三次函数图象性质的研究和应用
2005年第 3期 河北理科教学研究 问题讨论
三次函数图象性质的研究和应用
浙江省绍兴一中 屠丰庆 312000
随着新教材的使用和推广,使高中学生
用导数来解决高次和无理函数的性质成为现
实,三次函数的有关问题作为典型在近几年
的高考和竞赛试题中不断出现,因此有必要
对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解
决了三次函数图象的对称中心问题,本文试
用导数对 Y=a.g +6 +c +d(a≠0)进行
较全面的研究 ,并加以适当的应用.
1 Y= +bx + +d(a>0)的图象和性
质
1...
2005年第 3期 河北理科教学研究 问题讨论
三次函数图象性质的研究和应用
浙江省绍兴一中 屠丰庆 312000
随着新教材的使用和推广,使高中学生
用导数来解决高次和无理函数的性质成为现
实,三次函数的有关问题作为典型在近几年
的高考和竞赛
中不断出现,因此有必要
对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解
决了三次函数图象的对称中心问题,本文试
用导数对 Y=a.g +6 +c +d(a≠0)进行
较全面的研究 ,并加以适当的应用.
1 Y= +bx + +d(a>0)的图象和性
质
1.1 三次函数的单调性
分析:因为 ( )=3ax, +2bx+c,所
以 A=4b —12ac=4(b —30c),于是 :
I.当 b —3口c>0时,方程 ( )=0
有两个不同的实根 1,-g2(不访设 1< 2),
又因为 a>0,所以 Y=a.g +6 +c.g+d(a
>0)在(一o。, 1)或( 2,+o。)上单调增加;
在[ 1,"g2]上单调减少;
Ⅱ.当 b —3口c=0时,方程 ( )=0
有两个相同的实根 ,且导函数恒大于等于
0,所以 Y=a.g3+6 +c +d(a>0)在 R
上单调增加;
Ⅲ.当 b —3口c<0时,方程 ( )=0
没有实根,且导函数恒大于 0,所以 Y:ax,
+6 +cx,+d(a>0)在 R上单调增加.
1.2 三次 函数 的极值
由上可知:I.当 b —30c>0时,三次函
数有极大值且 y极大值=f( 1),有极小值且
yt~,J、值=f( 2);Ⅱ.当 b 一3 ≤0时,三次
函数无极值.
1.3 三次方程的根
如图所示 :
I.若 b —3nc>
0,当 y极大值=f( 1)
>0且 y极小值=f(X,2)
<0时,方程 ax,\+3
+6 +cx,+d=0有
三个实根 3, 4, 5,
不 妨设 3< 4< 5
J I
l x |一
l\
J r
而 x f一
/XI· 一:
|
图 1
I l
x÷ \/一
| x2 x
① ②
图 2
J I
l /~
.
J I
J
.| x、 一 X2
① ②
图 3
(图 1);当 y极大值=
f( 1)=0时,方程有
两个实根 1, 3且 1
< 3(图 2① );当
y极小值=f(X,2)=0
时,方程有两个 实根
j, ) x1,
: ~
t l
图 4
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2, 3且 2> 3(图 2②).当 ),极大值=
/( 1)<0或 ),极小值=f(x2)>0时,方程只
有一个实根 3(图3);
Ⅱ.若 b 一3ac≤0,三次方程 口 +6
+c +d=0只有一个实根 3(图 4).
1.4 三次不等式的解
由上 图可 知:I.若 b —3∞ >0,当
),极大值=f( 1)>0且 ),极小值=f("g2)<0时,
三次不等式 口 +6 +c +d>0(口>0)的
解集为( 3, 4)U( 5,+∞),不等式 口 +
b +c +d<0(口>O)的解集为:(一∞,
3)U( 4, 5);当 ),极大值=f( 1)=0时,上
述两个不等式的解集分别为( 3,+∞)与
(一∞, 1)U( 1, 3);当 ),极小值=f("g2)=0
时,上述两 个不 等式 的解 集分 别为 ( 3,
+∞)与(一∞, 3);当极大值=f( 1)<0或
),极小值=f( 2)>0时,不等式的解集分别为
( 3, 2)U( 2,+∞)与(一∞, 3).
Ⅱ.若 b 一3∞≤0,三次不等式 口 +
6 +c +d>0(口>0)的解集 为 ( 3,
+∞),不等式 口 +6 +c +d<0(口>O)
的解集为(一∞, ).
