第五章 电磁波的辐射

nullnull 第五章 电磁波的辐射 Electromagnetic Wave Radiation 本章所研究电磁波的辐射。方法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电流分布激发电磁场的问时，引入势的概念来描述电磁场比较方便。 本章首先把势的概念推广到一般变化电磁场情况，然后通过势来解辐射问题。 null§5. 1 电磁场的矢势和标势一、用势 描述电磁场真空中的电磁场：null问题：能否将方程组写得更简单？——解决了③式由②式——解决了②式令：——标势null二、 变换和规范不变性——结果不影响B.如果加上一个任意的梯度仅改变A，E将出现不同的结果规范：A,  的一种取值方式.null势的规范变换规范不变性：当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都应该保持不变的一种不变性。规范：A,  的一种取值方式.从数学上来说，规范变换自由度的存在是由于在势的定义式中，只给出A的旋度，没有给出A的散度，可以取A为任意的值。null考虑两外两个方程由①式由④式令:null如果令：——洛伦兹规范电流产生矢势波动电荷产生标势波动达朗贝尔方程（与麦克斯韦方程组等价）null另外一种常用的规范：库仑规范，在静场中经常使用.A为无源场无旋场(纵场)--库仑场无源场(横场)--感应电场采用适当的辅助条件可以使基本方程和计算简化，而且物理意义也较明显。null三、举例讨论试求单色平面电磁波的势解：单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在Lorentz规范条件下）变为波动方程：其解的形式为：null由Lorentz规范条件明：只要给定了A，就可以确定单色平面电磁波，因为：与k的方向相同null如果取 ，即只取 具有横向分量，那么有从而得到：和第四章§1结果一致。null因此其中采用库仑规范条件，势方程为：null保证了 只有横向分量当全空间没有电荷分布时，标势 ，则只有其解的形式为由库仑规范条件得到因此null库仑规范的优点：标势 描述库仑作用，可直接由电荷分布 求出，矢势 只有横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。洛仑兹规范的优点：它的标势 和矢势 构成的势方程具有对称性。矢势 的纵向部分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性。因此，以后都采用洛仑兹规范。比较：null §5.2 推迟势 Retarded Potential本节主要是求解达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程，并阐明其解的物理意义。null1、达朗贝尔方程的解在洛伦茨规范条件下， 和 满足达朗贝尔方程故交变电磁场中的矢势 和标势 均满足叠加原理。因此，对于场源分布在有限体积内的势，可先求出场源中某一体积元所激发的势，然后对场源区域积分，得出总的势。方程是线性的，反映了电磁场的叠加性null根据标势 所满足的方程：设坐标原点处有一假想变化电荷Q(t)，其电荷体密度为 ，此时电荷辐射的势的达朗贝尔方程为除在原点以外的空间null因此点电荷的场分布是球对称的——与θ和φ无关其解是球面波，考虑到r 增大时势 减弱，设null得到——齐次波动方程通解为故有式中 f 和 g具体形式由场源条件而定。向外发射的球面波向内收敛的球面波null研究辐射时，电磁场是由原点处的电荷发出的，它必然是向外发射的波。因此应取 g=0，而函数 f 的形式应由原点处的电荷变化形式决定。