π、e和其他一些无理数

r阴影部分 ) 的周 长等于 _ _ _ _ _ _一 __ 一_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 答 案 1 . 1 5 0 。 ; 2 . 4 ; 3 . 5 0训万 C m ; 4 . 合 (7 + 3侧丁) ; 5 . 3 : 4 ; 6 . 了丁 : 1 ; 7 . 12 ; 8 . 1 二2 ; 9 . 告侧丁 ; 10 . 一 告一训丁 , 寺 ; 1 2 。 专侧万 ; 1 3 . 5 : 4 : 3 ; 14 . 1 12 “ ; 15 . 5 : 7 ; 1 6 . 3 : 2侧万 17 . 二了云乏干石豆; 1 8 . 4 R 2 ; 1 9 . 2 0 . 2侧丁 。 1 1 。 m 1 2 4 。 , 告 5 0 兀 e m Z , /厂 ,—一一 汀 、 · 和其它一些无理数/ 、、、·!” \ _ _ _ _ 一 A 、 E 、 P a r k “ 苏大融编译 译者按 : 二 、 e 等不仅是 无理数 , 而且是超越数 , 但要证明 这一点却比较繁难。 中学生 对超越数这一概念比较陌生 , 囚此在 中学里硬要 用长的篇幅给中学生介绍这些数的超越性 , 很 难引起同学兴趣 。 《美国数学月刊》 (T h e A m e r i e a n M a t li e 二 a t i e a l M o n t h l夕) 19 8 6年 1 1 月号上刊登的一篇文章针付这一情 况给出 了 二 、 e 等数的 无理性的证明 。 由于中学 生对无理数的概念比较熟悉 , 文 中所用到的数学工 具也只是 中学教材里的微积 分的 内容 , 证 明过程也比较 简明 , 因此很适合 中学生 阅读 。 特把它译出 , 供中学教 师参考 。 由于 原文 中的一些说理过程过于简单 , 因此 , 在忠于原文的基础 上 , 译者添加 了一些推 理 过程 , 以利读者阅读 。 尼文 (N i v c n ) 在 《二 的无理性的简单 .’. ar c c os (a/ c) 是无理数 。 证明》一文中给出了 二 是无理数的一个简短 例 3 e 一定是无理数 。 证明 , 现在 , 我们把达一证明推广为证明如 证 : 设 e 为有理数 , 则 ⋯ e > 0 , 下两点 : ( a )若 。< ! r !毛 二 , 且 c o s r . s i n , 均 为育理数 , 则 犷一定是无理数 。 ( b) 若有理数 r > 。 , , 今 1 , 则 1n 犷是 无理数 。 例 1 由( a )可立得 : 二是无理数 。 例 2 若有理数 a 、 b 、 c 满足 : a , + b , 二 e ’ , b e 等 。 , 则 由( a )可知 a r e e o s ( a / 。 )是无理数 。 事实上 , 由一于 b 、 ! a 】< le c 均不为 O 】a / c 】< 1 , “ r c “ 0 5 ( a 八 )有意义 。 如果 a r e e o s ( a / c ) = r (簇 二 ) , 则 c o s r = (a / C ) 是有理数 , 又 S i n r = !乡{/ }“ }也是有理数 , 由 ( a ) , r 是无理数 。 e 今 1 , 则 由(b ) 知 I n e 为无理数 。 但 I n e = 1 是有理数 , 这与上矛盾 , . ,. e 为无理数 。 当然 , 由著名的林德曼 ( L i 二d o l a l n ) 定理知道 , ( a ) 、 ( 。 ) 中的数不仅是无理数 , 而且是超越数 。 但本文的新颖之处在于我们 的证明是初等的 , 仅仅用到一点分部积分法 和报服 li m M k /们 , 介绍给学过初等微积分 的学生是可行的 。 为了证明 ( a ) 、 ( b ) , 我 们证明以下定理 。 定理 : 设 e > o 、 f (x )在 〔0 , c 〕上连 续 , 在开区间 (0 , C ) 上恒正 。 假如有f , (x ) , f Z (x ) , ⋯ , 使 f , ‘ (x ) = f ( x ) , f k ‘ ( x ) = = f k 一 , ( x ) , k ) 2 , 且 f、 (o ) 、 f、 ( c ) 之值均 为整数 (k ) l) , 则 c 一定是无理数 。 证 : 令尸为所有具有下列性质的多项式 g (x) 所成的集合 , 其中g (x) 满足 : 一(A ) g (x) 为实系数多项式 ,(B ) g (o) , g (c ) , g ‘(o) , g ‘ (C ) !