地震作用最大方向的确定

� 第 21卷第 6期 建 � 筑 � 科 � 学 Vo l�21, No. 6� � � 2005年 12月 � BU ILDING SCIENCE Dec. 2005 [文章编号 ] 1002- 8528( 2005) 06- 0016- 05 地震作用最大方向的确定 李 � 剑,陈岱林 (中国建筑科学研究院 建筑工程软件研究所, 北京 100013) [摘 � 要 ] 抗震设计中, 随着地震作用输入方向的不同,结构内的地震效应值随之变化, 地震作用方向是设计分析的 重要参数。本文讨论了确定地震效应量最大值,以及对应的地震作用方向的, 并提出了应用的建议。 [关键词 ] 地震作用最大方向; 振型分解反应谱法;振型组合 [中图分类号 ] TU311. 3; TU312+ . 1� � � [文献标识码 ] A Determ ination o f the D irection ofM ax imum Se ism ic Response LI Jian, CHEN Da i�lin ( PKPM CAD Eng ineer ing Departm ent, China Academy o f Bu ild ing Research, Be ijing 100013, Ch ina) [ Abstract]The paper discusses the m ethod of de term ination o f the m ax imum se ism ic response and its correspondent direction, and som e adv ices on the app lica tion o f the conc lusion are g iven. In the se ism ic analysis, the se ism ic response o f the struc ture w ill change w ith d ifferen t d irec tions of the se ism ic action. So the d irection of the seism ic action is an im po rtant factor fo r seism ic ana ly sis. [ Keywords] d irection o f the m ax im um seism ic response; spectrum ana lysis; com bination o fm ode [收稿日期 ] 2005- 03- 02 [作者简介 ]李 � 剑 ( 1980- ) ,男,在读硕士生 [联系方式 ] li jian@ tsinghua. org. cn 1� 地震作用最大方向的提出 地震作用从根本上说是一系列的地面加速度的 输入。加速度本身的矢量属性, 决定了在结构反应 计算时,必须考虑地震波的输入方向。随着地震输 入方向的不同,结构的动力反应也不相同,从而造成 了结构内各点的地震作用效应将取不同的数值。 具体而言,对于目前工程设计中普遍采用的振 型分解反应谱方法, 其思路是求出结构各振型在地 震作用下的反应强度, 其可视作地震作用在各振型 上投影的最大值,再将反应值进行组合,得到最终的 地震作用标准值。利用这种方法, 首先要假定地震 作用输入方向。地震效应值随输入方向的不同而变 化:随着地震作用方向的改变, 地震作用在各振型上 的投影随之改变,因此其作用效应亦将改变。对于 振型组合后的地震效应值,难以判断最不利的地震 作用方向。 本文寻求一种计算方法, 在振型分解反应谱法 下,可以针对某一地震效应量,找到其取最大值时的 地震作用方向,此方向即为针对这一效应量的地震 作用最大方向。 需要强调一点,这里的地震效应值可以为任意 地震反应量,如楼层地震力、层间剪力、某构件的内 力等。对于不同的地震效应值, 其取最大值的方向 也不尽相同。因此,地震作用最大方向是针对某一 特定地震效应值而言的。 2� 规范对地震作用方向的规定 如何选取合适的地震作用方向进行地震作用计 算,是倍受关注的问之一。一方面是因为对于某 一特定地震效应值,找到其取最大值时的地震作用 方向将是本文主要分析的;另一方面,各地震效 应值不是在同一方向上达到最大, 因此,严格的说应 当在所有这些方向作用下进行结构计算,实际上,目 前还没有找到可以接受的计算方法。 由于这些因素,各国规范对于地震作用计算方 第 6期 李 � 剑, 等:地震作用最大方向的确定 向做出了相对简单的规定。