气体分子运动论和热力学基础之平均速率和方均根速率

nullnull*{范例8.5} 平均速率和方均根速率以最概然速率为速率单位，麦克斯韦速率分布函数的形式是什么？速率分布函数曲线有什么特点？求所有分子的平均速率和方均根速率。分子速率在区间0~v的分子数占总分子数的比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率和方均根速率的分子数占分子总数的比例为多少？[解析]利用公式设x = v/vp，麦克斯韦速率分布函数可示为这是无量纲的速率分布函数，归一化系数为在v~ v + dv区间内的分子数为dN，总速率为vdN = N0vf(v)dv，速率从0到∞积分可得全部分子的速率之和。这个和除以总分子数N0就是所有分子的平均速率用分部积分法可得null以最概然速率为速率单位，麦克斯韦速率分布函数的形式是什么？速率分布函数曲线有什么特点？求所有分子的平均速率和方均根速率。分子速率在区间0~v的分子数占总分子数的比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率和方均根速率的分子数占分子总数的比例为多少？ 利用Γ函数可简化计算。Γ函数的定义为当n为整数时，通过分部积分可直接证明Γ(n) = (n – 1)!。利用变量替换，容易证明当n = 4时，可得平均速率*{范例8.5} 平均速率和方均根速率null所有分子速率平方的平均值为利用可得方均根速率为对于同一种气体，在相同的温度下，平均速率、方均根速率与最概然速率之比都是常量。分子的平均平动动能为分子中的3表示三个自由度，kT/2是所有分子一个自由度的平均平动动能。温度越高，分子的平均平动动能就越大，表示分子运动越剧烈。平均速率、方均根速率与最概然速率都能表示分子运动的剧烈程度。*{范例8.5} 平均速率和方均根速率null分子速率在区间0~v的分子数为利用麦克斯韦无量纲的速率分布函数，上式可表示为上式还可以继续化简利用误差函数这是用误差函数表示的解析式，不妨称为分子数函数。可得当积分上限分别取1、和时，由上式即可计算分子速率小于最概然速率、平均速率和方均根速率的分子数占分子总数的比例。*{范例8.5} 平均速率和方均根速率null分子速率小于等于最概然速率的分子数占分子总数的比例是42.8%，分子数小于总分子数的一半。以最概然速率vp为速率单位，速率分布曲线就只有一条。任何一段曲线下的面积都表示分子数占总分子数的比例。而分子速率大于最概然速率的分子占总数的比例是57.2%，分子数大于总分子数的一半。分子数大于总分子数的一半。当速率大于最概然速率的3倍时，分子数比例就很小了。null当 时，N/N0是分子速率小于平均速率的分子数占分子总数的比例，这就是53.31%，分子数越过总分子数的一半。分子速率在0~v之间的分子数占分子总数的比例是v的单调增函数，这是因为v越大，0~v之间的分子数就越多。当 时，N/N0是分子速率小于方均根速率的分子数占分子总数的比例，这就是60.84%。当v = 2.5vp时，分子速率从0到v的分子数就占了全部分子数的绝大部分。