一类新的多元t分布及一类新的多元偏态t分布

一类新的多元t分布及一类新的多元偏态t分布 东南大学 硕士学位论文一类新的多元t分布及一类新的多元偏态t分布 姓名:温阳俊 申请学位级别:硕士 专业:概率论与数理统计 指导教师:朱道元 20061101 摘要 本文讨论了广义多元分析的某些专题，分为两章，由,篇论文组成，其中第一篇文章已被《东南大学学报》收录( 第一章提出了一类新的多元,分布(我们知道，要在椭球等高分布的基础上建立样本的理论。需将随机向量的分布推广到随机矩阵的形式(本章节运用,种不同的方法提出了矩阵,,协型分布，矩阵逆,分布和矩阵,一型分布，并着重研究了矩阵,一型分布的有关分布性质( 第二章提出了一类新的多元偏态,分布(—般而言，偏态的椭球等高分布是一类分布族，有相当一部分的分布都是积分形式，且此类积分不易求出，而偏态的正态，偏态的正态尺度混合，偏态的,,?型，偏态的,?型的分布却有着很好的结构，倡态,分布属于偏态,,玎型分布，因此，本文在偏态,,，，型分布的基础上着重研究一类新的偏态,分布，给出它的背景、定义(分布性质，包括随机表示及其等价性，组合与边缘分布、条件分布(各阶矩等(关键词,矩阵,,,,,蛩分布 矩阵逆,分布 矩阵,一翌分布 密度生成函数 偏态,分布 ,,,,,,;, ,,,,,,,,,, ;,,,,,,,,,,,, ,,,,,,;,,,,,,, ;,,;,,,,,, ,,,, ,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(，, ,, ,;,,,,?, ,,,, ,,, ;,,,,,, ,,,,,,, ,,,?嘣幽,, ,,, ,,,,, ,,,;, ,, ,,,,,,, ,, , ,,, ;,,,, ,, ,,,,,,,,,,,, , ,,,,,,,,,,,,,? ，, ,, ,,,, ,, ,,,,, ,,, ,,,,,, ,,,,,, ,,,,, ,, ,,, ,,,,,;,,,, ;,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,, ,,;?,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,;,,(,,,, ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,(,,,,,, ,,,,,,, ,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,, ,,,,(?,,,,,, ,,,,,,,,,,,,诵,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,，,,, ,,,,?,, ,,, ,,,,,,,,,, ,,,,, ,,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,( ,,,,,,, ,,, ;,,,,,,, ,, ,,, ,,,,, ,,,;, ,, ,,,,,,, ,, , ,,, ,,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,( ，, ,,,,,,,(,,,,, , , ,,,,, ，,,,?,,, ,, ,,,, ,,,,,,;,,,, ;,,,,，,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,, ,,,, ;止;,,,,,, ,,,,,村,,,,,，,,,,, ,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,,础,,,,,,,,，,,,,,,,,,,,, ,,,,?,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,?,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,, ,,,, ,,,,;,,,,,(,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,, ,,,, ,，， ,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,(,,,, ;,,,,,, ,,,,,,,, ,?,,,,,,,, ,, ,,,,,,,, ,,,, ,,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,,目,,,,,,,,,,, ,,,, ,，， ,,,,,,,,,,,,,(,,;,,,,,,,, ,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(,,,,,,,,,,,,,;,,,;,,,,,,, ,,,;,,,,,; ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,, ,？