寿命相关不确定更新过程

，u‘。1。二 一 l 中盈近{弋第一所太学 l【)LJNDEnN 1 HcJ!) 天串大孽 TI ANJl N UNl VERS TY 硕士学位论文 一^—■曩●-■I爿碍j油■舟■I归0■■■_ 学科专业：丞亟』程 作者姓名：张家顺—— 指导教师：离万生 教授 天津大学研究生院 2005年12月 中文摘要 退化系统的可靠性可以通过采取适当的维护策略来改善．在传统的不确 定更新过程研究中主要考虑了系统的随机性，但在实际的系统中，模糊性对 系统正常运行的影响也同样重要．本文主要研究了系统运行中的模糊性以及 与随机性相结合的各种情况，并建立了相应的优化模型． 寿命相关的更换策略是最重要的维护策略之一，为了描述系统运行中的 模糊性，本文建立了模糊条件下的系统更新模型，并将BlackweU随机更新 定理扩展到组件寿命为模糊变量的情况，提出了系统单位组件单位时间长期 运行期望费用的概念．然后，将所得到的模型与组件寿命为为随机变量的情 况相结合，将其扩展到系统组件寿命为模糊随机变量和随机模糊变量的情况 下，建立了模糊随机更新模型和随机模糊更新模型，并对系统单位组件单位 时间长期运行期望费用的概念做了相应的扩展． 对于不确定系统，系统单位时间运行费用的期望值的解析解是很难得到 的．本文针对各种不同类型的不确定变量，分别采用了模糊模拟，模糊随机 模拟，随机模糊模拟等技术求解各种类型不确定变量的期望值．由于各种不 同类型的不确定系统，很难保证所研究的期望值函数的梯度总是存在，为了 最小化系统的长期运行期望费用，应用了基于模拟的SPSA算法来对模型进 行求解． 最后，我们针对本文所提出的模型分别了相应的算例，结果表明了 模型和算法的有效性． 关键词：维护策略，更新过程，模糊变量，模糊随机变量，随机模糊变量， SPSA算法 ABSTRACT Theperformanceofdeteriorationsystemscanbeimprovedthroughthe adoptionofsuitablemaintenancepolicies．Thetraditionalrenewalprocess focusontheuncertaintyofstochastic，butinmanypracticalsystems，the fuzzinessisalsoimportant．Inthisthesis，thefuzzyuncertaintyisstudied， andthreeuncertaintymaintenancemodelsareprovided． Oneofthemostpopularmaintenancepoliciesistheage-dependent replacementpolicy．Consideredtheuncertaintyoffuzzy,thefuzzyage- dependentreplacementpolicyisstudiedinwhichthelifetimesofcompo- nentsaretreatedasfuzzyvariables．Inapracticalsystemthefuzzinessand randomnessareoftenmixedupwitheachother．Thus，bothofthetwo uncertaintiesshouldbeconsideredsimultaneously．Thefuzzyrandomage- dependentreplacementpolicyandrandomfuzzyage-dependentreplacement policyarealsostudiedhere，andtheconceptoflong-runexpectedcostper unittimeisprovided． tnordertogetthebestsolutionoftheage—dependentreplacementpolicy andminimizethelong-runexpectedcostperunittime，threeprogramming modelsareestablished。ThesimulationtechniquesforestimatingtheeX- pectedvalueoffuzzy,fuzzyrandomandrandomvariableisdeveloped．