等分三角形的周长和面积

【问题】一个三角形三边长分别为6，8，10，一条直线将三角形的周长和面积都平分，问这样的直线有几条？ 【结论】这样的直线使存在的，只有一条。 【方法】将这条直线与边的交点位置数量化，如图分三种情况讨论： 【左】设BP=x，BQ=y，则据题意可得 x+y=12,xy=BC×BA/2=24， x,y是方程u^2-12u+24=0的根u=6±2√3，有一个根大于8，这种情况不存在。 【中】设AP=x，AQ=y，则据题意可得 x+y=12,xy=AB×AC/2=40， x,y是方程u^2-12u+40=0的根，但是因为△=(-12)^2-160＜0，所以方程没有实数解。 【右】设CP=x，CQ=y，则据题意可得 x+y=12,xy=CB×CA/2=30， 可知x,y是方程u^2-12u+30=0的根，u=6±√6，根据实际意义，可知x=6-√6，y=6+√6，能够符合要求。