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三次函数图象性质的研究和应用

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三次函数图象性质的研究和应用 2005年第 3期 河北理科教学研究 问题讨论 三次函数图象性质的研究和应用 浙江省绍兴一中 屠丰庆 312000 随着新教材的使用和推广,使高中学生 用导数来解决高次和无理函数的性质成为现 实,三次函数的有关问题作为典型在近几年 的高考和竞赛试题中不断出现,因此有必要 对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解 决了三次函数图象的对称中心问题,本文试 用导数对 Y=a.g +6 +c +d(a≠0)进行 较全面的研究 ,并加以适当的应用. 1 Y= +bx + +d(a>0)的图象和性 质 1...
三次函数图象性质的研究和应用
2005年第 3期 河北理科教学研究 问题讨论 三次函数图象性质的研究和应用 浙江省绍兴一中 屠丰庆 312000 随着新教材的使用和推广,使高中学生 用导数来解决高次和无理函数的性质成为现 实,三次函数的有关问题作为典型在近几年 的高考和竞赛中不断出现,因此有必要 对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解 决了三次函数图象的对称中心问题,本文试 用导数对 Y=a.g +6 +c +d(a≠0)进行 较全面的研究 ,并加以适当的应用. 1 Y= +bx + +d(a>0)的图象和性 质 1.1 三次函数的单调性 分析:因为 ( )=3ax, +2bx+c,所 以 A=4b —12ac=4(b —30c),于是 : I.当 b —3口c>0时,方程 ( )=0 有两个不同的实根 1,-g2(不访设 1< 2), 又因为 a>0,所以 Y=a.g +6 +c.g+d(a >0)在(一o。, 1)或( 2,+o。)上单调增加; 在[ 1,"g2]上单调减少; Ⅱ.当 b —3口c=0时,方程 ( )=0 有两个相同的实根 ,且导函数恒大于等于 0,所以 Y=a.g3+6 +c +d(a>0)在 R 上单调增加; Ⅲ.当 b —3口c<0时,方程 ( )=0 没有实根,且导函数恒大于 0,所以 Y:ax, +6 +cx,+d(a>0)在 R上单调增加. 1.2 三次 函数 的极值 由上可知:I.当 b —30c>0时,三次函 数有极大值且 y极大值=f( 1),有极小值且 yt~,J、值=f( 2);Ⅱ.当 b 一3 ≤0时,三次 函数无极值. 1.3 三次方程的根 如图所示 : I.若 b —3nc> 0,当 y极大值=f( 1) >0且 y极小值=f(X,2) <0时,方程 ax,\+3 +6 +cx,+d=0有 三个实根 3, 4, 5, 不 妨设 3< 4< 5 J I l x |一 l\ J r 而 x f一 /XI· 一: | 图 1 I l x÷ \/一 | x2 x ① ② 图 2 J I l /~ . J I J .| x、 一 X2 ① ② 图 3 (图 1);当 y极大值= f( 1)=0时,方程有 两个实根 1, 3且 1 < 3(图 2① );当 y极小值=f(X,2)=0 时,方程有两个 实根 j, ) x1, : ~ t l 图 4 · 1 1 · 维普资讯 http://www.cqvip.com 2005年第 3期 河北理科教学研究 问题讨论 2, 3且 2> 3(图 2②).当 ),极大值= /( 1)<0或 ),极小值=f(x2)>0时,方程只 有一个实根 3(图3); Ⅱ.若 b 一3ac≤0,三次方程 口 +6 +c +d=0只有一个实根 3(图 4). 1.4 三次不等式的解 由上 图可 知:I.若 b —3∞ >0,当 ),极大值=f( 1)>0且 ),极小值=f("g2)<0时, 三次不等式 口 +6 +c +d>0(口>0)的 解集为( 3, 4)U( 5,+∞),不等式 口 + b +c +d<0(口>O)的解集为:(一∞, 3)U( 4, 5);当 ),极大值=f( 1)=0时,上 述两个不等式的解集分别为( 3,+∞)与 (一∞, 1)U( 1, 3);当 ),极小值=f("g2)=0 时,上述两 个不 等式 的解 集分 别为 ( 3, +∞)与(一∞, 3);当极大值=f( 1)<0或 ),极小值=f( 2)>0时,不等式的解集分别为 ( 3, 2)U( 2,+∞)与(一∞, 3). Ⅱ.