2013年高考数学全国卷1理科

绝密★启封并使用完毕前 2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1、已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－ eq \r(5)＜x＜ eq \r(5)｝，则 ( ) A、A∩B=( B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B 2、若复数z满足 A、－4 （B）－ eq \f(4,5)eq \f(4,5) QUOTE （C）4 （D） 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 4、已知双曲线C:eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为f(\r(5),2) ，则C的渐近线方程为 ( ) A、y=±eq \f(1,4) x （B）y=±eq \f(1,3) x （C）y=±eq \f(1,2) x （D）y=±x 5、执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于 ( ) A、[－3,4] B、[－5,2] C、[－4,3] D、[－2,5] 6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A、 eq \f(500π,3)cm3 B、 eq \f(866π,3)cm3eq \f(1372π,3) QUOTE C、cm3 D、 eq \f(2048π,3)cm3 7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝ ( ) A、3 B、4 8、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( ) A、18+8π B、8+8π C、16+16π D、8+16π 9、设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( ) A、5 B、6 10、已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( ) A、eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B、eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1f(x2,27) QUOTE C、＋eq \f(y2,18)＝1 D、eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1 11、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x　 x≤0,ln(x＋1)　 x＞0))，若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是( ) A、（－∞，0] B、（－∞，1] C、[－2，1] D、[－2，0] 12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,… 若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝ eq \f(cn＋an,2)，cn＋1＝ eq \f(bn＋an,2)，则( ) A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____. 14、若数列{an}的前n项和为Sn＝ eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3) ，则数列{an}的通项是an=______. 15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______ 16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本小题满分12分） 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB= eq \r(3) ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90° (1)若PB= eq \f(1,2)，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA 18、（本小题满分12分） 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。 19、（本小题满分12分） 一批产品需要进行质量检验，检验是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。 (20)(本小题满分12分) 已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. （21）（本小题满分共12分） 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2 （Ⅰ）求a，b，c，d的值 （Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kgf(x)，求k的取值范围。 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。 （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=eq \r(3) ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。 （23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x=4+5cost,y=5+5sint))（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。 （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π） （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3. （Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； （Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－eq \f(a,2) eq \f(1,2) QUOTE ， )时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围. 开始 输入t t<1 s=3t s = 4t－t2 输出s 结束 是 否 侧视图 俯视图 4 4 4 2 2 2 4 2 主视图 A B C P A B C C1 A1 B1