过渡到恒定场的情况，即取g=0，c→∞，则与恒定场中Q所激发的电势比较，则得表示超距作用null故交变场源 所激发的势为如果点电荷不在原点处，而是在 点上，令r 为 点到场点 的距离，有因此在交变电磁场中应有相似的解，即null如果场源电荷分布在有限体积 V内，对于一般变化电荷分布 ，它所激发的标势为：因矢势 的微分方程与标势 的微分方程相似，故其解也相似，所以一般变化电流分布所激发的矢势为：null证明是的解当r≠0时，nullnullr=0点是奇点,只可能在r=0点上不等于零，可能有函数形式的奇异性作一半径为的小球包围原点，在小球内积分因此，当r≠0时，方程满足.null只有对分母因子求二阶导数时才得到不为零的积分，因此可以令当0 时,积分的第二项2而趋于零null因此得解如果电荷不在原点上,而是在x’点上,令r为x’ 点到场点x的距离，有因此null2、推迟势（Retarded Potential)达朗贝尔方程的解为：nullnull综上所述，推迟势的重要性在于说明了电磁作用是以有限速度 向外传播的，它不是瞬时超距作用。换句话说：电荷、电流辐射电磁波，而电磁波以速度脱离电荷、电流向外传播。这就是推迟势所描写的物理过程。null3、推迟势满足Lorentz条件利用电荷守恒定律，可以验证推迟势满足Lorentz规范。电磁场的势null则有其中则null而null又因为即null于是null另外：null由此得到：要使上式保持成立（恒等），只有即得 和 的解满足Lorentz条件null§5.3 电偶极辐射 Electric Dipole Radiation电磁波是以交变运动的电荷系统辐射的，在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出来；在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。 本节研究宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。null1、计算辐射场的一般公式当 给定时，计算辐射场的基础是 的推迟势：若电流 是一定频率ω的交变电流，有——波数null令式中因子eikr是推迟作用因子，表示电磁波传到场点时有相位滞后kr。根据Lorentz条件，可求出标势 ：可见，由矢势 的公式完全确定了电磁场。 null另外，根据电荷守恒定律 ，有 只要给定电流 ，则电荷分布ρ也自然确定了。从而标势 也就随之而确定了。因此在电荷分布区域外null2、矢势 的展开式矢势近区（似稳区）：kr <<1，推迟因子eikr~1，因而场保持稳恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，磁场也和稳恒场相似。 感应区（过渡区）：r ~λ，但满足r>>l。这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和辐射区的过渡区域中。nullnull现在讨论电流分布于小区域而激发的远区场。把相因子对 展开，得从而得到矢势 的展开式为：展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。null3、偶极辐射展开式的第一项：由于null由于积分区域包含了全部电荷、电流存在的空间，因而在包围该区域的边界面上不可能有电流出去，即S 面 ，从而有故得null在计算辐射场时，需要对 作用算符现在讨论计算辐射场的技巧问题： 由于讨论远区场时，只保留 的最低次项.因而算符 不需作用到分母上，而仅需作用到相因子上即可达到要求.作用结果相当于代换：null由此，辐射场为null如果取球坐标，原点在电荷电流分布区域内，并以p方向为极轴，则由上式得到： B沿纬线上振荡，E沿经线上振荡。故得到：null4、辐射性能的几个重要参数衡量一个带电系统辐射性能的几个重要参数，是它的辐射功率和辐射角分布，这些问题都可以通过能流密度求得答案。 辐射场的能流密度在波动区域中，电磁场能流密度的平均值为null 辐射场的角分布所谓辐射场的角分布，就是讨论辐射的方向性，在平均能流密度 中， 因子表示电偶极辐射的角分布。辐射角分布：在 方向单位立体角内平均辐射能流，即当 R 一定时， 显然null由此可见这就是我们在日常生活中，经常通过拨动收音机或电视机天线的方位为获得最佳音响和清晰图象的缘故。