八年级数学培优资料

1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1） （2） 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时， ，是在因式分解过程中常用的因式变换。 解： 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算 分析：算式中每一项都含有 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：原式 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组 ，求代数式 的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把 和 看成整体，它们的值分别是3和 ，观察代数式，发现每一项都含有 ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有 和 的式子，即可求出结果。 解： 把 和 分别为3和 带入上式，求得代数式的值是 。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n， 一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 对任意自然数n， 和 都是10的倍数。 一定是10的倍数 5、中考点拨： 例1。因式分解 解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。 例2．分解因式： 解： 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。 题型展示： 例1. 计算： 精析与解答： 设 ，则 说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有 的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。 例2. 已知： （b、c为整数）是 及 的公因式，求b、c的值。 分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到 是 及 的因式。因而也是 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。 解： 是 及 的公因式 也是多项式 的二次因式 而 b、c为整数 得： 说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式 ，从而简便求得 。 例3. 设x为整数，试判断 是质数还是合数，请说明理由。 解： 都是大于1的自然数 是合数 说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。 【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2） （n为正整数） （3） 2. 计算： 的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整数，且 ，求x、y。 4. 证明： 能被45整除。 5. 化简： ，且当 时，求原式的值。 2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当 时，有 （2）当 时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把 分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 分析： 。 再利用平方差公式进行分解，最后得到 ，故选择B。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式 有一个因式是 ，求 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出 的值。 解：根据已知条件，设 则 由此可得 由（1）得 把 代入（2），得 把 代入（3），得 3. 在几何题中的应用。 例：已知 是 的三条边，且满足 ，试判断 的形状。 分析：因为题中有 ，考虑到要用完全平方公式，首先要把 转成 。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解： 为等边三角形。 4. 在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。 分析：先根据已知条件把奇数示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为 （ 为整数） 则 由此可见， 一定是8的倍数。 5、中考点拨： 例1：因式分解： ________。 解： 说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。 例2：分解因式： _________。 解： EMBED Equation.2 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。 题型展示： 例1. 已知： ， 求 的值。 解： 原式 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。 例2. 已知 ， 求证： 证明： 把 代入上式， 可得 ，即 或 或 若 ，则 ， 若 或 ，同理也有 说明：利用补充公式确定 的值，命题得证。 例3. 若 ，求 的值。 解： 且 又 两式相减得 所以 说明：按常规需求出 的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。 【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2） （3） 2. 已知： ，求 的值。 3. 若 是三角形的三条边，求证： 4. 已知： ，求 的值。 5. 已知 是不全相等的实数，且 ，试求 （1） 的值；（2） 的值。 4、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式 分解因式，所得的结果为（ ） 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式 故选择C 例2. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把 ， 分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 解法2： 2. 在几何学中的应用 例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足 证明：以a、b、c为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明： 3. 在方程中的应用 例：求方程 的整数解 分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 解： 4、中考点拨 例1.分解因式： _____________。 解： 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。 例2．分解因式： ____________ 解： EMBED Equation.2 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。 例3. 分解因式： ____________ 解： EMBED Equation.2 说明：分组的目的是能够继续分解。 5、题型展示： 例1. 分解因式： 解： 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。 例2. 已知： ，求ab+cd的值。 解：ab+cd= 说明：首先要充分利用已知条件 中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。 例3. 分解因式： 分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着 的一个因式，因此变形的目的是凑 这个因式。 解一（拆项）： 解二（添项）： 说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？ 【实战模拟】 1. 填空题： 2. 已知： 3. 分解因式： 4. 已知： ，试求A的表达式。 5. 证明： 5、用十字相乘法把二次三项式分解因式 【知识精读】 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项 （a、b、c都是整数，且 ）来说，如果存在四个整数 满足 ，并且 ，那么二次三项式 即 可以分解为 。这里要确定四个常数 ，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。 【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例1. 已知： ，求x的取值范围。 