其基本原则是在两个正 交方向上进行,以及在主要抗侧力体系的方向上进 行。 我国现行规范对地震作用计算时, 地震作用方 向的要求如下: �高规 [ 1]中 3. 3. 2条第一款规定: !一般情况 下,应允许在结构两个主轴方向分别考虑水平地震 作用计算;有斜交抗侧力构件的结构,当相交角度大 于 15∀时,应分别计算各抗侧力构件方向的水平地 震作用。# �高规 对此条的条文说明: !某一方向水 平地震作用主要由该方向抗侧力构件承担 #。 第二款规定: !质量与刚度分布明显不对称、不 均匀的结构,应计算双向水平地震作用下的扭转影 响;其他情况,应计算单向水平地震作用下的扭转影 响。# 美国 NEHRP[ 3]也只是在原则上给出了更全面 的地震作用方向要求。其第 4. 4. 1条抗震设计基础 中提到: !设计地面运动应假定发生在结构的任意 方向上 #。又有 4. 4. 2条规定: !设计中采用的地震 作用方向应产生最不利的荷载效果#。 而作为实际设计应用中的妥协,其 4. 4. 2. 1 ~ 4. 4. 2. 3款给出了具体的规定: 4. 4. 2. 1条: !对抗震设计分类为 B的结构,允 许独立考虑两个正交方向的地震作用, 耦联作用可 以忽略。#也就是说, 只需独立验算两个正交方向的 地震作用。 4. 4. 2. 2与 4. 4. 2. 3款规定了 C、D、E类结构 的要求,使用三维振动分析模型对结构进行分析,考 虑扭转耦联,可以分别考虑两个正交方向的地震作 用 SX与 SY,但要进行地震作用方向组合: S1 = |SX | + 0. 3 |SY |, � � S2 = |SY | + 0. 3 |SX | 中美两国规范中对于地震作用方向组合采用了 不同的方法,其中 中国规范为: S1 = S2X + ( 0. 85SY ) 2 S2 = S 2 Y + ( 0. 85SX ) 2 SEK = max( S1, S2 ) 美国规范为: S1 = |SX | + 0. 3 |SY | S2 = |SY | + 0. 3 |SX | SEK = max( S1, S2 ) 这两种方法在确定 SX与 SY取不同比值时的关 系如表 1所示。 表 1� 中美规范地震效应方向组合值比较 |S X /SY | 1. 0 0. 8 0. 6 0. 5 0. 4 0. 2 |SEK /SY | 中国 1. 312 1. 209 1. 123 1. 087 1. 056 1. 014 美国 1. 300 1. 240 1. 180 1. 150 1. 120 1. 060 相差 (% ) - 0. 91* 2. 56 5. 08 5. 80 6. 06 4. 54 * 负值表示美国规范组合值比中国规范组合值小。 可以看出,当 X与 Y两个方向的地震效应相接 近时,中美两国规范的组合值大致相当, 都放大了 0. 3倍左右; 随着两个方向地震作用差异的加大, 中 国规范的组合值相对更小; 当两个方向地震效应之 比在 0. 4左右时,中国规范的组合值与美国规范相 差最大约 6%。 3� 地震作用最大方向的确定 前面的讨论,阐明了在确定合适的地震作用验 算方向时,存在两方面的问题:如何确定针对某一特 定地震效应值的地震作用最大方向;在第一点的基 础上,如何选取合适的地震作用验算方向。 我们通过下面的推导,找到前者的规律。即找 到某一地震效应值取驻值时,地震作用的方向。注 意以下讨论是针对单方向地震作用,对双方向地震 作用也可得到类似的结果。 3. 1� 地震效应值的地震作用最大方向 设地震作用输入方向为 � r= { cos�, sin�}T 则第 i振型的地震作用标准值为: S i (�) = S ix cos�+ S iy sin� 其中, S ix为 �= 0∀时, 即单独 X 方向地震作用时的 i 振型地震作用标准值; S iy为 �= 90∀时, 即单独 Y方 向地震作用时地震作用标准值。 