5-5二次型、标准形

nullnull一、二次型及其形的概念一、二次型及其标准形的概念null例如都为二次型；为二次型的标准形.二、二次型的示二、二次型的表示方法1．用和号表示对二次型null2．用矩阵表示null三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．null解四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形设　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．null若A是对称阵，B必为对称阵； 矩阵合同关系也是等价关系的特款，即有反身性、对称性和传递性; 相合矩阵的秩相等.因此可逆线性变换不改变二次型的秩.null说明nullnull用正交变换化二次型为标准形的具体步骤null解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值null从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组nullnull于是所求正交变换为null解nullnullnullnull五、小结五、小结　　1.　实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．　　2.　实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种 方法——拉格朗日配方法．思考题思考题思考题解答思考题解答nullnullnull§4 二次型化标准形§4 二次型化标准形只需寻找使二次型 转换为标准形 正交变换 要判断曲线、曲面形状只需将曲线、曲面方程转化为标准方程只需寻找 一、利用正交变换化二次型为标准形回顾上次课结论：回顾上次课结论：定理1 设A 为n 阶对称矩阵,则必有正交矩阵Q,使 （1）设A有m个不同特征值依次为 （2）相应于恰有 个线性无关的特征向量 ，它们的重数，把它们正交单位化得，（3）为正交阵，且有null 总有正交变换 x = Py，使 f 化为标准形定理2null例1 求一个正交变换 x = Py，把二次型化为标准形.利用正交矩阵将对称矩阵对角化.于是问题转化为：null解：A的特征多项式为故A的特征值为相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足null相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足null正交矩阵为所做正交变换为标准形为：下面解决本章第一次课所提的问题：下面解决本章第一次课所提的问题：（1）判断二次曲线的形状；（2）判断二次曲面的形状。null（1）判断二次曲线的形状.解：令其矩阵为A的特征多项式为故A的特征值为null相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足null正交矩阵为所做正交变换为二次型的标准形为：二次曲线的标准方程为：该曲线为双曲线.（2）判断二次曲面（2）判断二次曲面的形状.解：其矩阵为A的特征多项式为故A的特征值为null相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足相应于无关的特征向量有两个，满足的特征向量满足null满足且正交的特征向量可取为单位化得正交矩阵为null所做正交变换为二次型的标准形为二次曲面的标准方程为二次曲面的形状为旋转双曲面二、Lgrange配方法化二次型为标准形二、Lgrange配方法化二次型为标准形 下面介绍一种行之有效的方法 ——拉格朗日配方法． 用正交变换化二次型为标准形，其特点 是保持几何形状不变． 问题：有没有其它方法，也可以把二次 型化为标准形？（不形状不变）拉格朗日配方法的步骤： 拉格朗日配方法的步骤： 1.　若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，进行，直到都配成平方项为止，再对其余的变量同样就得到标准形;经过可逆性变换，2.　若二次型中不含有平方项，但是含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.化二次型为则先作可逆线性变换例1例1 所做可逆变换为null而我们曾用正交变换化标准形为：比较例2例2做可逆变换 不含平方项null再做可逆变换，得标准型为 我们曾在正交变换之下化标准型为.比较注：注：二次型的标准形不唯一，但它们具有共性： (1)所含平方项个数相同，都等于矩阵A的秩； (2)平方项的系数正负项数相同。定义：称标准形中正系数个数为正惯性指数； 负系数个数为负惯性指数； 正惯性指数减去负惯性指数为符号差.例的正惯性指数为2，负惯性指数为1，符号差为1.惯性定理nullnull一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念null例如都为二次型；为二次型的标准形.二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法1．用和号表示对二次型null2．用矩阵表示null三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．null解四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形设　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．null证明null说明nullnull用正交变换化二次型为标准形的具体步骤null解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值null从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组nullnull于是所求正交变换为null解nullnullnullnull五、小结五、小结　　1.　实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．　　2.　实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种 方法——拉格朗日配方法．思考题思考题思考题解答思考题解答nullnullnullnull一、拉格朗日配方法的具体步骤一、拉格朗日配方法的具体步骤　　用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．　　问题　有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？　　问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．null拉格朗日配方法的步骤化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.null解nullnull所用变换矩阵为null解由于所给二次型中无平方项，所以null再配方，得null所用变换矩阵为二、小结二、小结　　将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．思考题思考题思考题解答思考题解答null