加权残值法

加 权 残 值 法 加权残值法（Method of weighted Residuals）→定解问题的近似求解方法。 优点：原理统一，简便，工作量少，计算精度较高。 加权残值法的发展： ①基本思想在 19世纪初就已提出； ②20世纪 20年代，由毕卡（Picone）用来求解微分方程； ③克兰德（Crandall）将这一方法统一，并定义为加权残值法。 国内： ①20世纪 60年代期间，最早由钱令希教授介绍了多种加权残值方法并用于分析薄板力学问 题。 ②徐次达教授自 60年代开始利用加权残值法求解固体力学问题。 1 加权残值法的基本概念 设某一具体的定解问题： Lu－f=0（在域 V内） （3.1.1） Gu－g=0（在边界S上） （3.1.2） 这里，u为待求的未知函数，L和 G分别为控制方程（在域 V内）和边界条件（在边界 S上）的微分算子。f和 g分别是域内和边界上的已知项。 一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求得，从而求助于近似解，这里我们 假设一个待求函数 u的试函数：    N i iivCu 1 ~ （3.1.3） 其中 Ci为待定系数，vi为试函数项。 将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确满足，于是就出现了内部残 值（Residuals）RV和边界残值 RS，即： 0~  fuLRV （3.1.4） 0~  guGRs （3.1.5） 为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function）WV和边界权函数 WS，使得残值 RV和 RS分别与相应权函数的乘积在域内和边界上的积分为零，即： Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 0 VVV V dWR （3.1.6） 0 SSS S dWR （3.1.7） 据此，我们就可以得到关于待定系数 Ci（i=1，2，…N）的代数方程组，求得了 Ci后， 即确定了近似解（3.1.3）。 按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法分为三类，即内部法、边界法和 混合法。这三种方法各有自己的优点，当然也存在不足。 （1）在内部法中，对于一般比较规则的边界，选取满足边界条件的试函数是比较容易的。 并且，由于边界条件已经满足，所以计长工作量较少。但是对于复杂的边界，这一方法就很 不方便。 （2）在边界法中，由于基本控制方程已经满足，近似计算仅在边界上进行，因而计算工作 量少，精度较高，不足的是，要事先求得不同问题控制方程的泛定解，比较困难。 （3）混合法的优点在于，对试函数要求不严，复杂的边界条件和复杂的控制方程都能适应， 缺点是计算工作量较大。 总之，对于复杂控制方程，简单边界问题，宜采用内部法；对简单控制方程，复杂边界， 适合用边界法；对控制方程和边界条件都较复杂的问题，采用混合法较好。这三种方法中， 内部法一般应用较多。 2 加权残值法的基本方法 根据权函数的形式分类，主要有以下五种方法： （1）最小二乘法（Least Square Method） 最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域 V内的残值平方积分： 2( )i V J C R dv  （3.2.1） 最小。为使 J（Ci）最小，取极值条件： 0 )(    i i C CJ ，（i=1，2，…N） （3.2.2） 即可得到最小二乘法的基本方程：    V i dv C R R 0，（i=1，2，…N） （3.2.3） 可见，最小二乘法就是将权函数取作 iC R   。式（3.2.3）将给出 N个代数方程，用于求 解 N个待定系数 Ci（i=1，2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. （2）配点法（Collocation Method） 如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）作为权函数，即： )( ii xxδW  （3.2.4） 就得到了配点法。 其中，δ函数又称单位脉冲函数，其具有以下性质：       )(0 )( )( i i i xx xx xxδ （3.2.5a） 1)(    dxxx i （3.2.5b） )()()( ii xFdxxxxF     （3.2.5c） 1)(    dxxx i （3.2.5d） 于是，将权函数（3.2.4）代入（3.1.6）中，便可得配点法的基本方程为： 0)()()(  iV iV i xRdvxxxRdvRW  ，（i=1，2，…N） （3.2.6） 对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为： 0)，()，()，(  iiV iiV i yxRdvyyxxyxRdvRW  ，（i=1，2，…N） （3.2.7） 由残值 R在 N个配点 xi（或二维（xi，yi））处为零。得到 N个代数方程，从而求得待 定系数 Ci（i=1，2，…N）。配点法是加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一 些。 （3）子域法（Subdomain Method） 划分的子域总数应等于待定系数 Ci的总数。 如果将待求问题的整个区域 V按任意方式划分为 N个子域 Vi（i=1，2，…N），并定义此 时的权函数为：     )0 )(1 内不在 内在 i i i V V W （3.2.8） 于是在每个子域 Vi内可列出消除残值的方程为： 0 Vi idvR ，（i=1，2，…N） （3.2.9） 这里，N个子域共有 N个方程，联立求解即得待定系数 Ci（i=1，2，…N）。需要说明的 是，每个子域的试函数的选取可以相同，也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 须考虑各子域间的连接条件。 （4）伽辽金法（Galerkin Method） 伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名的方法。 伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即： Wi=vi，（i=1，2，…N） （3.2.10） 0  V idvRv ，（i=1，2，…N） （3.2.11） 由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，不仅保证了解的收敛性，还使得 伽辽金法精度高而计算工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。 （5）矩量法（Method of Moment） 当权函数选取为 xi（i=0，1，…N－1）时，就得到了矩量法的基本方程为： 0 V dvRx i ，（i=0，1，…N－1） （3.2.12） 由上式不难求得待定系数 Ci（i=1，2，…N）。 至此，我们根据所选取的权函数类型，介绍了五种基本方法。在实际应用中，这五种基 本方法可以单独使用，也可以相互结合而产生新的近似方法。 3 加权残值法在力学中的应用 本节将给出一些加权残值法求解力学问题的例子，使同学们能够熟练掌握应用这一方法 求解具体力学问题的过程。 例 3.4.1：梁的弯曲问题 考虑一两端固定，均布载荷作用下的直梁（图 3.4.1），梁的跨度为 L，均布载荷为 q， 梁的抗弯刚度为 EI。 图 3.4.1 均布载荷作用下的固定梁 解：梁的挠曲线微分方程为： 0EI 4 4  q dx wd （3.4.1） 梁在两固定端所满足的边界条件为： 00 0 0      Lx Lx x x dx dw ，w dx dw w （3.4.2a，b） Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. （前面已经介绍过，按照试函数的类型，可将加权残值法分为三类：内部法、边界法和混合 法。） 1、内部法 选取梁的挠度试函数为： 22 )(~ xLcxw  （3.4.3） 0~ 0 xw 0~ Lxw xcLcLxcx xcLcLxcx dx d dx wd 223 2234 264 )2( ~   0 ~ ，0 ~ 0   Lxx dx wd dx wd 因此，所选取的梁的挠度试函数满足边界条件（3.4.2a，b），从而内部残值表达式为： qq dx wd Rv  EIC24 ~ EI 4 4 （3.4.4） （a）最小二乘法求解 最小二乘法相对应的残值方程为：    L V dxqdv C R R 0 0EI24EIC24 ）（ （3.4.5） EI24 q C  从而两端固定梁的挠度近似解为： 22 )( EI24 ~ xLx q w  （3.4.6） 该解已经是材料力学中的精确解了。 （b）配点法求解 配点法相对应的残值方程为： R（xi）=24EIC－q=0 （3.4.7） xi为任意坐标都使得： EI24 q C  此结果与最小二乘法所得结果完全相同。 同理，我们还可以采用子域法，伽辽金法及矩量法，均可获得同样的结果。 2、混合法 考虑到梁所满足的挠曲线方程中最高含有四阶导数，而且四阶导数的值为常数，这里， Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 我们假设梁的挠度试函数为： 4 4 3 3 2 210 ~ xCxCxCxCCw  （3.4.8） 注意到，微分方程以及四个边界条件可得到 5个方程，可以确定出（3.4.8）节中的 5 个待定系数 Ci（i=0，1，2，3，4）。将（3.4.8）代入到（3.4.1）和（3.4.2a，b）中，得：              0432 0 0 0 0EIC24 3 4 2 321 1 4 4 3 3 2 210 0 4 LCLCLCC C LCLCLCLCC C q （3.4.9） 2EI1 ， EI24 ， EI24 ，0 3 2 2410 qL C qL C q CCC  于是，挠度曲线函数为： 22 )( EI24 ~ xLx q w  与前面的方法所得结果一致。 例 3.4.2：简支梁的弯曲问题 解：梁的挠曲线微分方程为： 0EI 4 4  q dx wd （3.4.1） 边界条件为： 000   Lxx ，ww （3.4.10） 于是，把问题化为微分方程（3.4.1）和边界条件（3.4.10）的边值问题进行求解。 