7.3概率_古典概型与几何概型.板块一.古典概型.学生版

板块一.古典概型 版块一：古典概型 1．古典概型： 如果一个试验有以下两个特征： ⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义： 随机事件 的概率定义为 EMBED Equation.DSMT4 ． 版块二：几何概型 几何概型 事件 理解为区域 的某一子区域 ， 的概率只与子区域 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 几何概型中，事件 的概率定义为 ，其中 示区域 的几何度量， 表示区域 的几何度量． SHAPE \* MERGEFORMAT 题型一 基础题型 【例1】 在第 路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第 路或第 路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____ 【例2】 （2010崇文一模） 从 张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是 或 或 的概率为_______． 【例3】 （2010上海卷高考） 从一副混合后的扑克牌（ 张）中随机抽取 张，，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率 （结果用最简分数表示）． 【例4】 （2010湖北高考） 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 ，“骰于向上的点数是3”为事件 ，则事件 ， 中至少有一件发生的概率是 A． B． C． D． 【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ） A． B． C． D． 【例6】 甲、乙、丙三人在 天节日中值班，每人值班 天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是（ ） A． B． C． D． 【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为 ，这三天恰有两天下雨的概率为多少？ 【例8】 某学生做两道选择题，已知每道题均有 个选项，其中有且只有一个正确，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【例9】 现有 名奥运会志愿者，其中志愿者 通晓日语， 通晓俄语， 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 名，组成一个小组． ⑴求 被选中的概率； ⑵求 和 全被选中的概率． 【例10】 （2009江西10） 甲、乙、丙、丁 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ） A． B． C． D． 【例11】 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成 个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求： ⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率． 题型二 中档题的常见载体模型 扔骰子硬币 【例12】 将一枚硬币连续投掷三次，连续三次都得正面朝上的概率是多少？ 【例13】 将一枚硬币连续投掷三次，恰有两次正面朝上的概率是多少？ 【例14】 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是 的概率依次是 ，则（ ） A． 　　　B． 　　　　 C． 　　　D． 【例15】 （08江苏） 若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 次，则出现向上的点数之和为 的概率为 ． 【例16】 （广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数），骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为（ ） A． 　　B．　　　C．　　　D． 【例17】 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 ， 作为点 的坐标，则点 落在圆 内的概率是 ． 【例18】 同时抛掷两枚骰子， ⑴求得到的两个点数成两倍关系的概率； ⑵求点数之和为 的概率； ⑶求至少出现一个 点或 点的概率． 【例19】 某中学高一年级有个班，要从中选两个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二到十二班中选一个班．有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？并说明理由． 摸球 【例20】 （2009重庆6） 锅中煮有芝麻馅汤圆 个，花生馅汤圆 个，豆沙馅汤圆 个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 个的概率为（ ） A． B． C． D． 【例21】 口袋内装有大小相同的 只球，其中 只白球， 只黑球，从中一次摸出两个球， ⑴写出基本事件空间，并求共有多少个基本事件？ ⑵摸出来的两只球都是白球的概率是多少？ ⑶摸出来的两只球颜色不同的概率为多少？ 【例22】 （2010朝阳一模） 袋子中装有编号为 的2个黑球和编号为 的3个红球，从中任意摸出2个球． ⑴写出所有不同的结果； ⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； ⑶求至少摸出1个黑球的概率． 【例23】 盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求下列事件的概率． ⑴取到的2只都是次品；⑵取到的2只中恰有一只次品． 【例24】 有 个红球， 个黄球， 个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？ 【例25】 袋中装有红、黄、白 种颜色的球各 只，从中每次任取 只，有放回地抽取 次，求：⑴ 只全是红球的概率，⑵ 只颜色全相同的概率， ⑶ 只颜色不全相同的概率，⑷ 只颜色全不相同的概率． 【例26】 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码， 设号码为 的球的重量为 （克）． 这些球以等可能性（不受重量， 号码的影响）从袋里取出． ⑴ 如果任意取出1球，求其号码是3的倍数的概率． ⑵ 如果任意取出1球，求重量不大于号其码的概率； ⑶ 如果同时任意取出2球， 试求它们重量相同的概率． 【例27】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【例28】 一个袋子中装有 个红球和 个白球（ ），它们除颜色不同外，其余都相同，现从中任取两个球． ⑴若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证： 必为奇数； ⑵若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足 的所有数组 ． 【例29】 （2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 个红球， 个白球；乙袋装有 个红球， 个白球．由甲，乙两袋中各任取 个球． ⑴ 若 ，求取到的 个球全是红球的概率； ⑵ 若取到的 个球中至少有 个红球的概率为 ，求 ． 