Fur- thermore，thesimultaneousperturbationstochasticapproximation(SPSA) algorithmbasedonsimulationisdesignedtogettheoptimalsolutionofthe proposedmodels． Attheendofthisthesis，thenumericalexamplesareenumerated，and solvedthroughtheproposedalgorithm．Theresultsillustratetheeffective- he88ofthemoddsandalgorithm． Keywords：Maintenancepolicy,Renewalprocess，Fuzzyvariable，Fuzzy randomvariable，Randomfuzzyvariable，SPSAalgorithm ll 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨叠盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了j身十意。 学位论文作者签 日期： c>6年≯月2，珀 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘鲞盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 (保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签 签字日期： D 翩签名溯 签字日期：汐g年2月2厂日 第一章 绪论 1．1更新过程的研究背景 对于更新过程研究主要起源于本世纪三十年代．最早的研究领域之一是 机器的维修问题，另一个就是将更新论用于更换问题．在第二次世界大战前 后，随着军事技术装备越来越复杂，系统越来越容易发生故障．这就需要一 整套的来保证系统的正常运行．从五十年代至今，更新过程以着惊人的 速度在发展，对于其理论的应用已经扩展到了国民经济的各个领域．近几十 年来，随着科技的进步和经济的发展，产业界对自动化机械要求越来越高， 只有对老旧设备的流程进行有效的更新和维护，才能提高生产品效率及降低 生产成本． 1965年美国加州大学伯克利分校的(UniversityofCaliforniaatBerke- ley)查德教授提出了模糊集理论．模糊数学不是让数学变得模模糊糊，而是 让数学进入模糊现象这个客观存在的领域，用模糊数学的方法去描述模糊现 象，揭示模糊现象的本质和规律．模糊性是客观事物的差异在中间过渡时所 呈现的亦此亦彼性．当系统的复杂性增长时，我们对系统作出精确而有意义 的能力将降低，这种精确性和有意义性的互克性使得很多问题无法用精确的 方法去描述和解决．概率论的产生把数学的应用范围从必然现象扩大到偶然 现象的领域，模糊数学则把数学的应用范围从精确现象扩大到模糊现象． 在随机过程中对Poisson过程一种自然的推广是考虑到达时间间隔相互 独立同分布的，但分布函数任意的计数随机过程，这样的计数过程称为更新 过程．但是，在工程实际中，对于系统进行更新和维护的过程中往往给出的 约束条件并不是非常严格的，有时还要根据实际情况在设计中加以调整，这 在本质上就构成了一个模糊问题．在系统的更新理论中，引入模糊理论，不 但充分发挥了专家的作用，利用人脑对模糊现象做出正确判断，以及尽量减 少个人主观臆断所带来的弊端，而且还充分利用了对系统可靠性指标分配有 重要影响的模糊因素信息．从而为系统可靠性指标分配提供了科学、合理的 方法．模糊更新过程理论与方法是系统更新理论与模糊理论两者相互结合而 l 第一章 绪论 产生的一种新的理论，通过学科之间的交叉与融汇，合理地运用各学科对客 观事物不同的处理方法，使问题得到更加满意地解决． 1．2更新过程的研究现状 由一些基本部件组成的完成某种特定功能的整体，称之为系统．一般 根据系统中的部件是否可修，将其分为可修系统与不可修系统，在可修系统 中，组成系统的部件不仅包括物，也可以包括人一一修理工．产品(部件或 系统)丧失规定的功能称之为故障或失效．通常，对不可修产品称失效，对 可修产品称故障．而在讨论具体问题时，往往难于区分，在本文中，我们把 两者看成同义词． 随机更新过程是研究比较早的一类过程，这类过程假定相邻两个连 续出现的事件间的点间间距是独立同分布的随机变量．也就是说，假设产品 的寿命是一个非负随机变量．大多数的研究工作都集中在了系统的寿命为随 机变量的情况，通过随机变量的测度来对系统进行了描述。