巴普斯定理及其应用

专题探讨 霰 河北南宫中学(055750) 马丽云 物体质量的分布中心，称为质心．竞赛中有一类 求物体质心的问题，如求均匀半圆盘、均匀半圆型金 属线的质心等，学生不知如何下手．其实，对于质量均 匀分布的物体，求物体质心时有一个非常有用的定 理——巴普斯定理． 巴普斯定理表述为：一个平面物体，质量分布均 匀，令其上各质点沿垂直于平面的方 向运动，在空间 扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积乘以物体 质心在运动中所经过的路程． 求证：当平面物体上各质点以相同的速度沿着一 条与物平面垂直的直线运动时，在空间扫过的体积是 一 柱体，巴普斯定理成立． 平面物体上每一质点运动保持与物平面垂直，而 各质点速度不等，质心沿曲线运动，平面物体在空间 将扫出一个不体积．下面分步给出证明： (1)在以质心为原点的参照系下，质心的位置坐 标为零．对于平面物体情况，在物平面内建立坐标 ．zOy(z轴垂直此面)，坐标原点 0与质心 C重合，因 质心 坐标，得 一0； (2)我们知道，刚体的一个无限小运动可以由刚 体上任一参考点的无限小平动和绕此参考点的无限 小转动叠加而成．我们把平面物体的运动分成无限多 个无限小运动．每个无限小运动分解成随质心的无限 小平动和绕质心的无限小转动． 为保证巴普斯定理中对平面物体运动的要求，应 满足：随质心的无限小平动必须垂直于物平面，绕质 心的无限小转动的瞬时转动轴必须在物平面上． (3)符合巴普斯定理要求的平面物体运动中第i 个无限小运动． 设随质心的第 i个无限小平动位移为△z ，则平 面物体扫过的体积元为 △ —S△ ，其中 s为平面物 体面积． 设绕过质心在物平面上的转轴为 Y轴，第 i个无 限小转动产生的角位移为△a． 由Xc一0得 △m 一 S 一0． 其中 为平面物体质量面密度，对于质量均匀分 布的平面物体， 为常量．△s 为平面物体上面元的面 积．设各面元在无限小转动下转过 的路径为 △ 则 △ ，=xi,~la， 因平面物体上各质点 △a相同，所以 △ S 一 ff．~／iAS，一 0． 此式表示，由无限小转动所引起的各面元在空间 扫过的体积正好抵消(这只有当坐标原点选在质心上 才有此结论)．对于整个运动过程，此结论依然成立． 因此，在满足巴普斯定理的运动要求下，面物体 在空间扫过的体积为V=ZV~一5 其中 为平面物体运动 中质心经历的路程， 南此巴普斯定理得证． ’ 【例 1】 求两直角边长分别为 n、b的直角三角 形，质量分布均匀，求质心的位置． 解析：由几何知识可知：三角形的质心正好是三 条中线交点——重心． 这里利用 巴普斯定理作 一 检验 ：令直角三角形绕直角 边 n旋 转一周，形成一 个 圆 锥 ，如图 1所示．旋转运动 中 三角形上任一质点 的运动方 图 1 向时刻与三角形平面垂直．设质心位置离直角边 n距 离为-z．由图1可知，圆锥体积为÷ 。n，质心运动一 U 1 周，路程为一个圆周长2 ，三角形面积为÷ab．依巴 厶 1 1 普斯定理可写出方程：÷7c6 n一2rex·÷ab， J 厶 1 解得 一÷b． 再设质 心离 直角边 b的距离 为 y，同理可得 1 一了 。· 点(÷b，÷n)正好就是直角三角形的重心． 【例2】 求均匀半圆盘的质心位置．设圆半径为 R． 解析 ：根据对称性，质心必在通过圆心的对称轴 线上．设此轴线上离圆心 0距离 -z的点为质心的位 置，如图2所示．以半圆盘直边为轴，旋转一周，得一 球体．球体体积为÷ 。，质心在旋转中经过的路程 J 1 长为2盯，半圆盘面积为÷ ． 依巴普斯定理写出方程 ： 很实盈 论表述为：一条质量均 图：2 此推论表述为：一条质量均 图 匀分布的平面曲线 ，其上各点沿垂直于曲线平面方向 运动，在空间扫过一曲面，则此曲面面积等于质心在 运动中所经路程与曲线长度的乘积． 只要把此平面曲线看成一非常窄的面即可由巴 普斯定理的结论验证出这个推论的正确性． 【例 3】 求质量均匀分布的半圆形金属线的质 心位置，设圆半径为 R． 解析：根据对称性，质心必在通过圆心的对称轴 线上．设此轴线上离圆心距离 -z的点为质心位置．再 令其以金属两端连线(即直径)为轴，旋转 360。，得一 球面．球面面积为47c ，质心在旋转中经过的路程长 为 27c-z，半圆形金属线长度为 7cR．依巴普斯定理推论 写出方程 ：47cR。=2盯 ·7cR，由此可得 一 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com