杀鸡用牛刀

拉格朗日中值定理 在解高考中的简单应用 新课程中，高中数学新增加了许多近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了新的活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择(尤其在近几年，以高等数 学为背景的高考命题成为热点. 许多省市质检卷中也出现大量 的题目可以用拉格朗日中值定 理解答. fx()拉格朗日中值定理:若函数满足如下条件: fx()[,]ab(i)在闭区间上连续; (,)abfx()(ii)在开区间内可导; fbfa,，，，，',,f,ab,，，，，则在内至少存在一点，使得 . ba, 本文先面对多数学生介绍中值定理在两种题型上的应用。 fxfx,，，，，12fxfx,，，，，12,,,,一、 证明与或 xx,xx,1212 xx,(其中)有关的问题。 12 1 例1:(2011年福建省质检理19题)已知函数 2 2a fxxax()ln.,，， x fx()(?)求的单调递增区间; 'kagxfx,,1,()(),(?)设问是否存在实数，使得函 gx()k数上任意不同两点连线的斜率都不小于,若 k存在，求的取值范围;若不存在，说明理由。 解(?)略 a,1(?)该题提供的参考是:当时， 21 gx()1,,，gx()k。假设存在实数，使得的图象上2xx k任意不同两点连线的斜率都不小于，即对于任意 gxgx()(),21,k,xx,,0gxkxgxx()(),,,,，都有亦即212211xx,21 21 hxgxkxkxk()()1(0),,,,，,,考查函数，故问题等价于2xx 4141'k,,hxk()0,,,,(0,)，,32在上恒成立。即对32xxxx x,0恒成立。(以下同省质检参考答案) 这种解法对于多数学生仍感到入口难，而应用中值定理多数学生就会感到入口容易得多，解法如下: 2 21 kgx()1,,，a,1当时，，假设存在实数，使得的2xx k图象上任意不同两点连线的斜率都不小于，即对 gxgx()(),21xx,,0,k,任意，都有由中值定理知存在21xx,21 41gxgx()(),''21xxx,(,)gxk(),,,gxk(),,,，有即在1232xx,xx21 (0,)，,上恒成立。(以下同省质检参考答案) 例2:(2009年辽宁卷理21题) 12fxxaxaxa()(1)ln,1,,，,, 已知函数2 fx()(?)讨论函数的单调性; xx,0,,，,xx,，，a,512(?)证明:若，则对任意，，12 fxfx()(),12,,1有. xx,12 解:(?)略; fxfx()(),'12,fx，，0证明:(?)由中值定理知xx,12 a,1'x,，,0,fxxa,,，，，，，().由(?)得，.所以要证0xfxfx()(),a,1'12,,1fxxa,,，,,1，，00成立，即证.下面即xx,x120 2 x,？0xaxa,,，,,(1)10证之. 等价证明在000 3 2x,，,0,，，gxxaxa,,,，,(1)1，，0上恒成立，令，000 2 ,,,,,,,,aaaa14115，，，，，，，，15,,a则.由于，所以 gx,0，，,,0R0.从而在恒成立.也即 2x,0xx,0,,，,xaxax,，,,,1xxx,,，，，，.又，，故.120012000 2a,1'xaxa,，,100fxxa,,，,,1，，,,100则，即，也即xx00 fxfx()(),12,,1. xx,12 评注:这道题(?)小题存在两个难点:首先 xx,有两个变量;其次的值是变化的.参考答案的解a12 gxfxx,，，，，，法是考虑函数.为什么考虑函数 'gxgxfxx,，，，，，，，,很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到. fxfxxx,,,,，，，，，，1212二、证明与有关的问题 例3:(2010辽宁卷理21)已知函数 2 f(x),(a，1)lnx，ax，1 f(x)(I)讨论函数的单调性; x,x,(0,，,)a,,112(II)设.如果对任意， afxfxxx()()4,,,1212，求的取值范围。 4 解:(?)略; ,,，,,xxxx,(0,),(?)由中值定理则当时，1212 fxfx()(),12fxfxxx()()4,,,,4恒成立可转化为恒成1212xx,12 '(0,)，,|()|4fx,立，即在上恒成立，由 a，1 fxaxaa'()222(1),，,,， x 22(1)4aa，,a,,1a,,2当时恒成立，解得，故得 a的取值范围为(-?，-2]. 例4:(2OO6年四川卷理第22题) 22fxxaxxfx,，，,ln(0),，，，，已知函数的导函数是x 'xx,fx，，，对任意两个不相等的正数，证明: 12 fxfx，xx，，，，，,,1212,fa,0,,(?)当时， 22,, ''fxfxxx,,,，，，，a,41212(?)当时，. 证明: (?)略; 2a'22fxx()2,,，fxxax,，，ln，，2(?)由得，，令xxx ' gxfx,，，，，则由拉格朗日中值定理得: 5 ' gxgxgxx,,,,()，，，，，，1212 ,,0a,4下面只要证明:当时，任意,都有 4a''g,,1g21x,，,,，，，，a,4，则有，即证时，32xx 4422x，ax,，恒成立.