 AT LEVEL 3 DELETE X1 AT LEVEL 2 DELETE X4 AT LEVEL 1 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 8 PIVOTS= 46 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4929.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 446.000000 X2 0.000000 596.299988 X3 6.000000 821.500000 X4 0.000000 1176.800049 X5 0.000000 1562.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 35.200073 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 6.000000 0.000000 14 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 46 BRANCHES= 8 DETERM.= 1.000E 0 程序四 >> t=1:1:40; >>H=300*9.8/(2.94*18*3.14)*(t+300/(2.94*18*3.14)*exp(-2.94*18*3.14*t/300)-300/(2.94*18*3 .14)); >> plot(H,t) 图(4) 程序五 >> t=0:3:30; >> H=[500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1]; >> h=500-H; >> plot(h,t,':*') 图(5) 程序六 t=0:40; 15 >> V=300*9.8*(1-exp(-2.94*2*pi*3^2*t/300)); >> plot(t,V) 16
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