四次方程的谢国芳求根公式-最准确可靠和简明快捷的求根公式

一般实系数四次方程的谢国芳求根公式 【摘要】本文给出了一个绝对准确可靠又最简明快捷的一般实系数四次方程的求 根公式，其中涉及的运算全部为实数运算，可以在普通的科学计算器上进行。 以下把一般四次方程的形式设为 4 3 24 6 4 0ax bx cx dx e+ + + + = 在系数中引入数字因子 4, 6, 4是为了使后面各参数的达式尽可能地简洁，注意五个系 数的数字因子 1, 4, 6, 4, 1恰好是二项式系数（ 4 4 3 2(1 ) 4 6 4 1x x x x x+ = + + + + ）. 一般实系数四次方程的谢国芳求根公式 对于实系数四次方程 4 3 24 6 4 0ax bx cx dx e+ + + + = ( 0)a > , 定义参数 2H b ac= − , 2 33 2G a d abc b= − + , 24 3I ae bd c= − + , 3 2 2 3 4H a HI GJ a − − = , 3 227I JΔ = − , 称 0G ≠ , 2 2 0I J+ ≠ （即 , I J 不同时为 0）的情形为一般情形，又可以分为 下面这两种情况[1]： （一）一般情形的求根公式Ⅰ 当 3 227 0I JΔ = − < 时，方程的四个根为 1,2 3,4 ( sgn( ) / 3 ) / ( sgn( ) / 3 ) / x b G t G t t H a x b G t i G t t H a  = − − ± − + = − + ± + − 其中sgn( ) G 为G的符号（sign）, 1 ( 0)sgn( ) 1 ( 0) G G G > =  − < 3 3( / 27 / 27 ) 2 at J J H= − + −Δ + − − −Δ + . （二）一般情形的求根公式Ⅱ 当 3 227 0I JΔ = − ≥ 时，方程的四个根为 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3 ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / x b s y y y a x b s y y y a x b s y y y a x b s y y y a  = − + + + = − + − − = − − + − = − − − + 其中 1 cos( )3 3 I y a Hθ= + , 2,3 2cos( ) 3 3 3 I y a Hθ π= ± + , 1 3 cos ( ) / 27 J I θ − −= . s 是一个符号因子（sign factor），等于1或 1− ，视实数 1 2 3, , y y y 的符号 而定：当 1 2 3, , y y y 全为正数时 sgn( ) Gs = − ，否则 sgn( ) Gs = . （三）特殊情形的求根公式 (Ⅰ) 当 0G ¹ , 0I J= = 时, 方程有一个三重实根 ( sgn( ) ) /b G H a− + 和 另一个实根 ( 3sgn( ) ) /b G H a− − . (Ⅱ) 当 0G = 时, 方程的四个根为 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 ( 3 12 ) / ( 3 12 ) / ( 3 12 ) / ( 3 12 ) / x b H H a I a x b H H a I a x b H H a I a x b H H a I a  = − + + − = − + − − = − − + − = − − − − 【注 1】各求根公式中的平方根全部取主值（设 z 为复数 z 的模，θ 为其幅角主值（ π θ π− < ≤ ），则其平方根 z 的两个值为 / 2iz e θ , / 2iz e θ− ，称前者为主值），实际上， 除了特殊情形Ⅱ之外，各平方根号内的数全都是实数，当它是正数时平方根主值就是普通的 实平方根，而当它是负数时则等于其绝对值的实平方根乘以 i。 例题 例题 1 解四次方程 4 3 22 12 10 3 0x x x x+ − − − = . 解： 2 1 12 10 51, , 2, , 3 4 2 6 4 2 a b c d e− −= = = = = = = − = − 2 21 9( ) ( 2) 2 4 H b ac= − = − − = 2 21 54 3 3 4( )( ) 3( 2) 14 2 2 I ae bd c= − + = − − − + − = 2 3 35 1 1 33 2 ( ) 3( )( 2) 2( ) 2 2 2 4 G a d abc b= − + = − − − + = 3 2 3 29 9 3 274 4( ) ( ) 14 ( ) 4 4 4 2 J H HI G= − − = − × − = 3 2 3 227 870727 14 27( ) 2 4 I JΔ = − = − = − 因为 0Δ < ，所以用 一般情形的求根公式Ⅰ 求解： 3 3 3 3 ( / 27 / 27 ) 2 1 27 8707 / 3 27 8707 / 3 9( ) 0.012116724918617422507 2 2 6 2 6 4 at J J H= − + −Δ + − − −Δ + = − + + − − + ≈ 3 0, sgn( ) 1 4 G G= > = 1 1 3 27( sgn( ) 3 ) / 2 44 3.0711409009234886169 G x b G t t H a t t t t = − − ± − + = − − + − + ≈ 2 1 3 27 4.2912928931344829057 2 44 x t t t = − − − − + ≈ − 3,4 1 3 27 2 44 0.38992400389450285557 0.27493870736756802215 x t i t t i = − − ± + − ≈ − ± 例题 2 解四次方程 4 3 23 14 18 8 1 0x x x x+ + + + = . 