基于概率理论， 随机更新理论考虑了两次相邻的更新间隔为独立同分布(independentand identicallydistributed)的随机变量的情况下的更新过程【2】．Blackwell更 新定理给出了不确定系统在随机环境下的进行更新的基本理论，主要研究方 法有马尔可夫过程，单调关联系统理论、更新过程，马尔可夫更新过程和补 充变量方法．Faddy[5]提出了可以通过更新间隔服从Gamma分布的普通 过程来泛化的Poisson过程．Steinebachf30]定义了一个相关联的多组件构 成系统的多元更新过程．Visaggio【31】研究了从用户和管理者的角度，对于 一个1日的系统进行更新所能带来的效率的提高． 而在某些情况下，由于缺乏数据或其它原因，很难确定点间间隔的分布 类型和给出分布中参数的精确估计，于是人们开始研究带有模糊性的更新过 程．A1-Najjar【1】采用了模糊多重判据评价方法来评定当前最流行的几种 维护策略．Chang【4】提出了一个新的模糊设备更新方法并且讨论了模糊退 化参数策略和模糊更换经济寿命模型．Suresh[291给出了一个用于多状态 设备维护的模糊模型．Popova【22】考虑了系统的主更新过程为随机过程， 而对系统的维护采用模糊变量进行描述的更新过程并提出了单位组件单位 2 第一章 绪论 时间长期平均模糊期望费用的概念．Huang【6]使用模糊集来表示多目标和 软约束，并提出了一个针对电力系统发电机维护行程安排的模糊动态规划方 法．最后使用了遗传算法对所提出的模型进行了求解．Hwang[7】研究了一 类时间间隔为模糊随机变量的模糊随机过程并提供了一个用于计算更新率的 定理． 1．3更新过程研究中所面临的问题 在人类的日常生活中，几乎处处都有模糊现象．例如，年轻人，高个， 黄昏，性能良好等等．模糊概念来源于模糊现象，同时人们了解、掌握和处 理自然现象时，在大脑中所形成的概念往往都是模糊概念，这些概念的类属 边界是不清晰的．比如，人们为描述雨下的程度，可以划分为小雨、中雨、大 雨，然而，什么样的雨是小雨，什么样的雨是中雨，什么样的雨是大雨，又很 难说清楚，这样的概念(小雨，中雨、大雨)就是模糊概念．可以这样讲，世 界上的事物，模糊性是绝对的，而清晰性和精确性是相对的．传统的更新过 程的研究主要集中于系统的随机性的研究，对于模糊性所做的研究也由于没 有模糊变量期望值的概念，很难对模糊系统做出准确度的评价． 另外，在很多情况下，获取系统的完整信息很是很困难的，很多决策要 依赖于专家的判断来完成，如何设计一个合理的模型对其进行描述也是一个 迫切需要解决的问题．在给出了系统的描述模型以后，对所建立的模型进行 求解也需要建立一套切实可行的计算和优化算法． 此外，在很多系统里还会存在各种不确定性相互结合的情况，比如模糊 性与随机性相结合得到的模糊随机性，随机模糊性等等．目前针对系统这一 类不确定性的研究还没很少．本文还对采用寿命相关更换策略的系统在运行 中的模糊不确定性和随机不确定性进行了研究，给出模糊随机期望值更换策 略模型和随机模糊期望值更换策略模型． 3 第一章 绪论 1．4本文的工作和主要创新 本文主要针对在各种不确定条件下的寿命相关更换维护策略进行了研 究．对于以模糊性为主的不确定系统，研究了点间间隔和报酬均假设为模糊 变量的模糊更新过程，并结合模糊变量期望值的概念给出了相应的寿命相 关模糊更新更换策略的数学模型．在实际的某些系统当中，模糊性与随机性 通常是密不可分的，对于这类模糊性和随机性相结合的系统，本文把它分成 模糊随机和随机模糊两种情况分别进行了研究，并分别给出了模糊随机期望 值更换策略模型和随机模糊期望值更换策略模型。近年来随着计算机技术的 不断发展，采用计算机模拟的算法来对系统进行优化逐渐成为现实，为了求 解对应的模型，应用了基于模糊模拟，模糊随机模拟和随机模糊模拟技术的 SPSA算法． 最后，针对系统所建立的各种不确定模型给出了仿真算例，结果表明了 所设计的模型及算法的有效性． 全文构思如下： 第二章，给出了本文所需要的一些理论基础，介绍了模糊变量，模糊随机 变量和随机模糊变量的和模糊变量的期望值的概念，以及对应的模糊变量， 模糊随机变量与随机模糊变量的期望值概念． 第三章，建立了寿命相关更新系统的基本模型，为了描述系统运行中的 模糊性，建立了模糊条件下的系统更新模型，并将Blackwell随机更新定理 扩展到组件寿命为模糊变量的情况．然后提出了系统单位组件单位时间长期 运行期望费用的概念．