求根
及根的判别式
在解一元二次方程有关问题时,最好能知道根的特点:如是否有实数根,有几个实数根,根的符号特点等。我们形象地说,判别式是一元二次方程根的“
器”,在以下几个方面有着广泛的应用:
利用判别式,判定方程实根的个数,根的特点;
运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数的值或参数的取值范围; 通过判别式,证明与方程相关的代数问题;
借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题。
2x,ax,b,04,231)设a,b是整数,方程例题1 (的一根是,则a+b的值是
2n,2(2)满足的整数n有 个。(全国#初中
#竞赛题) (n,n,1),1
9224a9a2例题2 已知,那么( ) ,,,,a,3a,1,021a,
A、3; B、5; C、3; D、6 55
2例题3 解关于x的方程 (a,1)x,2ax,a,0
2例题4 设方程,求满足该方程的所有根之和。 x,|2x,1|,4,0
222例题5 设关于x的二次方程1及(a,1)x,(a,2)x,(a,2a),0?
2222(其中a,b皆为正整数,且a?b)有一个公共根。求(b,1)x,(b,2)x,(b,2b),0?
baa,b的值。 ,b,aa,b
2例题6(1)关于x的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围2kx,(8k,1)x,,8k
是 ,
322x,ax,2ax,a,1,0(2)关于x的方程只有一个实数根,则a的取值范围是
2例题7 把三个连续的正整数a,b,c按任意次序(次序不同视为不同组)填入?+?x+?=0x的三个方框中,作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,使所得方程至少有一个整数根的a,b,c( )
A、不存在; B、有一组; C、有两组; D、多于两组;
2例题8 已知关于x的方程 x,(k,2)x,2k,0
(1)求证:无论k取任何实数值,方程总有实数根。
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长。(湖北省荆门市
题)
2例题9 设方程只有3个不相等的实数根,求a的取值和相应的3个根。(重庆|x,ax|,4
市竞赛题)
2例题10 已知,求证:2y=x+z (x,z),4(x,y)(y,z),0
对应
:
221.若x=0是方程的解,则m= (荆州市中考题) (m,2)x,3x,m,2m,8,0
2x,6x,8,02.三角形的每条边的长是都是方程根,则三角形的周长是 (2008黑龙江中考题)
x,352x,3x,1,0,x,,3.已知x是一元二次方程的衩数根,那么代数式的(2)2x,xx,362值为
223x,2ax,a,04.已知关于x的方程的一个根为1,求它的另一根。
,,25.已知αβ是方程的两个实数根,求的值。 2x,3|x|,2,0
|,|,|,|
2x,mx,n,06.如果m,n是奇数,关于x的方程有两个实数根,则其实根的情况是( ) A、有奇数根,也有偶数根; B、既没有奇数根,也没有偶数根;
C、有偶数根,没有奇数根; D、有奇数根,没有偶数根;
2x,4x,k,07.若关于x的方程有实数根,则k的取值范围是 (2008厦门中考)
28.若关于x的方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 (m,1)x,mx,1,0
2x,10x,m,09.等腰三角形ΔABC中,BC=8,AB,AC的长是关于x的方程的两根,则m=
22222210.已知ΔABC的三边长为a,b,c,判断方程有无实数根。 ax,(c,a,b)x,b,0
32211.已知关于x的方程有且只有一个实数根,则实数a的取值x,(1,a)x,2ax,a,0
范围是
212.若方程有且只有相异二实根,则a的取值范围是 |x,5x|,a
2ax,bx,c,013.已知a>0,b>a+c,判断关于x的方程的根的情况。(河南省竞赛)
214.关于x的方程有有理根,求整数k的值。 kx,(k,1)x,1,0
AB,BC,DC,BC15.如图,,垂足分别为B、C,
(1)当AB=4,DC=1,BC=-4时,在线段BC上是否存在点P,使AP?PD,如果存在,求线段BP的长,如果不存在,请说明理由。
(2)设AB=a,DC=b,AD=c,那么当a,b,c之间满足什么关系时,在直线BC上存在点P,使AP
A ?PD,(南京市中考题)
D
C B