岩石硬化及软化特性的内时本构理论_邓小亮

第�� 卷 第 �期 � � � 年 � 月 桂 林 工 学 院 学 报 �� � � � � � ! ∀ � �� �� �� � � � � � � � � � ! ∀ # � � � � � � � � �� �� �� � � � �� � �� , � 岩石硬化及软化特性的内时本构理论 邓 小 亮 �桂林工学院建设系 � 摘 要 为了描述岩石的硬化 、 软化 、 脆一延转化特性 , 提出一种新的确定材料函 数的方法—线性插值法 � 基本原理是 � 在一定假设条件下 , 建立岩石内时本构方程及其增量形式 � 根据试验资料 , 利用内时本构方程反算出内蕴时间的某些 “时刻” 的材料函数值 , 最后用线性插值公式来示材料函数 � 用这种方法确定的材料函数 可以较精确地描述试验范围内岩石的硬化 、 软化特性 � 关链词 岩石 � 硬化 , 软化 , 本构理论 � 岩石力学 中图号 � � � � 应用内时理论描述岩石破坏前的硬化和破坏后的软化特性时, 关键在于如何选取一个合 适的材料硬化软化函数 。 以往的研究者都是事先假定材料函数取某种形式 , 然后在曲线拟合 过程中用最优化方法确定材料函数中的待定系数 � 这种方法主要有 � 个缺点 � 计算工作量 大 � 适用范围窄。 而线性插值法克服了这些不足。 � 内时理论的基本关系式 � � � 内时理论的基本观点 内蕴时间塑性理论 �简称 内时理论 � 的基本观点是 � 塑性和粘塑性材料内任一点的现时 应力状态 , 是该点邻域内整个变形和温度历史的泛函 , 而该历史是用一个取决于变形中材料 特性和变形程度的内蕴时间来量度的 。 采用内蕴时间 � 而不是牛顿时间 � 去量度不可逆变形 的历史 , 就把材料性质及其 内部结构变化对于本构关系的重要影响 , 突出到用一个基本变量 来加以描述的程度 , 这是内时理论的一个重要特征 。 � � � 小变形小变温下的简单内时本构方程 各向同性材料在小变形和小变温下的内时本构方程已由 � �� � �� � 〔’〕推导出来 , 即 � ��,,了�、‘了、、了�、� 。一 ��� 。� �� 一 � , �, � �� � “� ,� � � ‘ � 一丁。� 一 � ,��·。走、 � 。� ���� � � 丁�。 � �� 一 � ,��。“� ·� 产�� � � �、�� �一 �, , 一 又絮华与。�� �� 丫旦茗二些 。 一 。。 �丁 � � “ “ ‘ 丁 � � “ �� � 年�月 �� 日收稿, �月 �� 日改回 � 作者简介 � 邓小亮 , 男 , �� � 年出生 , 硕士 , 讲师 , 工程地质专业 � 第 �� 卷 第 � 期 邓小亮 � 岩石硬化及软化特性的内时本构理论 、�少、�少���了‘、了�、�� 卜 �� 一 弓粤鲁二��� �� 冬煞畏些一 ’· � 。�� � 一 �� 一 万等 �� �� � � 弓竿一 ‘· � 式中 � � , � � , � , 瑞 , 瞬 , 一是 自由能 。 二次型表达式中与系数有关的值 � 氛, 又� 是与材料 特性有关的本征值 � 凡, 勺分别为应力偏张量分量与应变偏张量分量 � 叮 是水压应力 � 敏 � ’ � 是平均应变 � 域刁是阶跃函数 � �� 是参考状态下的内蕴时间值 � � 是对于参考状态的温度变 化值 � �� 刁 、 �� 刁和 � �刁是核心函数 。在上述本构方程中没有涉及 � � 的定义 , 因此可以根据所描述的具体材料选择恰当的内蕴 时间定义 � � 而该本构方程是否或在多大程度上反映材料的本构特性 , 取决于内蕴时间的定义 是否恰当� � � � 内蕴时间的 � �� ��� � 定义 为了获得一个适用于各向同性材料的正确和较广泛的内蕴时间定义 , 有必要按照本构形 式不变性定律指明的那样 , 把内蕴时间的定义与广义内摩擦力的表示密切联系起来 。 