然后将所得到的模型与随机的情况相结合，将其扩展 到系统组件寿命为模糊随机变量和随机模糊变量的情况下，建立了模糊随机 更新模型和随机模糊更新模型，并对系统单位组件单位时间长期运行期望费 用的概念做了相应的扩展． 第四章，对于不确定系统，系统单位时间运行费用的期望值的解析解是 很难得到的．本文针对各种不同类型的不确定变量，分别采用了模糊模拟， 模糊随机模拟，随机模糊模拟等技术求解各种类型不确定变量的期望值．由 于各种不同类型的不确定系统，很难保证所研究的期望值函数的梯度总是存 4 第一章 绪论 在，为了最小化系统的长期运行期望费用，应用了基于模拟的SPSA算法来 对模型进行求解． 第五章，我们针对本文所提出的模型分别设计了相应的算例，结果表明 了模型和算法的有效性． 5 2,1随机变量 第二章 不确定理论 在此，我们给出随机变量的一些基本概念和性质．这些内容可见于任何 一本标准的概率论教材，如{24】1251． 定义2．1．设口是非空集合，4是由力的一些子集(称为事件)构成的萨 域．若集函数Pr{A}满足 (i)Pr{口’=l； (ii)对任何事件A∈A，有Pr{A}≥o； (iii)对任意可列个不相交的事件{A)墨-，有Pr{UA}=∑Pr{Ai}， 则集函数Pr称为概率测度，三元组(膪，4，Pr)称为概率空间． 定义2．2．设∈(u)是定义于概率空间∽，4，Pr)上的单值实函数，若对于每 个Borel集BC狞，有 tu∈伫If(叫)∈B)∈A， 则称f为概率空问(门，4，Pr)上的一个随机变量． 定义2．3．设f是概率空间(仃，一4，Pr)上的随机变量．称 ，+∞ ，0 E睡】=／ Pr{f≥r}dr一／Pr{f≤r}dr(2．1—1) J0 J—o。 为随机变量f的期望值(为了避免出现oo—oo情形，要求(2-1．1)右端中两 个积分至少有一个有限)。 设，是随机变量∈的概率密度函数，若 昏jq)dz 绝对可积，则可以得到， E旧=，”zf(z}dx． 第二章 不确定理论 特别地，若f为离散型随机变量，Pr幢=戤)=A(其中i=1，2，⋯)，则 a0 E㈦=∑z。以． i=l 定义2．4．设f为一随机变量，且o∈(0，11，则称 ￡=sup{rPr{f≥r)之d}和￡=inf{rl Pr{∈≤r)≥D)(2—1—2) 分别为∈的∞乐观值和Q一悲观值． 定义2．5．设(琅，A，Prd，i=1，2，⋯，"为概率空间．如果口=力1×口2× ⋯×／2。，A=A1×A2×⋯×A和Pr=Prl×Pr2×⋯×Ph，则称 (n，APr)为乘积概率空间． 由乘积测度理论，在定义2．5中，对于任意的A∈A，l=1，2，⋯，礼， 在A上存在唯一的测度Pr使得 Pr(A1×A2×⋯×An)=Prl{AI}×Pr2{A2}×···×Prn{An)， Pr满足 Pr{／2}=Prl{／2l}×er2{Sh}×⋯×Pr,{O。，=1， 则测度Pr仍为概率测度，(口，4，Pr)为概率空间． 定义2．6．设(见，A，Prf)，i=1，2，⋯为概率空间．如果D=D1×D2×⋯， A=Al×A2×⋯和Pr=Prl×Pr2×⋯，则称(n，A，Pr)为无穷乘积概 率空间． 定义2．7．设f为定义在概率空间(口，4，Pr)上的随机变量，如下定义的函 数聋：【一oo，+。。】．+【0，1】 聋(z)=Pr{u∈口Jf(u)≤z’(2-1—3) 称为随机变量f的概率分布函数： 定义2．8．随机变量∈1，如，⋯，岛是相互独立的，当且仅当对瓣的任意Borel 集B1，B2，⋯，Bm 仇 Pr{已∈且，i=l，2，⋯，m)=ⅡPr{毛∈鼠)．(2—1—4) 7 第二章 不确定理论 定义2．9．随机变量fl，岛，⋯，‰是同分布的，当且仅当对骑的任意的Borel 集B， Pr{6∈曰'=Pr{fj∈B)，i，J=1，2，⋯，m．(2—1—5) 2．2模糊变量 模糊集的概念是由Zadeh[34】在1965年提出的，通过隶属函数描述了 隶属关系不明确的集合中元素属于集合的程度． 定义2．10．(Zadeh【341)设u为论域．A为U的一个子集，对任意元素 z∈U，函数 ％：U．÷【0，1】 (2-2·1) 指定了一个值纵(z)∈【0，1】与之对应．纵(z)在元素z处的值反映了元素 $属于A的程度，我们称集合A为模糊子集，而g，i(z)称为A的隶属函 数．也就是说，p^(z)的值越大，元素z属于A的程度也就越高． Kaufmann[8]首先提出了模糊变量，随后该定义又出现在Zadeh[35][36】 和Nahmias[21】中．