解： 14 7 18 83, , 3, 2, 1 4 2 6 4 a b c d e= = = = = = = = 2 27 13( ) 3 3 2 4 H b ac= − = − × = 2 274 3 3 1 4 2 3 3 2 2 I ae bd c= − + = × − × × + × = 2 3 2 37 7 373 2 3 2 3 3 3 2 ( ) 2 2 4 G a d abc b= − + = × − × × × + × = 3 2 2 3 2 2 3 3 13 13 374 ( ) 3 ( ) 2 ( )4 14 4 4 43 H a HI GJ a × − × × − − − = = = − 3 2 3 21 10127 (2) 27( ) 4 16 I JΔ = − = − − = 因为 0Δ > ，所以用 一般情形的求根公式Ⅱ 求解： 1 1 3 3 ( ) 1cos ( ) cos ( ) 1.0936126008583018847 4 2 / 27/ 27 J I θ − −−= = ≈ 弧度 1 2 13cos( ) 3 cos( ) 5.5385306812982778167 3 3 3 3 4 I y a Hθ θ= + = + ≈ 2 2 2 133 cos( ) 1.3494473524579513276 3 3 3 4 y θ π= + + ≈ 2 2 2 133 cos( ) 2.8620219662437708557 3 3 3 4 y θ π= − + ≈ 因为 1 2 3, , y y y 全为正数， sgn( ) = 1Gs = − − 37( 0, sgn( ) 1) 4 G G= > = 1 1 2 3 1 2 3 7( ) / ( )) / 3 1 2 x b s y y y a y y y= − + + + = − − + + = − 2 1 2 3 7( )) / 3 2.9022722077602892907 2 x y y y= − − − − ≈ − 3 1 2 3 7( )) / 3 0.55889522807882005305 2 x y y y= − + + − ≈ − 4 1 2 3 7( )) / 3 0.20549923082755732295 2 x y y y= − + − + ≈ − 例题 3 解四次方程 4 3 218 357 196 240 0x x x x− + − + = . 解： 18 9 357 119 1961, , , 49, 240 4 2 6 2 4 a b c d e− −= = = − = = = = − = 2 29 119 157( ) 2 2 4 H b ac= − = − − = − 2 29 119 399154 3 240 4( )( 49) 3( ) 2 2 4 I ae bd c= − + = − − − + = 2 3 39 119 93 2 ( 49) 3( )( ) 2( ) 572 2 2 2 G a d abc b= − + = − − − + − = 3 2 2 3 2157 157 39915 14190914 4 ( ) ( ) 572 4 4 4 8 J H a HI G= − − = × − − − × − = − 3 2 3 239915 141909127 ( ) 27( ) 144058534317 4 8 I JΔ = − = − − = 因为 0Δ > ，所以用 一般情形的求根公式Ⅱ 求解： 1 1 3 3 1419091cos ( ) cos ( ) 0.39062182774728867633 ( ) 39915/ 27 8 ( ) / 27 4 J I θ − −−= = ≈ 弧度 1 39915 157cos( ) cos( ) 17.935443512405450943 3 3 12 3 4 I y a Hθ θ= + = − ≈ 2 39915 2 157= cos( + ) 74.327803692239770745 12 3 3 4 y θ π − ≈ − 3 39915 2 157= cos( ) 61.357639820165680199 12 3 3 4 y θ π− − ≈ − 因为 1 2 3, , y y y 不全为正数， sgn( ) =1Gs = ( 572 0, sgn( ) 1)G G= > = 1,2 1 2 3 1 2 3 ( ( )) / 9 ( ) 2 8.7350257983163987974 16.454469174310768933 x b s y y y a y i y y i = − + ± + = + ± + ≈ ± 3,4 1 2 3 1 2 3 ( ( )) / 9 ( ) 2 0.26497420168360120255 0.78824565743655318750 x b s y y y a y i y y i = − + ± − = + ± − ≈ ±