因为 � � �� 材料对塑性偏应变相关的内变量的抗力与对塑性体积应变相关的内变量的抗力是不同 的 , 因而应当采用不同的内蕴时间标度来描述 � � �� 为了避免在卸载时出现虚假的内摩擦 力 , 在内蕴时间量度的定义中只应包含塑性应变增量而不应该含弹性应变增量 � ��� 在定义 偏内时标度�� 和体积内时标度 几 时 , 应该分别采用塑性偏应变与体积应变, 以及不同的硬 软化函数以亡�� 和�� �古�� � ��� 为了使内蕴时间定义适用于土 、 岩石等多种材料 , 应当考虑 塑性偏应变与塑性体积应变在形成广义内摩擦力时的互相影响即祸合效应 , 并考虑到 由于损 伤等原因造成的弹性模量变化的情况 � 、�少、�声、, 产、�少、�、少�尹了�气����� ��了�、了�、、了�、了�、、‘�上��� 了‘、‘了、、 �� ,�� �� 按照这些观点于 ���� 年给出了内蕴时间几与几 的下述定义 〔� 〕 �� 叮。� � � 。一 � 一� � 。 � �� 。 � � � � � 。�、一 � � � � � � � �� � �亡� 二 � 叮 �亡� � ���� � � 毛一 � �� �亡息� � � ��亡矜 �� 升� � �。�亡么� � � 。�首升 式 中 �� , �� 分别 为 剪切 弹性 模量 和体 积弹性 模量 , 由式 � �� 一 � �� 可知 , 如果气 � � � � � , 则 � 侮与 �凡分别表示塑性偏应变分量的增量与塑性体积应变的增量 � 而 �省。 则 变成了塑性偏应变空间的欧几里德模 , �如 是塑性性体积应变的绝对值 � 凡 � 与 �� 。表示偏斜 响应与体积响应的祸合效应 。 在上述内蕴时间定义下 , 根据本构造形式不变性定律 , 可借助粘弹性理论的结果写出以 下等温和小变形下的内时本构方程 � 、�夕护、�声�内」���月��了才�、�‘� 。一 ,丁�” � �� 一 � · ‘, �“·。 � , � · ,� � · ‘ 。一 ��“ 二� � 一 � � ‘,�一 � ·� � , ’�� �’ ‘ 桂 林 工 学 院 学 报 �� � � 年 、�产、、�夕�嵘��勺��曰��了�、了�几� �� 。 �� 艺材 � 。一 “· � � 双� 二 �� 艺犬 � � 一 ’· � � � 岩石内时本构方程 �� ��个基本假定 岩石是一种地质材料 , 是一定地质作用的产物 , 这就决定了岩石力学性质的多变性和复 杂性 。 要在本构方程中反映岩石的所有特性几乎是不可能的, 而且也没有这种必要 � 本文在建立岩石内时本构方程时作了以下几个假定 � �� 假定岩石是连续 、 均匀 、 各向 同性的� ��� 假定位移或变形是微小的� ��� 假定是等温的 � ��� 假定岩石的力学性质与时 间无关 , 也就是说既不考虑应变率的影响, 也不考虑蠕变及松驰效应 � ��� 假定塑性偏应变 与塑性体积应变在形成广义内摩擦力时互不影响 , 即没有祸合效应 � ��� 不考虑损伤等原因 引起的弹性模量的变化。 �� � 岩石内蕴时间的定义 根据以上假定 , 可以将岩石的内蕴时间定义为如下形式 � � 叮。� � � 。一 �� 。 � �� 。 ���� � � � � 。� � 一 � � 、� � � � 。 ���� �亡。 � � 叮 ���� �亡二 � �� � � ��� � � � � 二 �古。 � � 。 �古� � ��� � � � 二 � �亡, � 介�亡二 � ‘ �� �� 式中 几“价和几“�� 分别是表示偏斜变形和体积变形的硬化软化函数 。 在常规三轴压缩下 , 式 ���� 、 ���� 可以简化为 、�少、�护护,乙,�,乙���砚、宜了‘� 了 �� ! ∀ , \l Q ‘” 一 了}又“e ’一 云瓦~少} d省二 式中 2. 3 : 。 , = ( 。 , + 2 a 3 ) / 3 , 1 . d a 。 } = l d 召. 一一l} ’ z K o ! ￡, = ￡一+ 2 ￡3 , S 一= a 一 a , , e 一= 。