若 b 一3∞≤0,三次不等式 口 + 6 +c +d>0(口>0)的解集 为 ( 3, +∞),不等式 口 +6 +c +d<0(口>O) 的解集为(一∞, ). 1.5 三次函数 的对称 中心 因为 ’,”=6ax+2b(口>0),所以三次函 数图象有拐点 (一一b , — 2b3-9abc — +27a2d) ,据此可将 Y:3 一 8’ 27口2 ’ 。 。 Y一 口 +6 +c +d变形为:Y一 = + 3 n (c一 27 口 口 )( + ),而三次函数 Y=~t~63+(c一 ) 是奇函数,图象关于原点(0,0)中心对 称,所以通过平移可得,拐点 (一一b , — 2b — 3 - — 9 — ab — c+ 2 — 7a2 d)即为原三次函 3 、 口’ 27口2 H / 、—— 叫 数的对称中心. 1.6 三次函数的奇偶性 由 1.5可知,当 b=0且 d:0时,图象 的对称中心为(0,0),此时 Y=口 +c 为奇 函数. 为方便记忆和使用,整理给出 Y=口 + +c +d(口>0)类似于二次函数的图象 和性质表: b2—3∞ >0 b 一3∞ ≤O J 1)' J l y : /一 J 1)' J 1)' I)' Y - ,7 三次函数 局 1 \l — 1 、 J一 X3/ : 一 Y=/( )图像 /\ X2 f\\ 2 | l }x3 x、 方程 f( )=0 三实根 两实根 两实根 一 实根 一实根 的 根 不等式f( )>0 ( 3, 4)U ( 3, 2)U 解集 ( 5,+∞) ( 3,+∞) ( 3,+∞) ( 3,+∞) ( 2,+∞) 不等式 ,( )<0 (一∞, 3)U (一∞, 1)U 解集 ( 4, 5) ( l, 3) (一∞, 3) (一∞, 3) (一∞, 3) · l2 · 维普资讯 http://www.cqvip.com 2005年第 3期 河北理科教学研究 问题讨论 b —3∞ >0 b 一3∞ ≤0 函数极值 有极大值 ,( t),极小值 ,(X2) 无极值 / b 2b3—9abc+29Ⅱ d、 对称中心 、一3Ⅱ’ 27口2 奇偶性 当 b=0且 d:0时,_厂( )为奇函数 注:当 。<0时,同理可得相应的图象和性质,具体解题时也可转化为 。>0得到解决 2 图象和性质的应用 例 1.(04年重庆高考卷)设函数 厂( ) = ( 一1)( 一口), (口>1). (I)求导数 厂(z),并证明 厂( )有两个 不同的极值点 J, 2; (Ⅱ)若不等式 . 厂( 1)+f( 2)≤0成立, 求 口的取值范围. 解:(I)因为 厂( ):3 2—2(1+口) +0,A =4(口 一口+1)≥4a>0,故方程 /( ):0有两个不同实根 。, 2,由上性质 可知,f( )有两个不同的极值点 l, 2; (1I)厂( )= 0一(0+1) +口z,又 f( 1)+f(z2)≤0,即极大值和极小值之和 小于等于 0,所以对称点(拐点)在 轴上或 下方,故 : 二(鱼±!)( 鱼 = 鱼± 27 以 =厂(一号),注意到厂( ) = (戈一 1)( 一 2)(戈一戈3)且 一口= 1+ 2+ 3,则2a 一9ab+27c=27·厂(一詈)= 27(一号一 ·)(一号一 :)(一号一 ) = (一口一3 1)(一口一3 2)(一口一3 3)= (X3+X2—2x1)( 3+ 1—2x2)( 1+ 2— 2x3) (1) 根据条件① 2= 1+ ;条件②z3> 1(z。+ :):吉(2 。+ :)=吉(2 。+ ) : l+ 1 , ~-IiR z3: l+ (£> 1) ,代人 (1)式得 :2a 一9ab+27c=一 (t+1)(t一 2)(2£一1),所以 :一(£+1) ≤0,即2a2_5。+2 (f一2)(2f一1),(f> 1) ,结合 g(f)=(f+ ≥0,解得 口≥2或 口≤ 1(舍去),所以 口的 取值范围为口≥2. 例 2.(02年全国数学联赛)实数 o,b,c 和正数 ,使得 厂( )= +口z +b +c有 三个实根为 1, 2, 3,且满足① z2一 1= ;② 3> ( 。+ 2),求 } 的 最大值. 解:因为由性质 厂( )= 。+口 +b + c的对称中心为(一号, ),所 1)(£一2)(2£一1),(£>吉)的图象(图5)可 得:g(£)的最(极)小值为 一 ,因此所求 的最大值为 . 参考文献 [1]张拥 军.三次 函数 图象的对称 中心.数学 通讯. 2004, 10. · 1 · 维普资讯 http://www.cqvip.com
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