首先凭经验选取试函数（Trial Function），以下采用低阶近似求解（所谓低阶近似，是指试 函数中只含一个或几个待定参变量）。 一阶近似选取的试函数为： L x cw π sin~1  （3.4.11） 二阶近似选取的试函数为： L x c L x cw 3π sin π sin~ 212  （3.4.12） 1 ~w 和 2 ~w 已满足边界条件（3.4.10），但不满足控制微分方程（3.4.1），将 1 ~w 和 2 ~w 代入 （3.4.1），得到内部残值 RV： q L x L RV        π sin π EIC 4 1 （3.4.13） Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. q L x C L x C L RV              3π sin1 π sin π EI 21 4 2  （3.4.14） 1、最小二乘法（Least Square Method） （1）一阶近似 0 π 2 2 EIC π EI π sin π EI π sin π EIC 4 4 0 4 1 1                                                    L q L L dx L x L q L x L dv C R R L V VV （3.4.15） EIπ 4 4 5 qL C  （3.4.16） 求得近似解为： L xqL w π sin EIπ 4~ 4 51  （3.4.17） 梁中点挠度的近似值为： EI 013071.0 EIπ 4~ 44 5max1 qLqL w  （3.4.18） 它的误差仅为 0.386%，最小二乘法的一阶近似就已求得相当精确的近似解。 （2）二阶近似               0 0 2 2 2 1 2 2 dv C R R dv C R R V V V V V V （3.4.19） 将 RV2代入积分后得：                    0 π 2 2 1π EI 0 π 2 2 π EI 2 4 1 4 L q LC L L q LC L  （3.4.20）          EI243π 4 EIπ 4 4 52 4 51 qL C qL C （3.4.21） 求得近似解为：        L x L xqL w 3π sin 243 1π sin EIπ 4~ 4 52 （3.4.22） 梁中点挠度的近似值为： EI 013017.0 EI243 1 1 π 4~ 44 5max2 qLqL w        （3.4.23） 其误差仅为 0.027%，近似解的计算精度也提高了。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2、配点法（Collocation Method） （1）一阶近似 试函数（3.4.11）中仅含一个待定系数 C，只需选一个配点即可。 选取 2 L x  点为配点。令内部残值在配点 2 L x  处为零，即： 0 π EIC 4 2 1         q L R L x V （3.4.24） 求得 C为： EIπ 1 4 4 qL C  （3.4.25） 将 C代入（3.4.11），得问题的近似解为： L xqL w π sin EIπ 1~ 4 41  （3.4.26） 梁中点挠度近似值为： EI 010266.0 EIπ 1~ 44 4max1 qLqL w  （3.4.27） 精确解为： EI 0130208.0 EI384 5 44 qLqL  ，误差为 21.16%。 （2）二阶近似 试函数（3.4.12）中含 C1，C2两个参变量，应选取两个点为配点，选取： 2 L x  与 4 L x  的点，令内部残值 RV2分别在这两个配点处为零，即得：                           01 4 π EI 01 π EI 21 4 4 2 21 4 2 2 qCCR qCC L R L x V L x V   （3.4.28）                          EIπ)22(1 1 EIπ22 23 4 22 4 2 2 1 qL C qL C  （3.4.29） 近似解为：                  L x L xqL w 3π sin )23(1 1π sin EIπ22 23~ 2 4 2 2 2  （3.4.30） 梁中点挠度的近似值为： Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. EI 012366.0 EI)23(1 1 1 π 1 22 23~ 4 4 242 2 max2 qL qL w                （3.4.31） 其误差为 5%。由此可见，二阶近似大大提高了近似解的精度。继续增加参变量，进行 高阶近似求解，可以求得更精确的近似解。 3、子域法（Subdomain Method） （1）一阶近似 试函数（3.4.11）中仅含一个参变量，因此有： 0 π EIC2 3 0 1        qLLdxR L V （3.4.32） EIπ2 1 4 3 qL C  （3.4.33） 因此近似解为： L xqL w π sin EIπ2 1~ 4 31  （3.4.34） 梁中点的挠度近似值为： EI 016126.0 EI2π 1~ 44 3max1 qLqL w  （3.4.35） 误差为 23.85%。 （2）二阶近似 由于问题的对称性，令内部残值在子域       4 ，0 L 与       2 ， 4 LL 内的积分为零。 即得： 0 2 2 127 2 2 1 π EI4 21 3 4 0 2                                  qLCCLdxR L V   027πEI2 21 3 2 0 2 4 0 2 2 0 2 2 4 2          qLCC L dxRdxRdxRdxR L V L V L V L L V （3.4.36） EI)22(π427 1 EI)22(π4 23 4 232 4 23 2 1 qL C qL C      （3.4.37） 近似解： EI 3π sin 27 1π sin)23( )22(4π 1~ 4 2 232 qL L x L x w          （3.4.38） Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 梁中点的挠度近似值为： EI 013677.0 EI)22(4π 27 1 23 ~ 4 4 23 2 max2 qL qL w     （3.4.39） 其误差为 5%，二阶近似也大大提高了近似解的精确度。 4、伽辽金法（Galerkin Method） （1）一阶近似 选取 L xπ sin 作为权函数，有： 0 π 2 2 π EIC π sin π sin π EIC π sin 4 0 4 0 1                              L q L L dx L x q L x L dx L x R LL V （3.4.40） EIπ 4 5 4qL C  （3.4.41） 所求近似解与最小二乘法一阶近似结果相同。 （2）二阶近似 选取 L xπ sin 与 L x3π sin 作为权函数，有：          0 3π sin 0 π sin 0 2 0 2 dx L x R dx L x R L V L V （3.4.42） 很显然，所得结果与最小二乘法的二阶近似结果相同。 5、矩量法（Method Mornert） （1）一阶近似 选取“1”为权函数，所得结果与子域法完全相同。 （2）二阶近似 选取 1与 x2为权函数，有                                            09 9π 4 127 π 4 1 π EI3 027 π EI2 2212 3 0 2 2 21 3 0 2 LCC L dxxR qLCC L dxR L V L V （3.4.43） Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. EI24 12 π 1 2π 1 EI8 1 4 π3 2π 1 4 2 32 4 2 31 qL C qL C     （3.4.44） 近似解为：                        L x L xqL w π3 sin 12 π 1 24 1π sin1π 4 3 8 1 EI2π 1~ 2 3 4 32 （3.4.45） 中点挠度的近似值为： EI 012786.0 EI12 π 1 24 1 1π 4 3 8 1 2π 1~ 4 42 3 3max2 qL qL w                         （3.4.46） 其误差为 1.8%，比一阶近似的误差 23.85%小许多。 表 1 采用五种方法一、二阶近似计算结果比较 方法 一阶近似 二阶近似 梁中点挠度         EI/ ~ 4 max qL w 误差（%） 梁中点挠度         EI/ ~ 4 max qL w 误差（%） 配点法 0.010268 21.16 0.012366 5.0 子域法 0.016126 23.85 0.013677 5.0 最小二乘法 0.013071 0.386 0.013017 0.029 伽辽金法 0.013071 0.386 0.013017 0.027 矩量法 0.016126 23.85 0.012786 1.8 精确解 0.0130208 上述选取同一个试函数，采用五种方法求得近似解。 （1）不同的方法所得的近似解的误差是不同的，其中以最小二乘法和伽辽金法较好，计算 结果的误差较小； （2）计算结果表明，二阶近似计算结果比一阶近似精度高； （3）通常，随着试函数参变量的增加，会给出更好的近似解。但有时并不总是如此。例如， Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 选取的试函数项，恰恰包含了问题的精确解，这样，低阶近似就给出了精确解，再增加参变 量，反而只给出近似解。 采用加权残值法解题的过程归纳如下： （1）建立问题的控制微分方程和边界条件，初始条件； （2）选取试函数，试函数中包含许多线性无关的试函数项和待定系数； （3）将试函数代入控制微分方程或边界条件，导出包含待定系数的内部残值和边界残值； （4）选用各种不同的方法去消除残值，从而导出一组求解待定系数的代数方程组。由该代 数方程组求得待定系数，并代回试函数，即得问题的近似解。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.