分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解： 例2. 如果 能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。 分析：应当把 分成 ，而对于常数项-2，可能分解成 ，或者分解成 ，由此分为两种情况进行讨论。 解：（1）设原式分解为 ，其中a、b为整数，去括号，得： 将它与原式的各项系数进行对比，得： 解得： 此时，原式 （2）设原式分解为 ，其中c、d为整数，去括号，得： 将它与原式的各项系数进行对比，得： 解得： 此时，原式 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足 ，求长方形的面积。 分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解： 或 又 解得： 或 ∴长方形的面积为15cm2或 3、在代数证明题中的应用 例. 证明：若 是7的倍数，其中x，y都是整数，则 是49的倍数。 分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一： ∵ 是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） ∴ 是7的倍数 而2与7互质，因此， 是7的倍数，所以 是49的倍数。 证明二：∵ 是7的倍数，设 （m是整数） 则 又∵ ∵x，m是整数，∴ 也是整数 所以， 是49的倍数。 4、中考点拨 例1.把 分解因式的结果是________________。 解： 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2. 因式分解： _______________ 解： 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。 5、题型展示 例1. 若 能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2 解： -6可分解成 或 ，因此，存在两种情况： 由（1）可得： ，由（1）可得： 故选择C。 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。 例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足 。 求证： 证明： 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。 例3. 若 有一因式 。求a，并将原式因式分解。 解： 有一因式 ∴当 ，即 时， 说明：由条件知， 时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是 ，分解时尽量出现 ，从而分解彻底。 【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2） （3） 2. 在多项式 ，哪些是多项式 的因式？ 3. 已知多项式 有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。 4. 分解因式： 5. 已知： ，求 的值。 7、因式分解小结 【知识精读】 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 下面我们一起来回顾本章所学的内容。 【分类解析】 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 ， ， 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式 解一：将 拆成 ，则有 解二：将常数 拆成 ，则有 3. 在证明题中的应用 例：求证：多项式 的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明： 设 ，则 4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式： 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。 中考点拨： 例1.在 中，三边a,b,c满足 求证： 证明： 说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。 例2. 已知： __________ 解： 说明：利用 等式化繁为易。 题型展示： 1. 若x为任意整数，求证： 的值不大于100。 解： 说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。 2. 将 解： 说明：利用因式分解简化有理数的计算。 【实战模拟】 1. 分解因式： 2. 已知： 的值。 3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使 ，求矩形的面积。 4. 求证： 是6的倍数。（其中n为整数） 5. 已知：a、b、c是非零实数，且 ，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较 的大小。 10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ； 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则 （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则 （n为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】 例1：计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 分析：原式 故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。 例2：已知 ，求 的值。 分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式 例3：已知： ，求下式的值： 分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解： 故原式 EMBED Equation.2 例4：已知a、b、c为实数，且 ，那么 的值是多少？ 分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 解：由已知条件得： 所以 即 又因为 所以 例5：化简： 解一：原式 解二：原式 说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。 例1、计算： 解：原式 说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。 例2、已知： ，则 _________。 解： 说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。 中考点拨： 例1：计算： 解一：原式 解二：原式 说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。 例2：若 ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 解：原式 故选A 【实战模拟】 1. 已知： ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，求 的值。 3. 计算： 4. 若 ，试比较A与B的大小。 5. 已知： ，求证： 。 11、公式变形与字母系数方程 【知识精读】 含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。 公式变形实质上是解含有字母系数的方程 对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程 型，讨论如下： （1）当 时，此时方程 为关于x的一元一次方程，解为： （2）当 时，分以下两种情况： <1>若 ，原方程变为 ，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解； <2>若 ，原方程变为 ，这是个矛盾等式，故原方程无解。 含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。 下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程 【分类解析】 1. 求含有字母系数的一元一次方程的解 例1. 解关于x的方程 分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。 解：去分母得： 移项，得 2. 求含字母系数的分式方程的解 例2. 解关于x的方程 分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。 解：若a、b全不为0，去分母整理，得 对 是否为0分类讨论： （1）当 ，即 时，有 ，方程无解。 （2）当 ，即 时，解之，得 若a、b有一个为0，方程为 ，无解 若a、b全为0，分母为0，方程无意义 检验：当 时，公分母 ，所以当 时， 是原方程的解。 说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里a、b全不为0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解。当a、b中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当a、b全为0时，方程不存在。最后对字母条件归纳，得出方程的解。 3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件 例3. 如果关于x的方程 有唯一解，确定a、b应满足的条件。 分析：显然方程存在的条件是： 且 解：若 且 ，去分母整理，得 当且仅当 ，即 时，解得 经检验， 是原方程的解 应满足的条件： 且 说明：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是a、b全不为0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件。因为是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。 4. 在其它学科中的应用（公式变形） 例4. 在物理学中我们学习了公式 ，其中所有的字母都不为零。已知S、 、t，试求a。 分析：利用字母系数方程完成公式变形，公式变形时要分清哪个量是被表示的量，则这个量就是未知数，其它的量均视为已知量，然后按解字母系数方程求解。 解： 5、中考点拨 例1. 填空：在 中，已知 且 ，则 ________。 解： 例2. 在公式 中，已知P、F、t都是正数，则s等于（ ） A. B. C. D. 以上都不对 解： ，故选A 说明：以上两题均考察了公式变形。 6、题型展示： 例1. 解关于x的方程 解：原方程化为： 即 说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式 。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。 例2. 解关于x的方程。 解：去括号： 说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。 例3. 已知 ，求z。（ ） 分析：本题是求z，实质上是解含有字母系数的分式方程，应确定已知量和未知量，把方程化归为 的形式，便可求解。 解： 又 【实战模拟】 1. 解关于x的方程 ，其中 。 2. 解关于x的方程 。 3. a为何值时，关于x的方程 的解等于零？ 4. 已知关于x的方程 有一个正整数解，求m的取值范围。 5. 如果a、b为定值，关于x的一次方程 ，无论取何值，它的根总是1，求a、b的值。 12、分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程： 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以 ，得 例2. 解方程 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现 的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： 方程两边通分，得 经检验：原方程的根是 例3. 解方程： 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解：由原方程得： 即 例4. 解方程： 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为： 约分，得 方程两边都乘以 注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。 5、中考题解： 例1．若解分式方程 产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是： 化简原方程为： 把 代入解得 ，故选择D。 例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。 解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得： 答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。 6、题型展示： 例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。 解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时 由题意，得 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。 例2. m为何值时，关于x的方程 会产生增根？ 解：方程两边都乘以 ，得 整理，得 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根 【实战模拟】 1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. B. C. D. 2. 如果关于x的方程 A. B. C. D. 3 3. 解方程： 4. 求x为何值时，代数式 的值等于2？ 5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的 ，求甲、乙两队单独完成各需多少天？ 13、分式总复习 【知识精读】 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若 ，试判断 是否有意义。 分析：要判断 是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断 与零的关系。 解： 即 或 中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算： 分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。 解：原式 例3. 解方程： 分析：因为 ， ，所以最简公分母为： ，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于 故可得如下解法。 解： 原方程变为 经检验， 是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知 与 互为相反数，求代数式 的值。 分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因为 ， ，利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值。 解：由已知得 ，解得 原式 把 代入得：原式 4. 用方程解决实际问题 例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。 解：设这列火车的速度为x千米/时 根据题意，得 方程两边都乘以12x，得 解得 经检验， 是原方程的根 答：这列火车原来的速度为75千米/时。 5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。 例6. 已知 ，试用含x的代数式表示y，并证明 。 解：由 ，得 6、中考原题： 例1．已知 ，则M＝__________。 分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。 解： 例2．已知 ，那么代数式 的值是_________。 分析：先化简所求分式，发现把 看成整体代入即可求的结果。 解：原式 7、题型展示： 例1. 当x取何值时，式子 有意义？当x取什么数时，该式子值为零？ 解：由 得 或 所以，当 和 时，原分式有意义 由分子 得 当 时，分母 当 时，分母 ，原分式无意义。 所以当 时，式子 的值为零 例2. 求 的值，其中 。 分析：先化简，再求值。 解：原式 【实战模拟】 1. 当x取何值时，分式 有意义？ 2. 有一根烧红的铁钉，质量是m，温度是 ，它放出热量Q后，温度降为多少？（铁的比热为c） 3. 计算： 4. 解方程： 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？ 6. 已知 ，求 的值。 3、三角形及其有关概念 【知识精读】 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。 4. 补充性质：在 中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则 。 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。 5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】 例1. 锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（ ） A. B. C. D. 