{厂“, g k‘X , 歹X > 。g “ ’(o ) , g “ ’(c )⋯均为整数 。则容易验证 ( 1 ) 若 g (x ) 任P , k (: )〔P , 则 g (x) k (劝 任 P 这是显然的 。 但由 (2 ) f(x) g 、(x) d x 为整数 、 / J; ‘(X , g k (X , d X 》 ‘ 左二 0 , l , 2 , ( 2 ) 若 g (x ) 〔P , 值为一整数 。 贝。 !; 了〔工, 、〔X , d X 之 另一方面 : 记 极大值为M , 大值为去 , 则 x( 。 一 nx ) 在 〔o , “〕 _仁 的 记 f(x) 在 〔0 , “〕L的极 证 : 设 g (x ) 的次数为 d , 则由分部积 分法知 J: , (X )。k (/ , d·燕 j: “· (瑟 ” / “, , J / 二 = ‘ L. M k / k! 竺丝一 , {: , (、 、·,叔 二I:、 ,“‘1 (x) - 。、与J⋯“x , g 、‘· , d / ) ‘ = f l (x )g ( ‘)} 。 一 { 。 f l (x )g ‘ ( x )d x - : . c 不是有理数 , 即 (几二 0 , 1 , 2 , 。 是无理数 。 = ‘1 (x) ; 冈 {: 一 !; g / (x) 杭冈 二 ⋯ ⋯ = 〔f ; (x )片(x ) 一 f Z (x )g ‘ (x ) + f , (义)g “ (义) - ⋯ 干 (一 l) 吁‘ + , (x) g ‘ : ’ (劝〕}石二 整 数 。 应用这一定理我们可以证明 (: 这两个结论了 。 ⋯ )矛盾 证完 。 ) 、 ( b ) 现在设 。 为有理数 , 写成“ 二 阴/ ” , 州 、 。 为正整数 , 则有 ( 3 ) 劝 一 2 : x 〔 P 这是因为 h (x) = 阴 一 2 : x 符 合 P 中所要 求的条件 。 (4 ) 令 g * (x ) = x 盖 (m 一 目x ) ‘ /庵! k = 0 , 1 , 2 , 则 g 、 (x )〔P k 二 0 , l , 2 , 证 : 对 庵进行归纳 k 二 0 , g 。 (x ) 二 1 任 P 对于 k 李 l , 有g 、 ’ (x ) 二 g k 一 , (x〕(脚 一 2 : x ) 由归纳假设 g k 一 , (x) 〔P , 由 ( 3 ) 胡 一 2 o x 任 p 由 (l ) 知 尸 } (对 任P 即 g ‘、 (o) , g ‘ * (c ) . 9 “ 、 (o) , g “ ‘。 (c )一 均为整数 , 又因为也有 g 、 (0) 二 g k (c) 二 O .’. g k (劝 〔 尸 ⋯ 对 吞二 O, I , 2, 均有 g : (x ) 〔 P 。 由于 g 、(x ) > o , x 任 (o , “ ) , 又 厂(x )> o , x 任 (o , c ) 证 ( a ) : ‘: C% r 、 : i n r 为有理 数 , : . C O g } r } 、 S i n } r ! 也是有理数 , 存在正整 数 ” 使 ,‘。 i : , {r ‘、 : e o s {r !均 为整数 。 在上面定理中 , 令 “ 一 }rl . f(x) 一 , Zo i n x , 则知 f(二) 在 〔o , c 〕 _工几连续 , 厂(x ) 在 (o . c ) 恒正 (丫 ‘ = {: )廷 二 ) 又设 厂, (‘)一 , , C o s x , 笋2 (x ) = 一 ”5 1: x , 厂3 (x ) 二 , e o s x , ⋯ , 贝d 厂1 (x )、 f Z (x )、 厂。 (x) , ⋯⋯ 满足定理 中的条件 , “ 二 曰 为无理数 , .’. 犷为无 理 数 。 证 (b ) : 不妨先设有理数 r > 1 , 令 , 二 。/ , (。 , ”正整数 ) , 则 In r> 。 。 令 “ 二 In r , f(x ) = : e ‘ , 厂、(x ) 二 、。“ , k ) 1 , 则容易验证 厂(川 、 厂、(劝 k李 1 , 满 足 定 理 中的条件(如f、(o) 、 f* (c ) 均为整数等) , c 二 1n , 为无理数 。 若有理数 犷有 o< : < 1 , . 则 1 ;/r ) 1 , 由上 知In (1 / r) 为无理数 , In : = 一 In (1 ,/r )为无理数 。