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高等数学一

2013-03-14 16页 doc 790KB 564阅读

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高等数学一《高等数学复习》教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续(左、右连续)与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A.极限的求法 (1)用定义求 (2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极...
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《高等复习》教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续(左、右连续)与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A.极限的求法 (1)用定义求 (2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法 (5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法 (7)洛必达法则与Taylor级数法 (8)其他(微积分性质,数列与级数的性质) 1. (等价小量与洛必达) 2.已知 解: (洛必达) 3. (重要极限) 4.已知a、b为正常数, 解:令 (变量替换) 5. 解:令 (变量替换) 6.设 连续, ,求 (洛必达与微积分性质) 7.已知 在x=0连续,求a 解:令 (连续性的概念) 三、补充习题(作业) 1. (洛必达) 2. (洛必达或Taylor) 3. (洛必达与微积分性质) 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导(基本、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径) 二、题型与解法 A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1. 决定,求 2. 决定,求 解:两边微分得x=0时 ,将x=0代入等式得y=1 3. 决定,则 B.曲线切法线问题 4.求对数螺线 处切线的直角坐标方程。 解: 5.f(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在(6,f(6))处的切线方程。 解:需求 ,等式取x->0的极限有:f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知 , ,求 点的性质。 解:令 ,故为极小值点。 7. ,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解:定义域 8.求函数 的单调性与极值、渐进线。 解: , D.幂级数展开问题 9. 或: 10.求 解: = E.不等式的证明 11.设 , 证:1)令 2)令 F.中值定理问题 12.设函数 具有三阶连续导数,且 , ,求证:在(-1,1)上存在一点 证: 其中 将x=1,x=-1代入有 两式相减: 13. ,求证: 证: 令 令 (关键:构造函数) 三、补充习题(作业) 1. 2.曲线 3. 4.证明x>0时 证:令 第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质(线性、与微分的关系) 会求不定积分(基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部) 2.定积分 理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题(长、面、体) 会用定积分求物理问题(功、引力、压力)及函数平均值 二、题型与解法 A.积分计算 1. 2. 3.设 ,求 解: 4. B.积分性质 5. 连续, ,且 ,求 并讨论 在 的连续性。 解: 6. C.积分的应用 7.设 在[0,1]连续,在(0,1)上 ,且 ,又 与x=1,y=0所围面积S=2。求 ,且a=?时S绕x轴旋转体积最小。 解: 8.曲线 ,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。 解:切线 绕x轴旋转的表面积为 曲线 绕x轴旋转的表面积为 总表面积为 三、补充习题(作业) 1. 2. 3. 第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何 一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模) 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法,会用Lagrange乘数法求极值 4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 二、题型与解法 A.求偏导、全微分 1. 有二阶连续偏导, 满足 ,求 解: 2. 3. ,求 B.空间几何问题 4.求 上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。 解: 5.曲面 在点 处的法线方程。 C.极值问题 6.设 是由 确定的函数,求 的极值点与极值。 三、补充习题(作业) 1. 2. 3. 第五讲 多元函数的积分 一、理论要求 1.重积分 熟悉二、三重积分的计算方法(直角、极、柱、球) 会用重积分解决简单几何物理问题(体积、曲面面积、重心、转动惯量) 2.曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系,掌握两类曲线积分的计算方法 熟悉Green公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件 3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念(质量、通量)、关系 熟悉Gauss与Stokes公式,会计算两类曲面积分 二、题型与解法 A.重积分计算 1. 为平面曲线 绕z轴旋转一周与z=8的围域。 解: 2. 为 与 围域。( 3. , 求 (49/20) B.曲线、曲面积分 4. 解:令 5. , 。 解:取包含(0,0)的正向 , 6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S, ,且 在x>0有连续一阶导数, ,求 。 解: 第六讲 常微分方程 一、理论要求 1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法 2.高阶方程 会求 3.二阶线性常系数 (齐次) (非齐次) (非齐次) 二、题型与解法 A.微分方程求解 1.求 通解。( 2.利用代换 化简 并求通解。( ) 3.设 是上凸连续曲线, 处曲率为 ,且过 处切线方程为y=x+1,求 及其极值。 解: 三、补充习题(作业) 1.已知函数 在任意点处的增量 。( ) 2.求 的通解。( ) 3.求 的通解。( ) 4.求 的特解。