分析： 因为 为锐角三角形，所以 又∠C＝2∠B， 又∵∠A为锐角， 为锐角 ，即 ，故选择C。 例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。 解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x，3x 解得： 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C 例3. 如图，已知：在 中， ，求证： 。 分析：欲证 ，可作∠ABC的平分线BE交AC于E，只要证 即可。为与题设 联系，又作AF//BE交CB的延长线于F。 显然∠EBC＝∠F，只要证 即可。由 可得证。 证明：作∠ABC的角平分线BE交AC于E，过点A作AF//BE交CB的延长线于F 又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE ∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF 又∵AB＋FB＞AF，即2AB＞AF 又∵ ，又∵ 例4. 已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的 与 之间。 分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。 证明：如图，设 的三边为a、b、c，其中 ， 因此，c是最小边， 因此， ，即 故最小边在周长的 与 之间。 中考点拨： 例1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ） A. 50 B. 100 C. 180 D. 200 分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。 解： 所以选择C 例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（ ） A. 大于2 B. 小于12 C. 大于2小于12 D. 不能确定 分析：根据三角形三边关系应有 ，即 所以应选C 例3. 已知：P为边长为1的等边 内任一点。 求证： 证明：过P点作EF//BC，分别交AB于E，交AC于F， 则∠AEP＝∠ABC＝60° 在 中， 是等边三角形 题型展示： 例1. 已知：如图，在 中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。求证： （1）∠BEC＞∠BAC； （2）AB＋AC＞BE＋EC。 分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。 证明：（1）∵∠BED是 的一个外角， 同理， 即 （2）延长BE交AC于F点 即 例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。 已知：如图，在 中， 是 的外角，AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD。 求证：∠AFB＝45° 分析：欲证 ，须证 ∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD ∴要转证∠EAB＋∠ABD＝270° 又∵∠C＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 ∴问题得证 证明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C ∠ABD＝∠CAB＋∠C ∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90° ∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD 在 中， 【实战模拟】 1. 已知：三角形的三边长为3，8， ，求x的取值范围。 2. 已知： 中， ，D点在BC的延长线上，使 ， ， ，求α和β间的关系为？ 3. 如图， 中， 的平分线交于P点， ，则 （ ） A. 68° B. 80° C. 88° D. 46° 4. 已知：如图，AD是 的BC边上高，AE平分 。 求证： 5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。 6、全等三角形及其应用 【知识精读】 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 4. 寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 (翻折 如图（1），(BOC≌(EOD，(BOC可以看成是由(EOD沿直线AO翻折180(得到的； (旋转 如图（2），(COD≌(BOA，(COD可以看成是由(BOA绕着点O旋转180(得到的； (平移 如图（3），(DEF≌(ACB，(DEF可以看成是由(ACB沿CB方向平行移动而得到的。 5. 判定三角形全等的方法： （1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 （2） 推论：角角边定理 6. 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 【分类解析】全等三角形知识的应用 证明线段（或角）相等 例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC 分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC. 证明：在ΔACD和ΔABE中， ∴ ΔACD≌ΔABE (SAS) ∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等） 又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB－AD=AC－AE 即 BD=CE 在ΔDBF和ΔECF中 ∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS） ∴ BF=FC （全等三角形对应边相等） （2）证明线段平行 例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD 分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD. 证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知） ∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的定义） 在ΔABF与ΔCDE中， ∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS） ∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等) ∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行） （3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE 分析： (ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。 证明：取CD中点F，连接BF ∴ BF=AC,且BF∥AC （三角形中位线定理） ∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵ AB=AC ∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角） ∴ ∠3＝∠2 在ΔCEB与ΔCFB中， ∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS) ∴ CE=CF=CD （全等三角形对应边相等） 即CD=2CE （ⅱ）加倍法 证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF. 在ΔAEC与ΔBEF中， ∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS) ∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等) ∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行) ∵ ∠ACB+∠CBF=180o, ∠ABC+∠CBD=180o, 又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC ∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等） 在ΔCFB与ΔCDB中， ∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS) ∴ CF=CD 即CD=2CE 说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可