平移非惯性参考系中的动能定理

物理与工程 　Vol. 17 　No. 1 　2007 大学生园地 平移非惯性参考系中的动能定理 张 　卓 (北京航空航天大学电子信息工程学院 350224 班 ,北京 　100083) (收稿日期 : 2006205220) 摘　要 　本文通过惯性力的引入探讨了在平移非惯性系中动能定理的形式. 关键词 　平移非惯性系 ;动能定理 ;惯性力 1 　引言 经典力学中的动能定理述为质点动能的改 变量等于力的功[ 1 ] . 即 m 2 v 2 b - m 2 v 2 a =∫ b a( l) F ·d r 或 Ek ( b) - Ek ( a) = A ab 其中 Ek = 12 m v 2 表示质点的动能. 对于质点系 ,任一过程中质点系动能的增量 等于外力做功与内力做功之和. 动能定理反映了 力的空间积累与运动物体的动能之间的关系 ,只 在惯性系中适用 ,且在所有惯性系中具有相同的 形式. 参照惯性力的引入而使牛顿运动定律在非 惯性系中形式上成立 ,本文试图通过惯性力的引 入使得动能定理在平移非惯性系中具有相同的 形式. 2 　平移非惯性系中动能定理的推导 以图 1 中两物体的运动为例 ,质量为 M 的大 物块上放着一个质量为 m 的小物块 ,两物块之间 存在摩擦力 ,滑动摩擦系数为μ,大物块与光滑水 平面之间无摩擦 ,开始时小物块以ν0 向右运动. 假 设大物块足够长. 使两物块最终能以相同的速度 运动. 以静止的水平面为参考系 ,根据质点系动量 定理可得两物体最后的共同运动速度为 v = mv0 M + m (1) 图 　1 这一过程中 (即从开始到两物块相对静止时) 系统 动能的变化为 ΔEk = m + M2 v 2 - m 2 v 2 0 = m + M 2 mv0 m + M 2 - m 2 v 2 0 = - mM 2 ( m + M) v 2 0 根据动能定理 ,系统动能的变化等于一对摩擦力 所做的功 ΔEk = - mM2 ( m + M) v 2 0 = - f s (2) 式中 s 为从开始到两物块相对静止时 m 相对 M 的位移. 当以 M 为参考系时 ,从开始到两块相对静止 前 M 为非惯性系. 若动能仍为 Ek = 12 m v 2 的形 式 ,则上述过程中系统动能的变化为 - m v 2 0 2 ,动能 的变化量不等于摩擦力所做的功. 动能定理在非 惯性系中不再适用. 在研究惯性系与非惯性系的过程中 ,通过在 非惯性系中引入惯性力使牛顿运动定律在形式上 成立. 以下将进一步分析在平移非惯性系中引入 惯性力后动能定理能否满足在形式上成立. 以地面为参考系 , m 与 M 的加速度分别为 75 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 物理与工程 　Vol. 17 　No. 1 　2007 am = f m , 　aM = f′M 其中 f = - f′为一对摩擦力. 以 M 为参考系 ,由伽利略变换 , m 的加速度 则为 a′m = am - aM 因此在 M 参考系中 , m 所受合力 ∑F = f ≠ma′m ,牛顿第二定律在非惯性系 中不成立. 引入惯性力 : Fi = - ma M ,则 ∑F = f + Fi = ma′m ,牛顿第二定律形式上成立. 假设惯性力与真 实力一样做功 ,则从开始到两物块相对静止时合 力做功为 ∫∑F ·d r =∫f + mM f ·d r = - m + MM f s 由式 (2) 　f s = m M2 ( m + M) v 2 0 ,得 ∫∑F ·d r = - m2 v20 =ΔE′k 动能定理成立. 推广至一般情况 ΔEk = m2 v 2 b - m 2 v 2 a =∫ b a( l) ( F真 + Fi ) ·d r 即在平移非惯性系中 ,真实力做功与惯性力“做 功”之和等于系统动能的改变量. 通过惯性力的引 入 ,动能定理在形式上也成立. 3 　讨论 动能定理是建立在绝对的时空观上的 ,是通 过牛顿第二定律推导出来的 ,只要牛顿第二定律 成立 ,则其必然成立. 牛顿运动定律只在惯性参考 系中成立 ,但在非惯性参考系中 ,可通过引入惯性 力 ,使牛顿第二定律在形式上也成立. 由上述推导 过程可见 ,如进一步假设惯性力做功具有与真实 力做功同样的性质 ,则在考虑了惯性力做功的情 况下 ,动能定理在平移非惯性系中也成立. 与在惯 性系中相比多了一部分“惯性力”做功. 在非惯性 系中看这一部分力做的功并不是“虚无”的. 从这 方面来讲 ,强调“惯性力”是“假象力”并不科学 ,惯 性力所产生的物理后果是真实的 ,具有一定的现 实意义. 惯性力与所谓真实力的区别源于经典力 学的框架中 ,人们对惯性系与非惯性系在观念上 认识并不平等. 在爱因斯坦的广义相对论中则认 为引力和惯性力实际上是等效的. 4 　结论 通过惯性力的引入并假设惯性力可以做功 , 导出了在平移非惯性系中的动能定理 ,该定理与 惯性系中的动能定理具有相同的形式. 参 　考 　文 　献 [ 1 ] 　钟锡华 ,周岳明. 大学物理通用教材 　力学. 北京 :北京大学 出版社 ,2001. 69 (上接第 45 页) 我们反对那种照本 (屏) 宣科 ,教而不化的教 学方式 ,它们从任何意义上都不是研究性教学. 我在湖南大学物理系任教 17 年 ,在系教学主 任岗位上工作了 11 余年. 在我的教学和管理经历 中 ,我一直坚持励志作为育人的重要一环 ,激励学 生积极寻找适合自己的学习方法 ;积极进行双语 教学和研究性教学. 部分学生在我们直接指导和 帮助下 ,正在成长为同行中的佼佼者 ,部分已成为 国家的栋梁之才 ,这是我作为教师的欣慰所在. 参 　考 　文 　献 [ 1 ] 　朱邦芬编. 清华物理八十年. 北京 : 清华大学出版社 , 2006 [ 2 ] 　湖南大学校史编审委员会. 湖南大学校史 (上册) ,长沙 : 湖 南大学出版社 , 1996 [ 3 ] 　R. P. Feynman and R. Leighton. Surely you’re joking. Mr. Feynman , N. Y. : Norton & Company , 1985 [ 4 ] 　刘寄星. 山高海阔赞彭公. 物理 ,2005 , (5) : 324～331 [ 5 ] 　彭桓武. 物理天工总是鲜———彭桓武诗文集. 北京 : 北京大 学出版社 , 2001 [6 ] 　倪光炯. 大学物理课程报告论坛集 2005 (大学物理课程报告 论坛组委会编) . 北京 :高等教育出版社 ,2005 85 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net