null辐射功率辐射功率：单位时间内通过半径为R的球面向外辐射的平均能量.null如果偶极子作简谐振动，角频率为ω，且有则得到故若保持电偶极矩的振幅 不变，则辐射功率正比于频率ω的四次方，即频率变化时，辐射功率迅速变化。null§5.4 磁偶极辐射和电四极辐射已知矢势 的展开式为：该式的第一项，属于电偶极辐射，那么第二项到底属于什么的辐射呢？标量null而 是一个张量，把它分解为对称部分和反对称部分：因而 的展开式的第二项为：null第二项：由于第二项积分部分为：磁偶极矩该项辐射是磁偶极辐射。null第一项：把它看成对所有带电粒子求和，则得由于上式可写为：式中 是点电荷系的电四极矩。null至此， 的展开式第二项的物理为：即磁偶极辐射和电四极辐射是在 的展开式中同一级项中出现。null2、磁偶极辐射磁偶极辐射项在辐射区域中，因此null辐射区的电磁场为：又因为null讨论：将电偶极辐射场和磁偶极辐射场比较，即null由此可见，磁偶极辐射的能流密度为：其中： 磁矩的振幅， 为极角，其辐射图形如电偶极辐射相同。null磁偶极辐射的总辐射功率：null3、电四极辐射展开式第二项计算电四极辐射项：为方便计，定义一个矢量 ：则null辐射区域的电磁场为辐射平均能流密度为：null4、举例讨论例1：一电流线圈半径为a，激发电流振幅为I0,角频率为ω，求辐射功率。解：电流线圈的磁矩为磁偶极辐射的辐射功率null例2：求如图所示的电四极子以频率ω振幅时的辐射功率和角分布。ll【解】电四极矩张量null由此可见，辐射角分布由因子 确定，如图所示。辐射功率为：nullnull §5.6 电磁波的干涉和衍射 Interference and Diffraction Phenomenon of Electromagnetic Wavenull§5.6 电磁波的干涉和衍射两个问题由Maxwell’s equations 的线性条件知道，电磁场服从叠加原理，这就是说，当空间有两列以上电磁波同时存在时，空间各点的总场强等于这些电磁波的场强矢量和. ——电磁波的干涉(Interference) ； 电磁波在传播过程中，会绕过障碍物而继续传播. ——电磁波的衍射(diffraction)null1、电磁波的干涉现象设两列电磁波具有相同的振幅和相同的频率，分另由S1、S2、两点同时发出，则在 t 时刻它们在 p点的电场强度分别为：nullp点的总场强为：其中为光程差null讨论：即合成振幅与光程差有关，当时，振幅最大，为当 时，，振幅最小为0. （干涉）当光程差为半光波长的偶数倍时，合成波振幅最大；当光程差为半波长的奇数倍时，合成波振幅为0。这可以解释物理光学中的干涉现象，也说明电磁波包含了一定频段范围的光波。null2、电磁波的干涉条件电场强度和磁场强度都必须分别具有相同的振动方向； 频率必须相同； 两列波的光程差不能太大； 两列波的振幅不能悬殊太大。 上述四个干涉条件，在物理光学中叫做相干条件（Condition of coherence)。null3、电磁波的衍射当电磁波在传播过程中遇到障碍物或透过屏幕上的小孔时，会导致偏离原来入射方向的出射电磁波，称为衍射现象。a) 亥姆霍兹方程(Helmholtz’s equation)在无源空间中nullb) 格林函数（Green’s function)和静电场情形一样，设 是亥姆霍兹方程相应的格林函数：式中由于null因为null由此得到：注意：亥姆霍兹方程是无源空间的波动方程，而格林函数所满足的方程是单位源集中在 点波动方程。因此两者相同的是 ：它们都是波动方程；不同的是：一是无源方程，一是点源方程。nullc) 格林公式(Green’s formula)把G和 代入到格林公式中，并以带撇号表示积分变量，则有其中 是从区域V内指向外部的面元，设 是指向区域V内的法线，则null这就是格林公式。d) 基尔霍夫公式(Kirchhoff’s formuls)把格林公式中的函数 ，看作是我们要寻找的、描述电磁场的、满足亥姆霍兹方程的标量函数 .把G看成是已知的，是满足 的格林函数。null因为代入格林公式中，得null展开后，等式左边为这就是基尔霍夫公式。