布朗运动

随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 第三章 布朗运动（维纳过程） 1.1827年植物学家布朗观察到现象 2. 1905 爱因斯坦由物理定律导出其数学描述 3. 1918后维纳提出其简明的数学——维纳过程 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 布朗运动内容 ¾布朗运动定义 ¾布朗运动的一些性质 ¾与布朗运动的相关的随机过程 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 布朗运动定义 称实随机过程{Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动,如果 0(1) 0=W (2) { , 0}≥tW t 是平稳的独立增量过程． 2(3) 0 , ~ (0, ( ))σ∀ ≤ < − −t ss t W W N t s σ2 =1时，称为布朗运动 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 数字特征 设 {Wt,t≥0}是标准布朗运动.则 ( ) 0, ( ) , 0, ( , ) ( , ) min( , ), , , 0 = = ≥ = = ≥ W W W W m t D t t t R s t C s t s t s t 证明 由定义易知有 ( ) 0, ( ) , 0W Wm t D t t t= = ≥ 对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 ( , ) E[ ]W s tR s t WW= 0 2 0 2 2 E[( )( )] E[( )( )] E[ ] 0 E[ ] [ ] (E[ ]) min( , ) s t s s s t s s s s s W W W W W W W W W W W DW W s s t = − − + = − − + = + = + = = 独立性 ( , ) ( , ) ( ) (t) min( , )W W W WC s t R s t m s m s t= − = 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数 一维分布函数 11 tF(t ; ) = P(W ≤ )x x 2 1 - 2 - 1 1 2 x x te dx tπ ∞= ∫ 1t 1(其中注意到有 N(0,t ))�W 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数 二维分布函数为 1 21 2 1 2 t 1 t 2F( , ; , ) = P(W ≤ ,W ≤ )t t x x x x + −1 1 2 1t 1 t t t 2= P(W ≤ ,W (W W )≤ )x x 所以 ξ ξ η+1 2 1 2 1 2F( , ; , ) = P( ≤ , ≤ )t t x x x x 令 ,则 服从 分布， 服从 分布ξ η ξ η= = − −1 2 1t t t 1 2 1W , W W N(0, ) N(0, )t t t η ξ η ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − −∞ −∞ −−∞ −∞ − = ∈ = = ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 P( ≤ - )P( ) P( ≤ - ) ( ) ( ) ( ) ( ) N(0,t ) ( ) N(0,t -t ) x x t x x y t t t t t t x y dy x y y dy z dz y dy y z 其中 为 分布的密度函数， 为 分布的密度函数。 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 例1 验证布朗运动是正态过程 设 W={Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动，则由 定义，对任意的n≥1,及任意的 nttt <<<≤ L210 证明 2 11, , , n nt t t t t 1W W W W W −− −L 1 2 1N(0 ( ))k kt t k k 相互独立且 W W t tσ− −− −� ， 所以 2 1 11, , , n nt t t t tW W W W W −− −L（ ）是n维正态变量. 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 又由于 2 1 11( , , , )n nt t t t tW W W W W −− − ⋅L21( , , , )nt t tW W W =L ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 100 100 110 111 L MLMM L L L 21( , , , )nt t tW W WL 是n维正态变量.所以 所以W是正态过程. 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 布朗运动的性质 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动，则W具有 ¾ 对称性 即 -W= {-Wt,t≥0}也是标准布朗运动 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 ¾ 自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 Wat a1/2Wt� 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 ¾ 时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T 则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程). 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 ¾ 布朗运动{Wt,t≥0} 的轨道是连续的 事实上，利用布朗运动定义中 的（2）（3）两条 件，可以验证布朗运动满足随机过程的柯尔莫哥洛 夫（轨道）连续性判断准则。 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 布朗运动的仿真样本轨道 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 ¾ 布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的 0 ( lim x) 1tt WP t∆ → ∆ > =∆事实上，有 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动 如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动. 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 2. 布朗运动2( , )µ σ − 2, R, 0, B , 0t tt W tµ σ µ σ µ σ ∈ > = + ≥ 设 定义 2 2, ,B ={B , 0}t tµ σ µ σ µ σ≥ 2则称随机过程 为( , )-布朗运动 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 1 µ σ 2例 计算( , )-布朗运动的均值函数和相关函数 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 2 µ σ 2例 验证( , )-布朗运动是一个正态过程 证明 nttt <<<≤ L210对任意的n≥2,及任意的 2 11, , , n nt t t t tB B B B B −− −L 1 相互独立且 1 2 1 1( ( ) ( ))k kt t k k k kB B N t t t tµ σ− − −− − −服从 ， 分布 2 11, , , n nt t t t tB B B B B −− −L所以 1（ ）是n维正态变量. 