这等价于证明的最小值大于4. xx 4222233xx，,，，,34x,2由于，当且仅当时取到xxx 4a321，,,a,4a,,434最小值，又，故时，恒32xx成立. 所以由拉格朗日定理得: ''gxgxgxxgxxxx,,,,,,,,,()，，，，，，，，12121212. 评注:这道题用原参考答案的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅. 对于尖子生，还可介绍两类用中值定理求解的题型。 fxfx，，，，,a,ax,0三、证明与或(其中)有关的问题 xx 例5:(2007年高考全国卷I第20题) xx, fxee,,，，设函数. 6 ' fx,2，，fx，，(?)证明:的导数; fxax,，，x,0(?)证明:若对所有，都有 ， (,2],,则的取值范围是. a 证明: (?)略. fxax,ax,0，，(?)(i)当时，对任意的，都有 xx,ee, a,x,0x,0(ii)当时，问题即转化为对所有恒x 成立. xx,fxf,0，，，，ee,Gx,,，，令，由拉格朗日中值定理知xx,0 0,x，，,,,0内至少存在一点(从而)，使得 ',,,fxf,0，，，，'Gxfee,,，,，，，，,f,，，，即，由于x,0 ''00,,,,'feeee,,,,,,,0f,，，，，，，，故在0,xx,？0，，上是增函数， '',,, Gxfeef,,，,,,02，，，，，，，所以min (,2],,a的取值范围是. 7 sinx fx,，，例6:(2008年全国卷?22题)设函数. 2cos，x fx，，(?)求的单调区间; fxax,，，x,0，都有，求的(?)如果对任何a 取值范围. x,0时，显然对任何，(?)略; (?)证明:当a fxfxf,0，，，，，，fxax,,，，x,0都有;当时， xx,0 ,,0,x，，由拉格朗日中值定理，知存在，使得 2cos1x，'fxfxf,0，，，，，，'fx,，，,,,f，，2.由(?)知，从而xx,02cos，x，， 2sin2coscos1xxx，,，，，，''''fx,fx,0，，，，2.令得，2cos，x，， ''xkk,，，21,22,,，，fx,0，，，，，，;令得，，， '21,22kk，，,,，，fx，，，，xkk,，2,21,,，，，，，，.所以在上，，，，， 1'',，,,fxfk22，，，，，，2,21kk,,，，，，，的最大值在 max，，3 ''1''fx,,,fx，，fxfk2，，，，，，上，的最大值.从而函数max3 '1 2,22kk,,，，，fx,，，，，kN,在上的最大值是.由知，当，，max3 '1''fx,f,，，fx，，x,0，，时，的最大值为.所以，的max3 8 1'''fa,,fa,,,,f，，，，，，最大值.为了使恒成立，应有.maxmax3 1，, ,，,,,所以的取值范围是. a3，, gxaxfx,,，，，，评注:这道题的参考答案的解法是令, gxgx,0，，，，再去证明函数的最小值.这与上述的min 思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数,a gx，，要对参数进行分类讨论;其次为了判断的单调a ''gx,0，，gx,0，，性,还要求和的解,这个求解涉及到反 arccos3a余弦,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了用中值定理解决这类题的优越性. ab，,,gagbgbaba2(),,，,,,,，，，，，，,,四、证明与有关的问题 2,, 例7:(2004年四川卷第22题) fxxxgxxx,，,,ln(1),ln，，，，已知函数. fx，，02,,,aba(?)求函数的最大值;(?)设， ab，,,gagbgba，,,,2()ln2，，，，证明:,,. 2,, 'gxx,，ln1，，(?)略; (?)证明:依题意，有 ababab，，,，,,,,,,, gagbggbggga，,,,,,2，，，，，，，， ,,,,,,,,222,,,,,,,, 9 abab，，,,,,,,ab,,,,,由拉格朗日中值定理得，存在，使,,,,22,,,, ababbaba，,，,,,,,,,''gbgggagg,,,,lnln,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，得 ,,,,,,2222,,,,,, ,babbaaba,,,4,,,,,,,,lnlnlnln2ba，， 222aa, ab，,,gagbgab,,,，，，，，，,,评注:对于不等式中含有的2,, ab，ab，,,,,gga,gbg,，，，，,,,,形式，我们往往可以把和，分22,,,, ab，,,ab，,,gbg,，，gga,，，,,别对和两次运用拉格朗日中值,,22,,,, 定理. 拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理，是解决函数在某一点的导数的重要工具. 把这个定理与中学数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使我们更好的把握中学数学的本质，从而可以居高临下的处理教材，为学生学好数学打下良好的基础。 10