,,,,,,;,(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?,,,,,舢,,,础，,,醇,,,,,,,,,,，;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(,,,,,,,,:,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,,,, ,,,,, ,,,,,。,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,, 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果(尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外(论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的(与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名 雌魄业,二(关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所(国家图书馆有权保留本人所选交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文(本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致(除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅(可以公布(包括刊登)论文的全部或部分内容(论文的公布(包括刊登)授权东南大学研究生院办理( 签名:雌导师签龇,期:,四 第一章一类新的多元,分布 ?,(,引言 ,,,,,,,,,,和,,,,,,,(,,,,)((，见【,】)提出了生成,分布的随机变量，随机向量，随机矩阵的,,咭,， ,，,为服从自由度为,的,分布随机变量: 以,,一,(,，,)号,,, ,,辛 ,一辑 廿 ”,,,, ? ,,忙,‖,口一，,,,,,,,瑶 其中，,与墨×,独立( ,(服从自由度为,的多元,分布的随机向量，只需上式令名×,一,(,，。,，„)，,与,独立( ,矩阵,分布, ,,×,,,(,,,，，厶。昂),, ,,,,,,,, ,,,,,,,,, , ,，,,一, , ,。×,—,(,。×，，，,,„),,,,,,,々,—，,,,,,,, ,,,,,,, 其中(,与,独立( ,,,,,,等在文献【,】中指出随机变量的广义,分布(记为,,)可以看成由幂指数分布和广义逆,分布的混合生成;,,,,,,在文献【,,中推广了,,:随机向量的广义多元,分布是由多元幂指数分布和广义逆,分布的混合生成;随后，他在文献【,,中进一步推广，由,,,,—,,,,分布与广义逆,分布的混合，得到随机向量的,—,,,,分布( 设随机向量,„×,服从,,,,—,,,,分布，记为耳。,—,,,,(“,,，,，,。口)，其分布密度为 (,(,),;;，?,,,,,,【(,—,)?,一,(,—,)】?一,唧(一,,【(,—,),?一,(,—,)】口) (, ,(,) ,,端其中，,??为均值，,,,，,,，,,,， 卢,,，,,～手 (,(,(,)(,(,(,)式属于椭球等高分布族 注释,(,?,一般而言，随机向量,,,,服从椭球等高分布(它的均值等于蜘。,，它?男讲钫笥氩问骸,谐杀壤灰欢ǖ扔冢牛 婕玻帷常校螅裕,第一章一类新的多元,分布 , 设,为—个正的随机变量，并且服从广义逆,分布，记为,一,,,(,，口，口)，其分布密度为 …以加南(圹, ,,,一(们…。 阻?，其中，口,,，口,,称为形状参数，,,,称为尺度参数(见,,〕,,,,)( ,,,,,,在文献【,】中根据(,(,(,)(,(,(,)式给出了随机向量的,—,,,,分布, ,?阿„瓦筹幕平 ,,，,(,,),),，—矿 (,,)这里， ,,(,—,)?,一,(,—,)， 。;鐾型某羔 ,型严) ,,,,, (,,,) 、。是化常数，,()是,,,,函数(,,,，,,,，卢,,，,,,，,,字，(,(,(,)式属于椭球等高分布族( ?,(,矩阵,,,,,型分布和矩阵逆,分布?,(,?,预备知识 定义,(,(, ,见,,〕,,,,，定义只剀设,为,×,正定阵，,为复敷，且实部 觑(。),;。