MATLAB求矩阵分解特征值与特征向量

MATLAB求矩阵分解特征值与特征向量 (1) LU分解 A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。 [L,U]=lu(X):产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，矩阵X必须是方阵。 [L,U,P]=lu(X):产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。矩阵X必须是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。 例7-2 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下: -5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; A=[2,1, b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种，命令如下: [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b) (2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为: [Q,R]=qr(X):产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X):产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。 例7-3 用QR分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下: A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b) 或采用QR分解的第2种格式，命令如下: [Q,R,E]=qr(A); x=E*(R\(Q\b)) (3) Cholesky分解 如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即X=R'R。MATLAB函数chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为: R=chol(X):产生一个上三角阵R，使R'R=X。若X为非对称正定，则输出一个出错信息。 [R,p]=chol(X):这个命令格式将不输出出错信息。当X为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同;否则p为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则R为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足R'R=X(1:q,1:q)。 实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b，所以x=R\(R’\b)。 例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下: A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; R=chol(A) ??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite 命令执行时，出‎‎现错误信息，说明A为非正定矩阵。 在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有 5种: (1) E=eig(A):求矩阵A的全部特征值，构成向量E。 (2) [V,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成 V的列向量。 (3) [V,D]=eig(A,'nobalance'):与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似 变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。 (4) E=eig(A,B):由eig(A,B)返回N×N阶方阵A和B的N个广义特征值，构成向量E 。 (5) [V,D]=eig(A,B):由eig(A,B)返回方阵A和B的N个广义特征值，构成N×N阶对 角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的广义特征值，同时将返回相应的特征向 量构成N×N阶满秩矩阵，且满足AV=BVD。