数字计算 【例30】 用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是（ ） A． HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" D． HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" C． B． 【例31】 任意写一个无重复数字的三位数，其中十位上的数字最小的概率是（ ） A． B． C． D． 【例32】 （08辽宁） 张卡片上分别写有数字 ，从这 张卡片中随机抽取 张，则取出的 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 【例33】 （2006年北京卷理）在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【例34】 （2007年上海卷文）在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 【例35】 （全国）从数字中，随机抽取个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于的概率为（ ） A． B． C． D． 【例36】 从 这五个数字中任取 个偶数，从 这五个数字中任取 个奇数，组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被 整除的概率． 【例37】 电子钟一天显示的时间是从 到 的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（ ） A． B． C． D． 【例38】 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ） A． 　　 B． C． 　 　D． 【例39】 （2009浙江17） 有 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 ， ，其中 ．从这 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有 ， 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为 ）不小于 ”为 ，则 _____________． 【例40】 在 张奖券（奖券号是 ）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？ 【例41】 某城市开展体育彩票有奖销售活动，号码从 到 ，购买时揭号对奖，若规定从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比． 【例42】 袋中装有 个 分硬币， 个二分硬币， 个一分硬币，任意抓取 个，则总面值超过 角的概率是（ ） A． B． C． D． 【例43】 （2009江苏） 现有 根竹竿，它们的长度（单位： ）分别为 ， ， ， ， ，若从中一次随机抽取 根竹竿，则它们的长度恰好相差 的概率为________． 【例44】 任取一正整数，求该数的平方的末位数是 的概率． 【例45】 摇奖器摇出的一组中奖号码为 ，对奖票上的六个数字是从 这十个数字中任意选出六个不同数字组成的．如果对奖票上的六个数字中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【例46】 甲乙两人各有相同的小球 个，在每人的 个小球中都有 个标有数字 ， 个标有数字 ， 个标有数字 ．两人同时分别从自己的小球中任意抽取 个，规定：若抽取的两个小球上的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜，求乙获胜的概率． 【例47】 （2010西城一模） 一个盒子中装有 张卡片，每张卡片上写有 个数字，数字分别是 、 、 、 ．现从盒子中随机抽取卡片． ⑴若一次抽取 张卡片，求 张卡片上数字之和大于 的概率； ⑵若第一次抽 张卡片，放回后再抽取 张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字 的概率． 排列组合相关 【例48】 一只猴子随机敲击只有 个小写英文字母的练习键盘． 若每敲 次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击 次，屏幕上的 个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为 ． 【例49】 已知 支球队中有 支弱队，以抽签方式将这 支球队分为 、 两组，每组 支．求： ⑴ 、 两组中有一组恰有两支弱队的概率； ⑵ 组中至少有两支弱队的概率． 【例50】 某班数学兴趣小组有男生和女生各 名，现从中任选 名学生去参加校数学竞赛，求： ⑴恰有一名参赛学生是男生的概率； ⑵至少有一名参赛学生是男生的概率； ⑶至多有一名参赛学生是男生的概率． 【例51】 （2009上海文） 若某学校要从 名男生和 名女生中选出 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 名的概率是 （结果用最简分数表示）． 【例52】 有十张卡片，分别写有 、 、 、 、 和 、 、 、 、， ⑴从中任意抽取一张， ①求抽出的一张是大写字母的概率；②求抽出的一张是或的概率； ⑵若从中抽出两张， ③求抽出的两张都是大写字母的概率；④求抽出的两张不是同一个字母的概率； 【例53】 某国际科研合作项目成员由 个美国人、 个法国人和 个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 ．（结果用分数表示） 【例54】 （06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为 ，甲、乙分到同一组的概率为 ，则 的值分别为（ ） A． B． C． D． 【例55】 （2009江西10） 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 种卡片可获奖，现购买该种食品 袋，能获奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【例56】 （2006上海） 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 本，共 本．将它们任意地排成一排，左边 本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）． 【例57】 （2008四川延8） 在一次读活动中，一同学从 本不同的科技书和 本不同的文艺书中任选 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ） A． B． C． D． 【例58】 停车场有 个排成一排的车位，当有 辆车随意停放好后，恰好剩下三个空位连在一起的概率为_______； 【例59】 个人坐到 个座位的一排位置上，则 个空位互不相邻的概率为 ． 【例60】 右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ） A． B． C． D． 【例61】 （2009四川文） 为振兴旅游业，四川省 年面向国内发行总量为 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡． ⑴ 在该团中随即采访 名游客，求恰有 人持银卡的概率； ⑵ 在该团中随机采访 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率． 【例62】 （08湖南）对有 个元素的总体 进行抽样，先将总体分成两个子总 和 （ 是给定的正整数，且 ），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用 表示元素 和 同时出现在样本中的概率，则 = ；所有 的和等于 ． 