l一 : , / 3 微分形式的岩石内时本构方程 公式 (12) 、 ( 1 3 ) 是用积分形式给出的内时本构方程 , 为此必须先取核函数的具体形式: M (z 。 ) = M 。e 一 胆D K( z 二) = K 。e 一‘H 实际计算时一般要化为微分形 (24) (25) ”八J、.尸6月了,一,” 将 (24) , ( 2 5 ) 代人 (12 ) , 并两边微分得: d s 。= Z M 。d e 。一 那 。d Z 。 为便于计算 , 可将系数 刀归人硬化软化函数九勺 中, 因而上式可简化为: ds 。= Z M o d e 。一 S o d Z D 第 16 卷 第 l期 邓小亮: 岩石硬化及软化特性的内时本构理论 、、.卢、 , 产O入†Q,‘2 尹.、了.、、同理 , 由 (13 ) 、 ( 2 5 ) 得 : d a **= 3K od 。* * + “a *、d Z 万 将系数 : 归人硬化软化函数fH (亡H ), 则上式简化为 d 口 , = K o d ￡, + a , d Z H 式中, 。 , 二 。* * / 3 = ( 。 , + 。 2 + a 3 ) / 3 , 。, = 。、* = 。. + 。2 + 。3 在常规三轴压缩下 , 内时本构方程 (27) 、 ( 2 9) 可简化为: d s 一= Z M o d e l一 S ld Z 。 d 叮 , = K o d ￡, + 叮 , d Z 万 3 常规三轴压缩下岩石内时本构方程的增量形式 3. 1 偏应力一偏应变的增量关系式 、.少、.少尸口,‘2厂Z旧、 、.产、.卢子,J 4 ,、”,J‘、了护‘、 在常规则三轴压缩下 , 由式 (30 ) 得: de !一绘 一念dZ · ) 0 故式 (22 ) 。化为: d ; 刀 一零(d· 1一孺) 写成增量形式为: 二 。 一争如 一箫) 二。 一 二 。 /fD ( ; 。 + 导) 、 , 一 2、 。、 , 一 (s , + 等)二 · 由式 (:2 ) 、 ( 3 3 ) 、 ( 3 ‘) 得: “ 1一会M、(‘· + 导 ,一 , 5 1 ( 3 5 ) 式 (32) . (35 ) 就是偏应力 5 1与偏应变 el之间的增量关系式 , 硬化软化函数几“o) 在它们之 间起着桥梁作用 。 3 . 2 体应力一体应变的增量关系式 由式 (3 1) 得: d s , 一 (d a , ) / K 。 = 一 。 , / K 。d Z 二 提 o 故式 (23 ) 可化为 d亡, = ( d 。 , ) / K 。一 d 。, ( 3 6 ) 写式增量形式即为 △亡H 二 (Aa , ) / K 。一 △。, ( 3 7) 式 (2 1) 、 ( 3 1 ) 写成增量形式得 △Z H = A 亡H / fH 优H + 鱿H / 2 (38) 舫 , = K 。A s , + ( 。 , + 酝 , / 2 ) · △z 二 ( 3 9 ) 由 (37 ) 、 ( 3 8 ) 、 ( 3 9 ) 得: 肠 , = Z K 众f 万 (亡H + △亡H / 2 )一 2 。二 ( 4 0 ) 式 (37 )、 ( 4 0 ) 就是体应力与体应变的增量关系式 , 它们是通过硬化软化函数了石了亡刀发生联 系的. 4 硬化软化函数的反算及线性插值 根据上节的讨论可知 , 对于具体的岩石 , 要给出应力一应变之间的关系 , 关键在于给出 材料硬化软化函数粼七浏 , 八‘亡刃的恰当形式 。 本节提出用反算和线性插值方法确定岩石的 硬化软化函数. 桂 林 工 学 院 学 报 1996年 4 . 1 硬化软化函数的反算 下面以常规三轴压缩为例, 介绍硬化软化函数值的反算方法. 假设在内蕴时间的某一 “时刻 ”着D , 考H , 岩石中的偏应力 、 体应力 、 偏应变 、 体应变分别 为 凡, 气 , 勺 , 写 受到外荷载作用后 , 应力和应变取得增量 留红, 酝 , , 加。, △今 由公式 (32) 、 ( 37 ) 得到内蕴时间的增量: ‘ , 万 .