圆锥曲线题型的解题技巧总结

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常数 ，且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段F F ，当常数小于 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于|F F |，定义中的“绝对值”与 ＜|F F |不可忽视。若 ＝|F F |，则轨迹是以F ，F 为端点的两条射线，若 ﹥|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 （1）已知定点 ，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B． C． D． （答：C）； （2）方程 表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点 及抛物线 上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） EMBED Equation.3 （参数方程，其中 为参数），焦点在 轴上时 ＝1（ ）。方程 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。 如（1）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为____（答： ）； （2）若 ，且 ，则 的最大值是____， 的最小值是___（答： ） （2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： ＝1（ ）。方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。 如（1）双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答： ）； （2）设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线C过点 ，则C的方程为_______（答： ） （3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口向上时 ，开口向下时 。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答： ） （2）双曲线：由 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以 （ ）为例）：①范围： ；②焦点：两个焦点 ；③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），四个顶点 ，其中长轴长为2 ，短轴长为2 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，椭圆 EMBED Equation.DSMT4 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆 的离心率 ，则 的值是__（答：3或 ）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： ） （2）双曲线（以 （ ）为例）：①范围： 或 ；②焦点：两个焦点 ；③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），两个顶点 ，其中实轴长为2 ，虚轴长为2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，双曲线 EMBED Equation.DSMT4 ，等轴双曲线 EMBED Equation.DSMT4 ， 越小，开口越小， 越大，开口越大；⑥两条渐近线： 。 如 （1）双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于______（答： 或 ）； （2）双曲线 的离心率为 ，则 = （答：4或 ）； （3）设双曲线 （a>0,b>0）中，离心率e∈[ ,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答： ）； （3）抛物线（以 为例）：①范围： ；②焦点：一个焦点 ，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线 ； ⑤离心率： ，抛物线 EMBED Equation.DSMT4 。 如设 ，则抛物线 的焦点坐标为________（答： ）； 5、点 和椭圆 （ ）的关系：（1）点 在椭圆外 EMBED Equation.3 ；（2）点 在椭圆上 EMBED Equation.3 ＝1；（3）点 在椭圆内 EMBED Equation.3 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交： EMBED Equation.DSMT4 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(- ,-1)）； （2）直线y―kx―1=0与椭圆 恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））； （3）过双曲线 的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）； （2）相切： EMBED Equation.DSMT4 直线与椭圆相切； EMBED Equation.DSMT4 直线与双曲线相切； EMBED Equation.DSMT4 直线与抛物线相切； （3）相离： EMBED Equation.DSMT4 直线与椭圆相离； EMBED Equation.DSMT4 直线与双曲线相离； EMBED Equation.DSMT4 直线与抛物线相离。 特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线 ＝1外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如（1）过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）； （2）过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答： ）； （3）过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于A、B两点，若 4，则满足条件的直线 有____条（答：3）； （4）对于抛物线C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，若点 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）； （5）过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是 、 ，则 _______（答：1）； （6）设双曲线 的右焦点为 ，右准线为 ，设某直线 交其左支、右支和右准线分别于 ，则 和 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）； （7）求椭圆 上的点到直线 的最短距离（答： ）； （8）直线 与双曲线 交于 、 两点。①当 为何值时， 、 分别在双曲线的两支上？②当 为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：① ；② ）； 7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示P到与F所对应的准线的距离。 如（1）已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答： ）； （2）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____； （3）若该抛物线上的点 到焦点的距离是4，则点 的坐标为_____（答： ）； （4）点P在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答： ）； （5）抛物线 上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到 轴的距离为______（答：2）； （6）椭圆 内有一点 ，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______（答： ）； 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距离分别为 ，焦点 的面积为 ，则在椭圆 中， ① ＝ ，且当 即 为短轴端点时， 最大为 EMBED Equation.3 ＝ ；② ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为bc；对于双曲线 的焦点三角形有：① ；② 。 