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 又由于 21( , , , )nt t tB B B =L ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 100 100 110 111 L MLMM L L L 2 1 11, , , n nt t t t tB B B B B −− −L（ ） 是n维正态变量.21( , , , )nt t tB B BL所以 µ σ 2所以，( , )-布朗运动是一个正态过程 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 3. 布朗桥 对任意的 定义∈ = − 1 [0,1], B ,brt t t W tW brB ={B , [0,1]} 0 0brt t ∈则称随机过程 为从 到 的布朗桥 br 0 1B =B =0br易知： 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 3例 计算布朗桥的均值函数和相关函数 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 4例 验证布朗桥是正态过程 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 a b br t t 例 定义从a到b的布朗桥： → = + ∈ 5 B a+(b-a)t B , [0,1]t 其中a和b为实数 试计算其数字特征，并验证它也是正态过程 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 多元特征函数 设n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为 F(x1,x2,…,xn),则称 1 1 2 2( ) 1 2( , , ) E[ ]n n u Xj X u u X nu u u eϕ + + += LL E[ ] TjuXe= 1 1 2 2( ) 1 2( , , , )n n j u x u x u x ne dF x x x +∞ +∞ + + + −∞ −∞= ∫ ∫ LL L 为n维随机变量X的特征函数.也称多元特征函数 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 n维正态变量的特征函数 1 2, ,..., ) µ C µ C nX X X N设n维随机变量( 服从正态分布（ ， ） 其中 为均值向量， 为协方差矩阵. n则该 维向量的特征函数为 1( ) 2 1 2( , ,..., ) T Tj u uCu nu u u e µϕ −= 1 1 1 1 2 ( , ) n n n k k l k l l k k kCj u u Ou V X X e µ = = = −∑ ∑∑= 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 正态过程的特征函数 设X= {Xt,t∈[0，+∞}}是正态过程, 对任意n≥1及 t1,t2,…,tn∈[0，+∞} n维随机变量{Xt1, Xt2, …, Xt n)} 的n维特征函数 1( ( ) ) 2 1 1 2( , , ; , ,..., )ϕ −=L T T X kjm t u uCu n nt t u u u e 1 1 1 ( ) (1 , 2 ) = = = −∑ ∑∑= n X k X k n n k k l k l l k j u u um t C t t e XX C称为正态过程 的特征函数，其中 (,)为协方差函数.⋅ ⋅ 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 4. 几何布朗运动 2 设 定义 其中 是( , )-布朗运动, 则称随机过程 为几何布朗运动 µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ ∈ > = ≥ = ≥ 2, 2 2, B , B R, 0, B , 0 B B { , 0} t t ge t t ge e t e t 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 例 计算几何布朗运动的均值函数和相关函数5 geB解：均值函数 m = get( ) E[B ]t µ σ µ σ+= 2,BE[ ]=E[ ]t tt We e σµ= E[ ]tWte e σ µ 2 2= t te e 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 geB相关函数 µ σµ σ ++=R ( , ) [E[ ]ts t Ws Ws t e e σµ σ σµ σ σ µ σ −+ −+ −+ = = 2 2 ( )( ) 2 ( )( ) 2 ( )( ) 2 2 E[ ] E[ ]E[ ] = t ss t ss W Ws t W W Ws t W t ss t s e e e e e e e e e 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 5. 反射布朗运动 定义 则称随机过程 为反射布朗运动 = ≥ ≥⎧= ≥⎨−⎩ = ≥ B , 0 , 0 , 0, <0 B {B , 0} re t t t t t t re re t W t W W tW W t 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 例 计算反射布朗运动的一维分布函数6 解：x 0时，有 ≥ = ≤F( ; ) P(B )rett x x = ≤ = − ≤ ≤P( ) P( )t tW x x W x ϕ+−= ∫ ( )x tx y dy 其中 即 分布的密度函数ϕ π −= 2 21( ) , (0, )2 y tt y e N tt 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 例 计算反射布朗运动的均值函数和方差函数7 reB解：均值函数 m =( ) E[ ]tt W ϕ ϕ+∞ +∞−∞= =∫ ∫0( ) 2 ( )t ty y dy y y dy π −+∞= ∫ 2 2 0 12 2 y ty e dyt y y(令 z= t tπ −+∞= ∫ 2 2 0 2) 2 y te dy z t ππ +∞ −= =∫ 2 2 0 2 2 2 z te dz 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 reB方差函数 = 2 2D ( ) E[ ]-E[ ]t tt W W π π= − 2 2t 2tE[ ]- =tW t 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 6. 奥恩斯坦-乌伦贝克过程 设 定义 其中 则称随机过程 为奥恩斯坦 乌伦贝克过程 α γ α α α γ − > = ≥ = − = ≥ ∫ ( ) 2 2 0 0, B , 0 1( )= ( 1),2 B {B , 0} - ou t t t t s t ou ou t e W t t e ds e t 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 例 计算奥恩斯坦 乌伦贝克过程的均值函数和相关函数8 - ouB解：均值函数 m α γ−= ( )( ) E[ ]t tt e Wα γ −= ( )E[ ]=0t te W ouB相关函数 α αγ γ− −= ( ) ( )R ( , ) E[ ]s ts ts t e W e W 不妨设0α γ γ− + ≤ <( ) ( ) ( )= E[ ]s t s te W W s t α γ γ γ γ − +( ) ( ) ( ) ( ) ( )= E[ ( - + )]s t s t s se W W W W α α γ γ γ γ α γ αγ − + − + − + − + = + = ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) = E[ ( - )]+ E[ ] 0 E[ ] ( ) s t s t s t s s s t s s t e W W W e W e W s e 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 布朗运动的逼近与仿真 三种逼近方式： ¾基于随机游动的逼近 ¾布朗运动的帕里-维纳示 （一个标准的布朗运动），给出其样本轨道的仿真 ¾基于小波函数的逼近方法 随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 作业：1、2、3、6、8