凸心。 = ~不一 L I业子- 一‘ 八夕2 M ); △亡H = 舫 , / K 。 一 △‘ 由公式 (35)、 ( 4 0) 得到在内蕴时间的某一时刻 省D十△灿/ 2 , 七砂鱿H/ 2 的硬化软化函 数值为: 九(;。 十华)-‘ 存 八夕可3 仓占)一+ 2 5 -8 M o , 鱿H 、; J H L ‘H 十 - 下「一 ) -‘ l 舫 , + Z a v2 K o 如果从内蕴时间的 “零时刻 ”开如反算 , 则可得到一系列内蕴时刻的硬化软化函数: 亡D. , 九(古D.), 心二. , 介(亡二 . ) 七DZ , f 。 (亡DZ), 七二2 , f 二(七二2 ) . ... ... .... ... ..... ... ... .... ... .…… 亡。 。 , f 。(七。. ) , 七二, , 介(哲二. ) } (4 1 ) 4 . 2 硬化软化函数的线性插值 利用 (41 ) 的对应关系 , 可以直接写出硬化软化函 数的线性插值公式: 几(七D)= fD (亡。 ‘ ) + [( 七D 一 七D ‘) / (心D , + 一 心。2 ) l · [fn ( 亡。 , + . ) 一 fD (亡。‘ ) ] ( 4 2 ) 介(亡二 ) = fH (心二 。 ) + [( 七。 一 古H.)/ (考H ‘十 、 一 亡二 , ) l · 了月 (亡, ‘十 . ) 一介(心二, ) ] (43 ) 式中 (叮1 一 ‘3 ) / k g · e 澎 当古D ( 亡D , , 亡H 蕊 亡H , 时, 当亡。, ( 古。 ( 亡Dj *.考Hj ( 亡H ( 着均十 : 时 当古D > 古几_ : , 亡H > 亡H卜 , 时 0.5 1.0 ‘i / 石 一 八卜仃Ž 一一 5 算 例 图 1 大冶大理岩应力一应变曲线 (内 = loo kg / em 勺 F落1 D aye 刃n a r b le s t res s昭tra访 eurve 图 1 是围压为 10 0k g / c扩 时用电阻片测得的大冶大理岩的三轴压缩应力应变曲线. 利用 上节的反算方法可 以求出该围压下的硬化软化函数值 (表 1) , 并绘出硬化软化 函数曲线 表 1Ta ble 1 Calcu 械吨 res ults of the ha rde n and so fte n fu nc tio ns 103亡刀 0 . 0 00 8 2 5 0 .00 5 6 7 0 . 0 3 3 9 0 .0 8 49 0 . 1 45 0 .2 1 0 0 .3 06 0 .5 3 1 0 .8 2 4 1 . 1 4 0 1 .科5 1.900 10狱七D) 10)(古砂 10毛瓜(看H) 0.36 9 0.4 19 0 .46 9 0.520 0.545 0.56 2 0石78 0 .5 9 0 0 .5 9 7 0 .6 0 2 0 .5 9 8 0 .58 1 0 .0 0 7 (X) 0 .0 1 65 0 .0 3 0 5 0 .06 8 0 0 .1 13 0 .16 1 0 .2 9 5 0 .7 3 3 1.48 8 2 .4 3 0 3 .3 6 2 4 .7 3 6 0 .28 5 0 .3 11 0 .3 3 6 0 .3 6 2 0 .3 7 4 0 .3 8 3 0 .3 9 1 0 .3 9 7 0 .4 0 1 0 .4 0 3 0 .4 0 1 0 .3 9 3 第 16 卷 第 1期 邓小亮:岩石硬化及软化特性的内时本构理论 35 ( 图 2、 3) , 从中可看出硬化软化函数有 以下特点: (l) 偏斜变形的硬化软化函数与体积 变形的硬化软化函数一般是不相等的; (2 ) 硬化软化函数爪首D) , 了试亡劝是非线性的 。 ƒH如„H/, 。一ƒa协„a/,。一 1 10 3言刀 0 0 . 5 . 0 1 . 5 1 0 3右H 2 。 