如 （1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为________（答：6）； （2）设P是等轴双曲线 右支上一点，F1、F2是左右焦点，若 ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答： ）； （3）椭圆 的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是 （答： ）； （4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝ ，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且 是 与 等差中项，则 ＝__________（答： ）； （5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程（答： ）； 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A ，B ，若P为A B 的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B，且 分别为A、B的横坐标，则 ＝ ，若 分别为A、B的纵坐标，则 ＝ ，若弦AB所在直线方程设为 ，则 ＝ 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）； （2）过抛物线 焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）； 11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k=－ ；在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k= ；在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k= 。 如（1）如果椭圆 弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答： ）； （2）已知直线y=－x+1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答： ）； （3）试确定m的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称（答： ）； 特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！ 12．你了解下列结论吗？ （1）双曲线 的渐近线方程为 ； （2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为 为参数， ≠0）。 如与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为_______（答： ） （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线 的焦点弦为AB， ，则① ；② （7）若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 13．动点轨迹方程： （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ； 如已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答： 或 ）； ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0） ，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答： ）；　 ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如(1)由动点P向圆 作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答： ）； （2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答： ）； (3) 一动圆与两圆⊙M： 和⊙N： 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）； ④代入转移法：动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用 的代数式表示 ，再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程； 如动点P是抛物线 上任一点，定点为 ,点M分 所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答： ）； ⑤参数法：当动点 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点 ，使 ，求点 的轨迹。（答： ）； （2）若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是____（答： ）； （3）过抛物线 的焦点F作直线 交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答： ）； 注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 如已知椭圆 的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足 点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （1）设 为点P的横坐标，证明 ；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S= 若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2） ；（3）当 时不存在；当 时存在，此时∠F1MF2＝2） ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量 或 ； （2）给出 与 相交,等于已知 过 的中点; （3）给出 ,等于已知 是 的中点; （4）给出 ,等于已知 与 的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：① ；②存在实数 ；③若存在实数 ,等于已知 三点共线. （6） 给出 ，等于已知 是 的定比分点， 为定比，即 （7） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角, （8）给出 ,等于已知 是 的平分线/ （9）在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形; （10） 在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是矩形; （11）在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在 中，给出 ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在 中，给出 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 等于已知 通过 的内心； （15）在 中，给出 等于已知 是 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的中线; _1234568017.unknown _1234568145.unknown _1234568209.unknown _1234568241.unknown _1234568273.unknown _1234568289.unknown _1234568305.unknown _1234568313.unknown _1234568321.unknown _1234568325.unknown _1234568329.unknown _1234568331.unknown _1234568333.unknown _1234568334.unknown _1234568332.unknown _1234568330.unknown _1234568327.unknown _1234568328.unknown _1234568326.unknown _1234568323.unknown _1234568324.unknown _1234568322.unknown _1234568317.unknown _1234568319.unknown _1234568320.unknown _1234568318.unknown _1234568315.unknown _1234568316.unknown _1234568314.unknown _1234568309.unknown _1234568311.unknown _1234568312.unknown _1234568310.unknown _1234568307.unknown _1234568308.unknown _1234568306.unknown _1234568297.unknown _1234568301.unknown _1234568303.unknown _1234568304.unknown _1234568302.unknown _1234568299.unknown _1234568300.unknown _1234568298.unknown _1234568293.unknown _1234568295.unknown _1234568296.unknown _1234568294.unknown _1234568291.unknown _1234568292.unknown _1234568290.unknown _1234568281.unknown _1234568285.unknown _1234568287.unknown _1234568288.unknown _1234568286.unknown _1234568283.unknown _1234568284.unknown _1234568282.unknown _1234568277.unknown _1234568279.unknown _1234568280.unknown _1234568278.unknown _1234568275.unknown _1234568276.unknown _1234568274.unknown _1234568257.unknown _1234568265.unknown 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