null讨论：公式不是边值问题的解，它仅是把 用边值表示出的积分表达式。nulle) 矩形孔的夫琅和费衍射夫琅和费衍射：一平行光线入射到矩形孔上，发生衍射，根据实际情况，设矩形孔的边长为2a和2b，除矩形孔外，其它部分不透光。null基尔霍夫公式中，只对矩形孔积分：假设在孔面上，入射波是平面波，波矢量为 ，即其中： 为原点处 的值。null由于 和 的方向不同，但由于衍射不改变波的频率和波长，可见k1和k2的大小却应该相等，即 k1= k2= k，因此有null展开得到：这里 是由孔面指向观察点的， 是由积分面指向观察点的。null把z轴与孔垂直，这时且有略去 高次项，得null由于得到：null光强 I 和振幅的模平方成正比，即由此如果用α、β、γ 表示 与x、y、z 轴的夹角，即null当光垂直入射到矩形孔面时，有故null §5.7 电磁场的动量电磁场和带电体之间有相互作用力。场对带电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量发生变化，同时电磁场本身的状态亦发生相应的改变。因此，电磁场也和其他物体一样具有动量。辐射压力是电磁场具有动量的实验证据。 本节从电磁场与带电物质的相互作用规律出发导出电磁场动量密度表达式。null导体入射波-电磁波动量的例子平面电磁波入射一导体表面，自由电子受到洛伦茨力后，z方向动量增加，通过与晶格的碰撞，把动量传给导体.null1、电磁场的动量密度和动量流密度场对带电体的作用为Lorentz力，在Lorentz force作用下带电体的机械动量变化为null而把此式与 的表达式相加，则有null可得式中 是单位张量，即 （直角坐标）null同理得到：而且则有null或其中可机械动量的变化率写成null讨论：若积分区域V 为全空间，则面积分项为零，而根据动量守恒定律，带电体的机械动量的增加等于电磁场的动量的减少.——电磁动量——电磁场动量密度null对于平面电磁波，有平均动量密度null若积分区域V 为有限空间动量流电磁动量机械动量因为等式左边项表示机械动量，右边第二项代表了电磁动量，因此右边第一项也必然具有动量的意义，而它是面积分，可解释为穿过区域V 的边界面S 流入体内的动量流。故称 为电磁场动量流密度，亦称之为Maxwell应力张量或张力张量.null麦克斯韦应力张量分量的具体解释为：设ABC为一面元 ，这面元的三个分量为三角形OBC、OCA和OAB的面积，OABC是一个体积元△Vnull通过界面OBC单位面积流入体内的动量三个分量为： T11、 T12 、 T13 ； 通过界面OCA单位面积流入体内的动量三个分量为： T21、 T22 、 T23 ； 通过界面OAB单位面积流入体内的动量三个分量为： T31、 T32 、 T33 ；null当 时，通过这三个面流入体内的动量等于从面元ABC流出的动量。因此，通过ABC面流 出的动量各分量为：写成矢量式：这就是通过面元 流出的动量。null3、辐射压力电磁场作为物质在流动（辐射）时，一旦遇到其他物体，就会发生相互作用力，由电磁场引起的对其他物体的压力称为辐射压力。如果是可见光引起的辐射压力，通常称之为光的压力。由电磁场动量密度式和动量守恒定律可以算出辐射压力。假有一平面电磁波的以θ角入射于理想导体表面上而被全部反射，试求此导体表面所受到的辐射压力。null单位时间内射到单位横截面的电磁动量为：单位时间内射到单位表面积上的电磁动量为：null单位时间内被物体单位表面反射的电磁动量为——R为反射系数单位时间内动量在法向的变化为：即介质表面受到电磁波作用产生的压强.null若电磁波在各方向都以同样强度辐射（例如空腔内的黑体辐射），总平均辐射能量密度为 ，那么投影到方向在θ到θ+dθ之间的能量密度为：于是介质表面受到各个方向射来的电磁波作用产生的总压力为null在理想导体表面，电磁波发生全反射，这时反射系数R=1，有地球表面由于太阳光辐射而受到的总辐射压力约为7×108N，而受到太阳的万有引力为3 ×1022N，因此一般可以忽略辐射压力。