Zadeh[36][38】分别在1978和1979年提出了可能性和 必要性的概念，创立了可能性理论，许多学者对其发展起了重要作用，特别 是Nahmias[211中给出了可能性的公理化定义． 定义2．11．(Nahmias【21])设臼为非空集合，p(o)为日的幂集，即0所 有子集构成的集合．如果集函数Pos满足 (i)P0s{口'=l； (ii)Pos{0}=o； (iii)对于P(e)中的任意集合{A，，P。s{vA)SU；pP。s{A)， 则称Pos为可能性测度，三元组(0，P(p)，Pos)称为可能性空间． 对于可能性空间中的可能性测度，Nahmias[21】给出了的以下几条性 质， 8 第二章 不确定理论 定理2．1．【21】(0，P(9)，Pos)是一个可能性空间，我们有 (i)对于任何A∈P(e)，0SPos{A}≤1； (ii)如果AcB，则有Pos{舢≤Pos{B}； (iii)对于任何4，B∈P(8)，Pos{AUB}≤Pos{A)+Pos{B}(次可加性)． 有了可能性空间的概念，就可以在此基础上给出模糊变量的定义． 定义2．12．(Kaufmama【8】)设∈为一个定义于从可能性空间(O，P(8)，Pos) 到实数域乳的函数，则称f是一个模糊变量． 在可能性测度Pos的基础上，给出了模糊变量的必要性测度如下． 定义2．13．设(0，P(9)，Pos)是可能性空间，A是幂集P(e)中的一个元 素，则称 Nec{A}=1一Pos{A。) (2—2—2) 为事件A的必要性测度． 为了描述模糊事件的可信性，Liu和Liu【12】定义了可信性测度． 定义2．14．(Liu和Liu[12])设(O，P(臼)，Pos)是可能性空间，A是幂集 P(p)中的一个元素，则称 1 Cr{A}=妄(Pos{A}+Nec{A})(2-2-3) ‘ 为事件A的可信性测度． 对于可信性测度Liu和Liu[121给出了下面的性质． 定理2．2．(Liu[14])设(O，P(臼)，Pos)是可能性空间．我们有 (i)cr{p)=1； (ii)Cr∞}=o； (iii)如果AcB，则有Cr{A}≤Cr{B)； (iv)Cr是自对偶的，即对于任何的A∈P(e)，Cr{A}+Cr{Ac}=1； (v)cr是次可加的，即对于任何的A，B∈尹(臼)， Cr{AUB}Scr{A)+cr{B) 9 第二章 不确定理论 定义2．15．(Liu和Liu【121)设‘为模糊变量，则称 ，+gO rO E煳=／ cr妊≥r}dr一／crKsr}dr (2-2-4) ，0 J一∞ 为模糊变量{的期望值(为了避免出现。。一。。情形，要求(2—2—4)右端中的 两个积分至少有一个有限)．特别地，若∈是一个非负的模糊变量，则 研副=／ cr代≥r}dr． 注2．1．(LiuandLiu[15】)设f表示一个离散模糊变量，其隶属函数为p(啦)= 雎对于i=1，2，⋯，n，假设(11Sa2≤⋯≤n。，由定义2．15可以得到 E圈=∑姚啦，(2-2-s) 其中权重岫，i=1，2，⋯，n通过下式给出． 。12§(ul+lmgasx。如一1m‘ja3x。#j)， 峨2一}(．m：Ja：x。#i一。m=Ja。x。uj+{m9a9x脚一2答脚)，2si≤n一1， ％2一(．m!Ja：xn#j—lm匀ao’=1一chK≤o}．(2-4-3) 14 第二章 不确定理论 定义2．27．(Liu【141)随机模糊变量{1，已，⋯，靠称为独立同分布的，当且仅 当对于驼上的任意Borel集Bl，岛，⋯，Bm和任意正整数r／z， (Pr{矗(p)∈B1)，Pr{己(9)∈B2}，⋯，Pr{毛(p)∈B。))，i=1，2，·一，n 是独立同分布模糊向量． 定义2．28．(Zhao和Tang【39])设J是一个指标集，随机模糊变量岛，i∈J 是独立同分布的，当且仅当对，的任意有限集{ii，i2，⋯，i。)，矗。，蠡：，⋯，6。 是独立同分布随机模糊变量． 15 第三章 不确定寿命相关更换策略 寿命相关更换策略是最常用的维修策略之一．在这种策略下，设备通常 在使用时间为T或者出现故障时更换，不论上述哪种情况先发生，丁都是 一个常数(在离散的情况下，T是—个整数)． 在初始状态下，我们假设组件的状态是全新的．当组件失效或者运行时 间达到了预定的时间T的时候，用一个完全一样的全新组件来替换掉这个 正在使用组件．然后不停的重复这一过程，直到系统停止使用．这里我们假 设系统在更新过后跟初始的全新状态是一样的，并且所使用的组件都是完全 相同的，即组件的寿命是独立同分布的． 