0 图 2 大冶大理岩偏斜变形的硬化软化函数曲线 Fig. 2 C urv e ofha rden and soft en fu netio ns ofD aye ma rable (l) 图 3 大冶大理岩体积变形的硬化软化函数曲线 Fig.3 C urve ofha rden and softe nfu nct ion:ofD a挥 ma rb le (2) 参 考 文 献 Va la nis K C. A theory ofvisco Plas tic ity w ithoutayield surfa ce.A rc h.M ee瓦 , 1 9 7 1 , 2 3 : 5 1 7 一55 1 2 Va la nis K C . F o und a me nta l C ons equ en ces of a new in trins ic time 切do eh ronic the o ry. A rc 瓦 M e e瓦 , 1 9 8 0 . ! 7 1 ~ 1 9 1 们O e a S U t e Pl a s t ie it y a s a lim it o f t h e I N T R I N S I C T I M E C O N S T I T U T I V E T H E O R Y O F R O C K H A R D E N A N D S O F r E N C H A R A C T E R I S T I C S D e n X ia o l ia n g ( D eP a r t m e n t of C o n s t r u c t i o n D 啥in eering : G u ili n In stitu te of T e eh n o lo g y ) 肠straet A new m ethod ofthe determ ining m aterialfu netion一lin e a l in s ertio n h a s b ee n P ro - po sed to d e se rib e ro c k h a rd e n a n d so ft e n ch a ra ete risties . T h e P rin e iP le o f th is m eth o d 15 : o n th e e o n d itio n o f so m e h y po th es e s es ta b lish in g ro e k in trin sie itm e e o n s titu tiv e eq u a tio n a n d its in - e re a se fo rm :a e co rd in g to e x pe rim e n t d a ta a n d th e in trin sise tim e e q u a tio n ea le u ld tin g th e res u lt o f th e ma t eria l fu n e tio n a t so m e P a rtie u la r in trin sie tim e ; fi n a lly , e x P r e s s i n g t h e m a t e r i a l fu n e - t in n b y t h e l i n e a l i n s e r t i o n fo r m u l a . T h e m a t e r i a l fu n e t i o n d e t e r m i n e d b y t h i s m e t h o d ca n e x a e t - l y d e s e r i b e r o e k h a r d e n a n d s o ft e n e h a r a e t e r i s t i e s i n t h e r a n g e o f t h e e x pe r i m e n t s t r e s s . 丘ywords roek:harden:soften:co nstitutivetheory