一,)，则称 ,(口),,,,,(一,)，,，”牛“ (,(,(,) ,,,,为广义,函敷，或多元,函数，并且 蹦。),”;咖,,，垂,,一弘,一?))( ,,(。),”枷“??,(口一,(,一,))(下面给出椭球等高矩阵分布的定义及重萼引理: 定义,(,(,(丸,,,,,,,(,,,,)设,是,。,的随机挹鼻， ?若砷任何,?,(,)，,,, ,,，则称,为左球,对称,的(记为,,,品。，(妒)，妒为,的 特征函数，或,一工,,,，(，)，若,有密度，(?)( 其中，,(仃)表示,,,阶正文阵集合，,,表示同分布( ?记五,,;(,):,是左球的)，;(,)是,的分布函数( ,第一章一类新的多元,分布 ?,?，,，设，磊。。，，马。×。为常数矩阵(若 ,,,,，,?,(,,,,且( (,(,(,) 则称,服从椭球等高矩阵分布，记为,,,,,,。,(,，,，母)，或,,,,,,,,(,，,，，)，若, 有密度，(,)( 引理,(,(,(见,每,,,芎,引理,(,，,，引理,(只,)设,为件×,阶随机矩阵，则 ,(,,,,,。×，(,(,，毋)的充分蕾要条件是,的特征函敷为 咖(,,,,)?(,?田) (,(, ,) , ,,,,,。×，(,，,，,)的充分必要条件是,的密度有如下形式: ,,,,,，((,—,),,一,(,—,)) (,(,(,) 定理,(,(,设五。。，,工品,,(;砩?，)，其中，,为左球对称矩阵的密度生成函敷(,,,咖,,,,,删，;品为标准化常敷，,,,,,;,,,,，则 (,(,(,)此后。我们记, ;“,)皇;,(,为,的密度，暑。×，,,晶×，(，(坤))， 证明;由,,】，,,,,，定理,(,(,知 ,旭猢拟,焉厶(驴)‖驴 ?,？其中，口口,,,，,?,,(,)，且有正的对角元素,，,,(,)表示,。,阶上三角阵( 则,,,,，,(,一?);, ,,,一，,,坛„,一””，,,，,，,,,，则 ,, ,(,?,),, ‰焉上，(酚)‖丁，打 ,焉厶。(驴斜“)胛，删 ,高厶。旷州,(,),, ,，焉厶。例掣胛)删(,(,(,)式得证(一 ,第一章一类新的多元,分布?,(,(,矩阵,,,,,型分布 由(,(,(,)式可知，?耐,型分布的密度生成函数(,,,,,,, ,,,,,,,,,)为 ,(,,,“, ,,,(一,矿)，,,, (,(,?,)所以，当口,,时，我们给出了,以:,型分布的矩阵形式, 定义,(,(,设随机矩阵磊×,服从矩阵,,,,?型分布，记为,,,,。×，(,,,,，,,昂，,，,，口,,)，其分布密度为 (一,,?,)，,,,,, „一”„。。，口,，” , : ，,),,;,,?,,,二,:巧了„,。, (,(,(,) , ,， 其他 其中，,,,，,,,一号，均值为 ,,,,，,表示,,,,,,,,,积( 注释,，,(,(见饼丹馏，习题只,占)若矗,,,,晶,,(，)有二阶矩，则均值,,,,，方王,(,,;(,，)),厶,,，其中,,，,,,(,),:,))，,,(,;,)，?„。，,:。))?? 定理,(,(,门(,(砂式是一个分布罾反( 证明;显然，,,(,)?,(由(,(,(,)式知，当口,,时，设 互(邳,〔,，?,,,,,一，,,,， 耳。,,, 令岛。,,,，,,,，，,。,,,,,,，,(且—?,),,一。掣，由定理, ,,中(,(,(,)式及(,(,(,)式知 , 吲号,口(,)扭:,: 俐号, ，,，“州一,,),, ,,,, ,,,, ,, ，,一,,,,,,,，““,打(一,),(,—,),, , ， ,一，(,,,,，?一，?『,,,,,土，?一,,打(一,),一吐譬韭,, ,,—,(,?一,，,),，,,(”一,，,)一,,乒,,,(一,),, ,,,,～。(,,,,，,?,(,—,，;)所以 生? ”警,。四,,?(,),, ,，(;)舻(“,二竺 ”警,，(,一,十?)所以 ，,,(,),,,,? ，,,, 即,,(,)是—个分布密度函数(? 函数参,耳。,)是,„,的函数，称之为矩阵,,,,一型密度生成函数(,,,,,,, ,,他,口,计)(觅 〔,〕,,,)，所以,,,,。,，(,。,,，厶。昂，,，,，口,,)属于椭球等高矩阵分布(第一章一类新的多元;分布 ,?,(,(,矩阵逆,分布 在第一节引言中，生成矩阵,分布时提到逆,,,,,,,分布，记为,”名(,,)，分布密度为(见〔,〕,,,,，(,,)式) 胛):』采两吲,即晋,学晰(一‖‖)，且,, 【,， 其他 (,, ,)下面我们来推广,,，(,,)分布:在(,(, ,)式中，用参数。