对于实际应用中的系统，由于存在着多种不确定性，本章的下面各节将 对针对组件寿命为独立同分布的随机变量、模糊变量、模糊随机变量和随机 模糊变量的各种情况下的寿命相关更换策略分别进行讨论． 3．1随机寿命相关更换策略 当系统中的组件寿命为独立同分布的随机变量时，假设矗为随机变量， 表示第(k～1)个和第k个事件之间的点间间隔，k=1，2，⋯，即矗为第 k个组件的寿命．这里假设更新采用全新的相同设备，更新时间忽略不计， 则{靠}为一个独立同分布的随机变量序列． 令岛=0且 瓯=f1+＆+⋯+缸，k≥1， (3-1-1) 若{&，k≥1)是一列相互独立同分布的正随机变量，则过程{瓯，k之o，称 为随机更新过程． 到时刻t为止发生的事件总数记作Ⅳ(t)，则 Ⅳ(t)-m。，a。x{nl0S&≤以，(3-1—2) N(t)称为随机更新变量． 16 第三章 不确定寿命相关更换策略 显然，对于任意给定的t>0，N(t)是随机变量．由p1·2)，我们有 Pr{N(t)=n}=Pr{N(t)2n，一Pr{N(t)2佗+1) =Pr{晶St)一Pr{Sn+lS以(3-1—3) =PrISn≤t≤岛+1)． 对于系统组件寿命为随机变量的情况，已经有很多学者做了大量的研 究，这里直接给出其主要结论． 定理3．1．(随机更新方程【25】)设{厶，n2l}为一列独立同分布的正随机点 间间隔，N(t)是随机更新变量．对于任意的t>0，有 E【Ⅳ(t)】=F(t)+／E[N(t—s)】dF(8)，(3-1—4) 其中R(t)为6的分布函数． 定理3．2．(基本更新定理[251)设{矗，n≥1)是一列独立同分布的正随机点 间间隔，N(t)是随机更新变量．若l／E【∈1】有限，则有 t·-i-，moo删t=南． 阻s)丘l亡1I ’ 定理3．3．(Ross【25])设{厶，n≥1)为一列独立同分布的正随机点间间隔， N(t)是随机更新变量．对于任意的t>0和a>0，有 E[N(t+n)】一E【Ⅳ(t)】S1+E[NCa)]． (3-1-6) 定义3．1．(Ross[25】)一个正随机变量q称为格子随机变量(也称格子点)，当 且仅当存在d>0，使得 ∑Pr{0=哪=1， 具有这样性质的最大的d称为，7的周期．如果随机变量叩是格子随机变量， 它的分布称为格子分布． 17 第三章 不确定寿命相关更换策略 定理3．4．(Blackwell随机更新定理f25】)设{靠，n≥1)是—列独立同分布的 正随机点间间隔，F是它们的分布函数． (i)若F是非格子的，则有 №limE[Ⅳ(t+训一EIN(。)卜南+(3-1-7) (ii)若F是格子的且周期为d，则有 。limE[在佗d的更新次数】=云南．(3-1-8)^ J 正Ihl 定理3．5．(Smith随机关键更新定理[25】)设{靠，n≥1，是一列独立同分布 的正随机点间间隔，F是它们的分布函数．若九(t)为关于t的正递减函数， 若F是非格子的，且伊h(t)<。。，则有 恕肛h肛IN㈤】=南Z0。坤肛．(3-1-9) 设@l，’71)，临，啦)，⋯为定义在概率空间(口，4，Pr)上的二元随机变量 序列．矗表示第∞一1)个事件和第n个事件之间的点间间隔，‰表示第 n次更新出现时得到的报酬，其中n=1，2，⋯ 设C(t)表示到时刻t为止的总报酬，则有 N(O e(f)=∑吼，(3-1—10) 其中N(t)为随机更新变量． 定理3．6．(随机有酬更新定理【25】)设@1，q1)，‰，啦)，⋯为一列二元独立同 分布的正随机向量序列，N(t)为随机更新变量，c(t)为按照p1—10)定义 的总报酬．若引c(t)】和F阵-】有限，则 与 t·-t。moo盟t=锱，EIfl tt-t-，moo掣=裂1St lEll 18 (3-1—11) (3-1—12) 第三章 不确定寿命相关更换策略 卵)=。l—ira掣．(3-1-13) ca(T)=雨E[rh]．(3-1-14) 一 3．2模糊寿命相关更换策略 当系统组件的寿命为独立同分布的模糊变量的时候，我们用矗表示第 k个组件的寿命，露=1，2，⋯．其中矗，k=1，2，⋯是模糊变量，且具有 相同的隶属函数，则第％个更新周期的长度为 LI(即=缸J‰sr)+丁^“>研， 其中厶．)是事件(·)的特征函数，其定义如下； 丑．)={1 I，如果事件(·)发生 【0，如果事件(·)不发生 (3-2—1) (3-2—2) 第三章 不确定寿命相关更换策略 第k个周期的总费用为 Ck(T)=c，^“s丁)+勺^靠>即， (3-2—3) 其中c，和印分别表示设备出现故障和组件年龄到达T时刻的更换费用． 通常情况下，假设Cl>唧．