( 第七讲 无穷级数 一、理论要求 1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件 常数项级数、几何级数、p级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法 2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法 幂级数在收敛区间的基本性质(和函数连续、逐项微积分) Taylor与Maclaulin展开 3.Fourier级数 了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理 会求 的Fourier级数与 正余弦级数 第八讲 线性代数 一、理论要求 1.行列式 会用按行(列)展开计算行列式 2.矩阵 几种矩阵(单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随) 矩阵加减、数乘、乘法、转置,方阵的幂、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件,会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价 用初等变换求矩阵的秩与逆 理解并会计算矩阵的特征值与特征向量 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 3.向量 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示 掌握线性相关、线性无关的判别 理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质 4.线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法 5.二次型 二次型及其矩阵表示,合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理 掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法 了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法 第九讲 概率统计初步 一、理论要求 1.随机事件与概率 了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率 掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式 2.随机变量与分布 理解随机变量与分布的概念 理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度 掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布,会求分布函数 3.二维随机变量 理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念 掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布 4.数字特征 理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征,会求随机变量的数学期望 5.大数定理 了解切比雪夫不等式,了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理 6.数理统计概念 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解 分布、t分布、F分布的概念和性质,了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布 7.参数估计 掌握矩估计与极大似然估计法 了解无偏性、有效性与一致性的概念,会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 8.假设检验 掌握假设检验的基本步骤 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 第十讲 总结 1.极限求解 变量替换( 作对数替换),洛必达法则,其他(重要极限,微积分性质,级数,等价小量替换) 1. (几何级数) 2. (对数替换) 3. 4. 5. 6. ,求 2.导数与微分 复合函数、隐函数、参数方程求导 1. 2. ,求dy/dx 3. 决定函数 ,求dy 4.已知 ,验证 5. ,求 3.一元函数积分 1.求函数 在区间 上的最小值。(0) 2. 3. 4. 5. 6. 4.多元函数微分 1. ,求 2. 由 给出,求证: 3.求 在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。 4. ,求 6.证明 满足 7.求 内的最值。 5.多元函数积分 1.求证: 2. 3. 4.改变积分次序 5. 围域。 6.常微分方程 1.求 通解。 2.求 通解。 3.求 通解。 4.求 通解。 5.求 特解。 6.求 特解。 _1161429498.unknown _1161527219.unknown _1161527252.unknown _1161527268.unknown _1161527317.unknown _1161527326.unknown _1161527334.unknown _1161527338.unknown _1161527342.unknown _1161527346.unknown _1161527348.unknown _1161527349.unknown _1161527350.unknown _1161527347.unknown _1161527344.unknown _1161527345.unknown _1161527343.unknown _1161527340.unknown _1161527341.unknown _1161527339.unknown _1161527336.unknown _1161527337.unknown _1161527335.unknown _1161527330.unknown _1161527332.unknown _1161527333.unknown _1161527331.unknown _1161527328.unknown _1161527329.unknown _1161527327.unknown _1161527321.unknown _1161527324.unknown _1161527325.unknown _1161527323.unknown _1161527319.unknown _1161527320.unknown _1161527318.unknown _1161527309.unknown _1161527313.unknown _1161527315.unknown _1161527316.unknown _1161527314.unknown _1161527311.unknown _1161527312.unknown _1161527310.unknown _1161527305.unknown _1161527307.unknown _1161527308.unknown _1161527306.unknown _1161527303.unknown _1161527304.unknown _1161527302.unknown _1161527260.unknown _1161527264.unknown _1161527266.unknown _1161527267.unknown _1161527265.unknown _1161527262.unknown _1161527263.unknown _1161527261.unknown _1161527256.unknown _1161527258.unknown _1161527259.unknown _1161527257.unknown _1161527254.unknown _1161527255.unknown _1161527253.unknown _1161527235.unknown _1161527243.unknown _1161527248.unknown _1161527250.unknown _1161527251.unknown _1161527249.unknown _1161527245.unknown _1161527246.unknown _1161527244.unknown _1161527239.unknown _1161527241.unknown _1161527242.unknown _1161527240.unknown _1161527237.unknown _1161527238.unknown _1161527236.unknown _1161527227.unknown _1161527231.unknown _1161527233.unknown _1161527234.unknown _1161527232.unknown _1161527229.unknown _1161527230.unknown _1161527228.unknown _1161527223.unknown _1161527225.unknown _1161527226.unknown _1161527224.unknown _1161527221.unknown _1161527222.unknown _1161527220.unknown _1161429531.unknown _1161526948.unknown _1161526956.unknown _1161527006.unknown _1161527217.unknown _1161527218.unknown _1161527216.unknown _1161527004.unknown _1161527005.unknown _1161526957.unknown _1161526952.unknown _1161526954.unknown _1161526955.unknown _1161526953.unknown _1161526950.unknown _1161526951.unknown _1161526949.unknown _1161429539.unknown _1161526944.unknown _1161526946.unknown _1161526947.unknown _1161526945.unknown _1161526942.unknown _1161526943.unknown _1161429541.unknown _1161526941.unknown _1161429542.unknown _1161429540.unknown _1161429535.unknown _1161429537.unknown _1161429538.unknown _1161429536.unknown _1161429533.unknown _1161429534.unknown _1161429532.unknown _1161429515.unknown _1161429523.unknown _1161429527.unknown _1161429529.unknown _1161429530.unknown _1161429528.unknown _1161429525.unknown _1161429526.unknown _1161429524.unknown _1161429519.unknown _1161429521.unknown _1161429522.unknown _1161429520.unknown _1161429517.unknown _1161429518.unknown _1161429516.unknown _1161429506.unknown _1161429510.unknown _1161429513.unknown _1161429514.unknown _1161429512.unknown _1161429508.unknown _1161429509.unknown _1161429507.unknown _1161429502.unknown _1161429504.unknown _1161429505.unknown _1161429503.unknown _1161429500.unknown _1161429501.unknown _1161429499.unknown _1161429466.unknown _1161429482.unknown _1161429490.unknown _1161429494.unknown _1161429496.unknown _1161429497.unknown _1161429495.unknown _1161429492.unknown _1161429493.unknown _1161429491.unknown _1161429486.unknown _1161429488.unknown _1161429489.unknown _1161429487.unknown _1161429484.unknown _1161429485.unknown _1161429483.unknown _1161429474.unknown _1161429478.unknown _1161429480.unknown _1161429481.unknown _1161429479.unknown _1161429476.unknown _1161429477.unknown _1161429475.unknown _1161429470.unknown _1161429472.unknown _1161429473.unknown _1161429471.unknown _1161429468.unknown _1161429469.unknown _1161429467.unknown _1161429450.unknown _1161429458.unknown _1161429462.unknown _1161429464.unknown _1161429465.unknown _1161429463.unknown _1161429460.unknown _1161429461.unknown _1161429459.unknown _1161429454.unknown _1161429456.unknown _1161429457.unknown _1161429455.unknown _1161429452.unknown _1161429453.unknown _1161429451.unknown _1161429442.unknown _1161429446.unknown _1161429448.unknown _1161429449.unknown _1161429447.unknown _1161429444.unknown _1161429445.unknown _1161429443.unknown _1161429438.unknown _1161429440.unknown _1161429441.unknown _1161429439.unknown _1161429436.unknown _1161429437.unknown _1161429435.unknown
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