题型三 结合其他知识的综合题及杂题 【例63】 已知 的三边是 以内（不包含 ）的三个连续的正整数，求 是锐角三角形的概率． 【例64】 （07湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为 和 ，记向量 与向量 的夹角为 ，则 的概率是（ ） A． B． C． D． 【例65】 考虑一元二次方程 ，其中 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率． 【例66】 （07四川） 已知一组抛物线 ，其中 为 中任取的一个数， 为 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 交点处的切线相互平行的概率是（ ） A． B． C． D． 【例67】 （2009安徽） 考察正方体 个面的中心，甲从这 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ） A． B． C． D． 【例68】 从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为 ． 杂题 【例69】 某招呼站，每天均有 辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆． ⑴共有多少个基本事件？ ⑵小曹能乘上上等车的概率为多少？ 【例70】 李明手中有五把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，只好逐把试开， ⑴李明恰在第三次打开房门的概率是多大？ ⑵李明三次内打开房门的概率是多大？ 【例71】 张三和李四玩“棒子、老虎、鸡、虫子”的游戏（棒子打老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫子，虫蛀棒子），他们同时报其中一个的名字，如果出现的不是以上相邻的两个（比如出现老虎与虫子），则算平局，求⑴出现平局的概率；⑵张三赢的概率． 【例72】 某单位一辆交通车载有 个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙 个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车．假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率： ⑴该车在某停车点停车；⑵停车的次数不少于 次；⑶恰好停车 次． 【例73】 （2010石景山一模） 为援助汶川灾后重建，对某项进行竞标，共有 家企业参与竞标．其中 企业来自辽宁省， 、 两家企业来自福建省， 、 、 三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同． ⑴企业 中标的概率是多少？ ⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？ 典例 PAGE 7 _1310899056.unknown _1310905766.unknown _1319373500.unknown _1333436162.unknown _1341234705.unknown _1341234713.unknown _1344339649.unknown _1344339650.unknown _1341234717.unknown _1344339648.unknown _1341234715.unknown _1341234709.unknown _1341234711.unknown _1341234707.unknown _1333436183.unknown _1333438915.unknown _1341234703.unknown _1333436191.unknown _1333438913.unknown _1333436187.unknown _1333436173.unknown _1333436177.unknown _1333436166.unknown _1333349786.unknown _1333366978.unknown _1333366990.unknown _1333436146.unknown _1333436152.unknown _1333436157.unknown _1333436149.unknown _1333366996.unknown _1333436142.unknown _1333366993.unknown _1333366984.unknown _1333366987.unknown _1333366981.unknown _1333349790.unknown _1333366975.unknown _1333349788.unknown _1320648000.unknown _1323259383.unknown _1323259514.unknown _1323259518.unknown _1333349784.unknown _1323259516.unknown _1323259394.unknown _1323259493.unknown _1323259389.unknown _1323257786.unknown _1323259376.unknown _1320648028.unknown _1323257780.unknown _1320648005.unknown _1319373525.unknown _1320647960.unknown _1320647977.unknown _1320647951.unknown _1319373513.unknown _1319373519.unknown _1319373507.unknown _1316436077.unknown _1318660186.unknown _1318660206.unknown _1318938595.unknown _1318938597.unknown _1318660893.unknown _1318938593.unknown _1318660898.unknown _1318660888.unknown _1318660197.unknown _1318660202.unknown _1318660192.unknown _1318073959.unknown _1318073984.unknown _1318074278.unknown _1318074283.unknown _1318074274.unknown _1318073980.unknown _1316436081.unknown _1316436753.unknown _1316436757.unknown _1316436759.unknown _1316436755.unknown _1316436083.unknown _1316436079.unknown _1310905962.unknown _1310906827.unknown _1316436066.unknown _1316436070.unknown _1316436074.unknown _1316436068.unknown _1310906832.unknown _1310906836.unknown _1310976503.unknown _1310906834.unknown _1310906829.unknown _1310906819.unknown _1310906823.unknown _1310906825.unknown _1310906821.unknown _1310905966.unknown _1310906151.unknown _1310906156.unknown 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