因为当c，<勺时表示组件出现故障时所造成 的整体费用小于组件的维护费用，则这时的维护操作没有任何意义． 定义So=0及 Sk=L1(T)+L2(T)+⋯+Lk(T)，Vk≥I．(3-2-4) 则&即为第k次更新所发生的时间．由于{矗，k≥1)为独立同分布的模 糊变量，所以对任意的t>0，根据[40J可以得到 Pos{Sa纠地s卜a(3-2-5) 将上式中的“S”替换为“>"，“<”或者“>”等式依然成立． 用N(t)表示在(0，t】时间内系统的更新次数，则有如下等式 Ⅳ(t)=1嚣⋯0<&≤t，，(3-2-6) 显然，N(t)也是一个模糊变量，并且其隶属函数如下 pjv(o(％)=Pos{&≤t<瓯+1)． 根据

公式

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(3-2—5) ㈣㈣=Pos{南<训T)≤a(3-2-7) 我们称Ⅳ(z)为模糊更新变量． 设c(t)是到时间t为止的总的更新费用，则 Ⅳ(f) G(t)=∑G(T)， (3．2-8) 第三章 不确定寿命相关更换策略 其中N(t)是到时间t为止的更新次数，其隶属函数为 ㈣(班Posf扛(邪t<巍(T)1． L{=1 t=l J 对系统进行维护操作的目的在于降低系统总的维护成本，下面给出了系 统长期运行单位组件单位时间的费用 定义3．3．系统长期运行单位时间单位组件的期望费用定义为 叩)=舰业业警塑(3-2．9) 即 ca(T)=舰掣． (珏10) 当靠为一列独立同分布的模糊变量时，由前面给出的“(r)和G(T) 的定义可知，{k(T)，k≥1}(瓯(r)，k21)也为一列独立同分布的非负 模糊变量，其中Lk(T)表示系统的第k次更新周期的长度，G(T)表示跟 第k次更新相关联的的费用． 若G(T)为由(3-2—9)定义的系统长期运行单位组件单位时间的期望费 用．根据【40】可以得到下面的系统组件长期运行单位时间的期望费用定理． 定理3．8，若F盼(T)／L·(丁)]存在，采用寿命相关更换策略系统的单位组件 长期运行单位时间的期望费用为 ∞Ⅲ[器]，(3-2-11) 其中L-(T)是第一个更新周期的长度，a(q是第一个更新周期的费用． 为系统设计维护

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进行优化的目标通常就是是找到一个确定的更新 周期T满足T>0并且使得G(T)最小．综上所述，在随机条件下寿命相 关更换策略可以用数学模型描述如下： f嘶nE[船】 卜 I T>0， 第三章 不确定寿命相关更换策略 其中LI(T)=fl丘f。≤∞+T比。，r)表示第一个更新周期的长度，a(r)= c，丑f。sr)+勺丑f。>砷表示第一个更新周期的费用，6表示第一被更新的组 件的寿命． 3．3模糊随机寿命相关更换策略 在实际的系统中，模糊性和随机性作为不确定性的两个方面通常是同时 存在的，这一节我们讨论了组件寿命为模糊随机变量的情况下系统的寿命相 关更换策略模型． 令＆表示系统中第k个被更新的组件的寿命，k=1，2，⋯．与系统 组件寿命为模糊变量的形式相似，我们将到第k个周期的长度表示为 Lk(T)=矗丑“s"+T地>T)， (3-3-1) 这里^．)为事件(·)的特征函数．则第k个周期的费用为 Ck(T)=CII(fk≤T)+CpI(f->即，(3-3-2) 其中靠，k=1，2，⋯为非负独立同分布的模糊随机变量，c，和勺分别表示设 备出现故障和组件年龄到达T时刻的更换费用。通常情况下，假设cl>勺．显 然Lk(T)与G(丁)均为模糊随机变量，且对于任意给定的u∈Q，Lk(T)(w) 与G(丁)∞)均为模糊变量． 定义岛=0并且 岛=LI(T)+L2(T)+⋯+L。(T)，Vn≥1，(3-3-3) 则由上面的定义可知，&也为一非负模糊随机变量，表示系统进行第n次 更新的时间，并且对于任意给定的u∈Q，岛∞)为模糊变量． 用N(t)表示t时刻系统进行维护的次数，则有 Ⅳ(t)：m⋯ax{nl0<&≤t} N(t)也为一非负模糊随机变量． 第三章 不确定寿命相关更换策略 对于任意给定的“，∈Q，Ⅳ(￡)∞)为一个模糊变量，根据上一节给出的 (N(t)为模糊变量的结果，我们可以得到： Pos{N(t)(w)=礼)=Pos{s；(u)≤t。， 第三章 不确定寿命相关更换策略 这里La(T)=fl丘‘。sr)+T^f。>丁)为第—个周期的长度，a(T)=cll(f，≤T)+ 勺^‘。，"为第一个周期的费用，f·为模糊随机变量，表示第一个被更新的 组件的寿命． 