作业11隐函数与参数方程求导

作业11隐函数与参数方程求导 1、填空 23,，，，，，，lnx，y,xy，sinx1 1，设函数y,yx由方程确定,则y0, ,,xft，，,,dy,,，，，，ftf0,03 2，设,其中可导,且,则 ,t,03tdxy,f，，e,1, xabbbxdy,,,,,,, 3，设,则 ，，y,a,0,b,0,,,,,,dxaxa,,,,,, xxa,,bbbb,,,,b,ab,a,1,, ，,，，xlnbax,,,,b,,aaaa,,,,,, ，，yx 2、求下列方程所确定的隐函数的导数 xyxye，, 1， xyye,1xy,,, 解:方程两边关于求导得:。 x1，,，,,yeyxyy，，xy1,xeyxxytancos,， 2， ，， 2,,yxyxyxytansec1sin，,,，，, 解:方程两边关于x求导得:。 ，，，， 2,，,sinsecxyyx，，, y,sintanxyx，，，， xyaa，,,03、证明:曲线上任意一点处的切线在坐标轴上，， 的截距和为常数a。 y11xy,,, 证明:方程两边关于x求导得:,设，,,,,yy0，，0022xyx y0为曲线上任意一点,此点处切线方程为,其对应截yyxx,,,,，，00x0 距式方程为 yx ，,1 ayax00 所以ayaxaxya，,，, ，，0000 dy4、求下列函数的导数 dx x2yxex,,sin1 1， ，， 22xxexcos1,，，xx22, 解:方法一、 yexxex,,，,，sin1sin1，，，，2sin1x,，， x2yxex,,sin1 方法二、两边取对数得 ，， 12lnlnlnsin1yxxx,，，, ，，2 2xxcos1,，，11, 两边关于求导得: xy,，，12yxsin1x,，， 2,,xxcos1,，，1x2,,, yxex,,，，sin11，，2,,xsin1x,，，,,yx，，，，cosx,siny 2， yx，，，，cosx,siny 解:两边取对数得: ylncosx,xlnsiny ,,ylncosx,ytanx,lnsiny，xcoty,y 两边关于求导得: x ytanx，lnsiny,y, lncosx,xcoty dy5、求下列参数方程所确定函数的导数 dx ,,,，xttln1，，, 1， ,32ytt,，,, ,322tt，，，dytt32， 解: ,,,，，321tt，，，，,1dxtt,，ln11,，，，，1，t ,,,,x1sin，，, 2， ,,y,cos,, ,,,,,,dycoscos,sin，， 解: ,,,dx1,sin,,,cos,，，，，1,sin,, ,,，，，，r,asin3,a,06、求三叶玫瑰线上对应于点处的切线方程，直,4 角坐标形式，。 ,,,,,xrcosasin3cos,,,,,dy3acos3sin，asin3cos, 解:, ,dx3acos3,cos,,asin3,sin,,,yrsin,asin3,sin,, 31,，,aady122,x,,y, 当时,, ,,,,,,31422dx24,,22 a1a,, 切线方程为:。 y,,x,,,222,, xatt,,sin,，，,7、在摆线的一拱上求一点,使该点处切线,,02,,t，，,yat,,1cos，，,, yx,,1不直线平行,并写出切线方程。 ,at1cos,，，，，dytsin解:因为,由 ,,dxcocst1,,att,sin，，，， sin2t,,, ,,,,,,,,,,1sincos1sinttt,,1cos42,t,,3,3,t,t,所以t,2,,或，舍去函数在此点不可导，,当时,22 3,,,xaya,，,1, ,,2,, ,,3,,,对应切线方程为:。 yaxa,,,,，1,,,,2,,,,