1.5 三次函数 的对称 中心
因为 ’,”=6ax+2b(口>0),所以三次函
数图象有拐点
(一一b
,
—
2b3-9abc
—
+27a2d)
,据此可将 Y:3 一 8’ 27口2 ’ 。 。 Y一
口 +6 +c +d变形为:Y一
= + 3 n (c一 27
口 口
)( + ),而三次函数 Y=~t~63+(c一
) 是奇函数,图象关于原点(0,0)中心对
称,所以通过平移可得,拐点
(一一b
, —
2b
—
3
-
—
9
—
ab
—
c+ 2
—
7a2 d)即为原三次函
3 、 口’ 27口2 H / 、—— 叫
数的对称中心.
1.6 三次函数的奇偶性
由 1.5可知,当 b=0且 d:0时,图象
的对称中心为(0,0),此时 Y=口 +c 为奇
函数.
为方便记忆和使用,整理给出 Y=口 +
+c +d(口>0)类似于二次函数的图象
和性质表:
b2—3∞ >0 b 一3∞ ≤O
J 1)' J l y
:
/一 J 1)' J 1)' I)' Y -
,7 三次函数 局 1 \l
—
1
、
J一 X3/ : 一
Y=/( )图像 /\ X2 f\\ 2 | l }x3 x、
方程 f( )=0 三实根 两实根 两实根
一 实根 一实根 的
根
不等式f( )>0 ( 3, 4)U ( 3, 2)U
解集 ( 5,+∞) ( 3,+∞) ( 3,+∞) ( 3,+∞)
( 2,+∞)
不等式 ,( )<0 (一∞, 3)U (一∞, 1)U
解集 ( 4, 5) ( l, 3) (一∞, 3) (一∞, 3) (一∞, 3)
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b —3∞ >0 b 一3∞ ≤0
函数极值 有极大值 ,( t),极小值 ,(X2) 无极值
/ b 2b3—9abc+29Ⅱ d、 对称中心
、一3Ⅱ’ 27口2
奇偶性 当 b=0且 d:0时,_厂( )为奇函数
注:当 。<0时,同理可得相应的图象和性质,具体解题时也可转化为 。>0得到解决
2 图象和性质的应用
例 1.(04年重庆高考卷)设函数 厂( )
= ( 一1)( 一口), (口>1).
(I)求导数 厂(z),并证明 厂( )有两个
不同的极值点 J, 2;
(Ⅱ)若不等式
.
厂( 1)+f( 2)≤0成立,
求 口的取值范围.
解:(I)因为 厂( ):3 2—2(1+口)
+0,A =4(口 一口+1)≥4a>0,故方程
/( ):0有两个不同实根 。, 2,由上性质
可知,f( )有两个不同的极值点 l, 2;
(1I)厂( )= 0一(0+1) +口z,又
f( 1)+f(z2)≤0,即极大值和极小值之和
小于等于 0,所以对称点(拐点)在 轴上或
下方,故 :
二(鱼±!)( 鱼 = 鱼±
27
以 =厂(一号),注意到厂( )
= (戈一 1)( 一 2)(戈一戈3)且 一口= 1+
2+ 3,则2a 一9ab+27c=27·厂(一詈)=
27(一号一 ·)(一号一 :)(一号一 )
= (一口一3 1)(一口一3 2)(一口一3 3)=
(X3+X2—2x1)( 3+ 1—2x2)( 1+ 2—
2x3) (1)
根据条件① 2= 1+ ;条件②z3>
1(z。+ :):吉(2 。+ :)=吉(2 。+ )
: l+
1
,
~-IiR z3: l+ (£> 1)
,代人
(1)式得 :2a 一9ab+27c=一 (t+1)(t一
2)(2£一1),所以 :一(£+1)
≤0,即2a2_5。+2 (f一2)(2f一1),(f> 1)
,结合 g(f)=(f+
≥0,解得 口≥2或 口≤ 1(舍去),所以 口的
取值范围为口≥2.
例 2.(02年全国数学联赛)实数 o,b,c
和正数 ,使得 厂( )= +口z +b +c有
三个实根为 1, 2, 3,且满足① z2一 1=
;② 3> ( 。+ 2),求 } 的
最大值.
解:因为由性质 厂( )= 。+口 +b +
c的对称中心为(一号, ),所
1)(£一2)(2£一1),(£>吉)的图象(图5)可
得:g(£)的最(极)小值为 一 ,因此所求
的最大值为 .
参考文献
[1]张拥 军.三次 函数 图象的对称 中心.数学 通讯.
2004, 10.
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