3．4随机模糊寿命相关更换策略 在实际的系统中，模糊性和随机性同时存在的另一种形式就是系统组件 的寿命为随机模糊变量，这一节里我们研究组件寿命为独立同分布的随机模 糊变量的情形． 用&表示系统第k个组件的寿命．&，k=1，2，⋯为非负独立同分 布的随机模糊变量．对于任意固定的p∈O，f(p)为随机变量．定义E㈦为 随机变量∈(p)的期望值．当日在e中变化的时候，E瞳(口)】为一个模糊变 量． 系统进行第k个维护周期的时间长度可以表示为t Lk(T)=靠丘“s砷+T1c‘k>T)， 这里丘．)为事件(·)的特征函数． 与之对应的第k个周期的费用为 G(T)=clI(e‘≤丁)+勺^“>即， (3-4-2) 其中c，和勺分别表示设备出现故障和组件年龄到达T时刻的更换费用． 通常情况下，假设CI>CV．由于f为随机模糊变量，{饥(丁))，{G(r))均 为独立同分布的随机模糊变量序列k=1，2，⋯．对于任意给定的口∈0， 匕(T)(p)，Q(丁)(p)为随机变量． 定义岛=0以及 &=LI(T)+L2(T)+⋯+L。(T)，Vn≥1， 则&即为系统第n次更新的时间．对于任意给定的口∈0，晶(p)也为随 机变量． 24 第三章 不确定寿命相关更换策略 c(o=∑G(T)， (346) Ca(T)=恕掣．(3-4-7) 如果E[爨男】存在，由【40】可知 ∞郴[器]． c渊， 睽] 第三章 不确定寿命相关更换策略 其中厶F)=fl亿。s研q-r昧，>T)为第一个更新周期的长度，G1(r)= cll(眭r)4-唧丘f，>T)为第一个更新周期的费用，∈1为第一个被更新的组件 的寿命． 第四章 基于不确定模拟的SPSA算法 4．1引言 对于任意给定的更新周期T，我们都需要计算E】了=C丽1(T)l表达式G(丁) 的值．在f为随机变量的情况下，通常很难保证可以用解析的方法求得型L旦 的期望值，很多情况下，需要采用蒙特卡洛模拟的方法来对其进行估计．t(当T、 f为模糊变量时，由于譬等鬻为模糊变量的函数表达式，通过解析的方法难 以得到他的隶属函数的表达式，所以几乎无法设计出一种通用的解析方法来 计算El；器l的值．Liu【15]提出了一种模拟的方法来对模糊变量的期望 值进行估计． 在∈为模糊随机变量的情况下，对于任意固定的u，表达式；器倦为 一个模糊变量，在f为随机模糊变量的情况下，对于任意固定的p，表达式 ；*船为—个随机变量．由于混合了两种情况的不确定性，表达式El￡船l 的值的计算更加困难．Liu【15】提出了采用模拟的方法来估计EI￡粉l的 值． 此外，很多情况下即使可以计算巴(丁)的值，但是很难具体的确定组件 更新周期T和目标函数a(T)之间的函数关系，也就无法保证G(丁)的梯 度总是存在，而传统的梯度下降算法要求目标函数对决策变量的梯度必须存 在．本文通过采用了一种迭代算法来逼近目标函数的梯度，以求得系统的最 优解． 4．2不确定变量的模拟 本节主要介绍各种不确定型变量的模拟技术，以用于估计所求解的包含 不确定变量的表达式的值．以下分别对随机变量、模糊变量、模糊随机变量． 随机模糊变量的模拟进行了阐述． 4．2．1随机变量的模拟 随机模拟(也称为MonteCarlo模拟)是随机系统建模中刻画抽样试验的 27 第四章 基于不确定模拟的SPSA算法 一门技术，它主要依据概率分布对随机变量进行抽样，虽然模拟技术只给出 统计估计而非精确结果，且应用其研究研究问题需费用大量的计算时间，但 对那些无法得到解析解的复杂问题来说，这种手段可能是唯一的有效工具． 此外，由于随机模拟所需要的样本点数日和维数是相互独立的，所以在 求解较大维数的多重积分时，为达到所给定的精度，随机模拟技术相对于传 统的迭代法有着很大的优势． 下面我们给出采用随机模拟的方法计算随机变量，(‘)期望值的算法， 其中∈为概率分布已知的随机变量． 算法4．2．1．(随机变量期望值模拟) 步骤1．置L=0． 步骤2．根据概率分布Pr，从样本空间Q中随机抽取样本u． 步骤3．L4--L+，(∈∞))． 步骤4．重复步骤2到步骤3共Ⅳ次． 步骤5．E【，(f)】=LIN． 若已知随机变量∈的概率分布，则计算Pr{，(f)o)，k=1，2，⋯，n． 于是可以得到仃个实数f·(以)．接下来通过∈l的隶属函数计算隶属度 肌=比。ff-(ok))．进一步我们就能够计算 钆2≤溅嚣第器· 如果如和巧有相同的值，从结果序列中删除巧然后取以=max(m，蜥)． 步骤2．使用妻钆埘t来估计El甜男l，其中k，=1． 。 。 Wl= Wk= 2