替换,，,替换;，得到如下定义 定义,(,(,设随机矩阵,×,,,服从广义逆,,,,,,,分布。记为』,,;(,，?，，)，其分布密度为 ,),,?陋,”?,”‰卜肪,。卜茹 (,,加)其中，?,×,,,，,,,称为形状参数，,,,称为尺度参敷( 定理,(,(, ,(,(,,)式是一个分布密度( 证明:显然，凡(,), ,(令,,，,—,,一,,—,,,，一,?,,??,,，则 ,(,—,,, 卜,,,,?扩?”，一啤卫，?,牛 ?。 ,,乌一，,，一半,一?,)由(,(,,)式知 ,(,),,,日,学,,,(一,),, ，,,, ,上，。,,一,,,,,,,〔一学,打(一,,—,,一,?一„)，饵一矿)‖ , , ,,,, ,,?一,,一,,,,,,,,(一，,一,,一,”,碍丑,,,一华，,,一?,?‖ ,胪，,,, , ，,,一学,,,(一，,。,,。,),, ,,),所以 ，,,(?郑洌郑海?，,,,,即，(,)是—个分布密度函数(? 由定义,(,(,,(,(,,)式，令,,易，则我们给出了当口,,时，广义逆,分布的矩阵形式。 定义,(,?,设随机矩阵,,,,,服从矩阵逆,分布(记为,』,,,。,(,，卢,,，,)，其分布密度为 胛，,,转?,”,州以旷。?二毳。 ?,?其中，,,,称为形状参敷，，,,称为尺度参敷(第一章一类新的多元,分布 , ?,(,矩阵,,型分布 本节将采用引言中介绍的扛型分布的构造方法得到当卢,,时的矩阵扣型分布( 引理,(,(,设,,×,,,，耳,,,,，刖，，,,,( 定理,(,(,设随机矩阵磊,,—,,,,，×,(,。×,，,(,,,，,，,,,，卢,,)，,×,—,，,,,,,(,，,,,，,)，参数同定义,，,(,和定义』，,只且,与,相互独立，定义一个新的随机矩阵墨,×,: ,,,，,,丑?,,, (,(,(,)其中，,;。。 为常数矩阵，毋，×。为已知可逆阵，争,…篁,,,,,(则,是具有椭肆等高矩阵分布的随机矩阵(其分布密度为 ? 一, 一 ? 一 ， ,, ，口 — , , , ? , ， 口 , , ,, , , , 知 ， 不 (,(,(,) ， ?, ,一， 、、, ， ?, ,一， 、,?,其中 ,,(,一埘,)?,一,(,—,) ,,镥筹毒赭俨‖,,，种 (,(,，,) ,,,一; ,(口，),,(,—,),—,,一, ,,则 ,【(,，,)一(,，,),,，?,,,，,,一量,一半 ,,,, ,,，,一?(,一，，)?,一,(,—,),一,， 打(,,,), 打(,一,(,—,),,一,(,—,,,),一,) ,,(口一,,,“)， ，,,,，, ,口一,,一,(,一，,)?,一,(,—,),一, ,,。,,,,,， ,,,,,一,,( 因为,与,独立，所以由(,(,(,)式，(,(,,,)式得到,与,的联合分布密度为 伽(州),鬻篆罱,刊“引刚“卅,,四 ?晶,,,肆折(,,,,?) ,再可而丽七?“…,?九 ?,【(,，,)一(,，,)】 :娶絮竺要害熹,,一。叫一岫科。第一章一类新的多元,分布 , 所以，由(,(,(,)式得到,的分布密度为 厶?),， ，,，,(,，,),, ,,,, ,鬻笮焉南 ,，,;,—,(,,,，,)，,,?一, ?厶。…?,，?卜学 ,,,〔一,„，,,,,,),一,】,矿 (, ,(,)令,,，昂，僦一,,，因为,„,,，仇口一,,,,，所以由引理,(,(,知:,。,,,(令,,,,,一,，,，则 ,,(，一,,,一,)一， ，,,,，,,,,,,， ,,,(一,,,,),,,,(一,)， 州一,),卜,,,一,，嘶”(”, ,…学俐一(,，”，代八(,(, ,)式得 摊，,鬻等筹焉南，,一。州??,。, (,(扩,,，(,，;,，?)，学。打(一,),(,。,),, ,,,, ,鬻篆焉南,,,,;,,,(,,,，,)例, „,,,，,,?。,„”，。，,—,?，学,,,(一,)，州学?吲一(,，,),, ,鬻簪焉晶,?,,,,,,(,,,，,)俐… 一再,万二百酉于,可,, ,, (，,，一(“，?,一,)，，,，(,，,，?)一学,打(一,),, ,孝筑而丽阿,,“…？?, ，口), ,鬻等等高晶州。州,埘，,,,,一(, ?”(?峥,)(,，?，,，;一,) ,籍筹毒搿…(? ,，量) (?一,，孽，口) 州四,,,,卜,(;)?保ǎ保,)式得证(由引理,(, ,，(,(,(,)式可知，五;。,,,,,(。,(,，,，，), 根据定理,(,(,，引理,(,(,，(,(,(,)式，我们给出了当口,,时，矩阵扛型分布的定义 定义,(,(,设,为竹。,阶的随机矩阵(且,,,,晶。，(,，?，,(,,?)，若第一章一类新的多元,分布 , ‖叱‰),引冽,俐“,卜,(吖“”针“ .