设S i = {S ix, S iy } ,则 S i ( �) = S i r 17 建 筑 科 学 第 21卷 我们考察地震效应的振型组合值 S ( �), 采用 SRSS组合方式: 则 � S ( �) = ∃n i= 1 S i ( �) 2 或 � � S ( �) = ST� S� 其中, � S�= {S1 ( �), S2 ( �) %Sn (�) }T, 有 S ( �) 2 = ∃n i= 1 S i (�) 2 = ∃n i= 1 ( S i r) T ( S i r) = r T ( ∃n i= 1 S i T S i ) r (1) 设 S = ∃n i= 1 S i T S i, � 整理后有: S = S2X SXY SXY S2Y 其中, � S2X = ∃n i= 1 S 2 ix, � S2Y = ∃n i= 1 S 2 iy, SXY = SYX = ∃n i= 1 S 2 ixS 2 iy 若设 X /Y方向地震作用的振型效应向量为: � SX = {S1x, S2x%Sn x }T, � SY = {S1y, S2y%Sn y }T, 则 S2X = SXTSX, � S2Y = SYT SY, � SXY = SYX = SXTSY 我们称S为状态矩阵, 只需确定其中各个分量 就可以得到任一方向的地震反应量组合值。 展开式 ( 1), 得到: S ( �) 2 = rTSr = S2X cos2�+ S2Y sin2�+ SXY sin2� (2) � � 由此可知,对于进行地震作用分析的结构,只要 求出了各振型纯 X方向地震效应值 S ix, 以及纯 Y方 向地震效应值 S iy,便可由此得到矩阵S, 从而得到任 意 �方向的地震效应组合值 S ( �)。 由此也不难求得 S ( �)取最大值时的方向角 �* , 只需由式 ( 1)对 �角度求驻值, 经整理得到: � � � � tg2�= 2 SXY / ( S2X - S2Y ) ( 3) 地震作用反应取极值: S21, 2 = ( S2X + S2Y ) /2 & ( ( S2X - S2Y ) /2) 2 + S2XY ( 4) S1即为地震作用反应的最大值。 以上为组合采用 SRSS方法时的情况。若采用 CQC方式振型组合,则有组合值: S ( �) = ∃n i= 1 ∃n j= 1 �ijS i ( �)S j (�) = ST�P S� 其中, �ij为抗震规范公式 5. 2. 3- 6定义的 i振型与 j振型的耦联系数, S�= { S1 (�), S2 ( �) %Sn ( �) }T, P为振型耦联系数矩阵。有 S ( �) 2 = ∃n i= 1 ∃n j= 1 �ijS i (�)S j (�) = ∃n i= 1 ∃n j= 1 �ij ( S i r) T ( Sj r ) = rT (∃n i= 1 ∃n j= 1 �ij S i TS j ) r � � 类似对 SRSS组合方式的处理,设状态矩阵为 S = ∃n i= 1 ∃n j= 1 �ij S iT S j, � 有 S ( �) 2 = rT Sr � � 将状态矩阵写成 � S = S 2 X SXY SXY S2Y 的形式, 则有: S2X = ∃n i= 1 ∃n j= 1 �ijS ixS jx, S2Y = ∃n i= 1 ∃n j= 1 �0, ijS iyS jy, SXY = SYX = ∃n i= 1 ∃n j= 1 �0, ijS ixS jy 若设 X /Y方向地震作用的振型效应向量为: SX = {S1x, S2x%Snx } T, SY = {S1y, S2y%Sny } T, 则 � S2X = SXTPSX , � S2Y = SY TPSY, SXY = SYX = SXTSY 若 �ij满足 �ij = 1( i= j)、�ij= 0( i∋ j) ,则有 � � P = I, � 将退化为 SRSS组合, S2X = SXT SX, � S2Y = SYT SY, SXY = SYX = SXT SY 接下来的推导与 SRSS组合方式就完全一致 了,不再赘述。 最终得到式 ( 3)和式 ( 4)相同的结果: 当 �满足 tg2�= 2 SXY / ( S2X - S2X )时, 地震作用反 应取极值: S21, 2 = ( S2X + S2Y ) /2 & ( ( S2X - S2Y ) /2) 2 + S2XY 18 第 6期 李 � 剑, 等:地震作用最大方向的确定 一般的,对于任意振型组合方式,对 �方向的振 型组合值,只需整理为 S ( �) 2 = rT Sr, S = S 2 X SXY SYX S2Y 的形式,则都可获得上述的最大地震作用方向角公 式。 注意到上述推导是不依赖于坐标系选取的,因 此,对于任意选取的正交 X - Y坐标系,都可以通过 式 ( 3)求出最大地震作用方向,并通过式 ( 4)得到地 震作用最大值。 通过上述方法,对于各种地震效应值,可以得到 其最大值,以及对应的地震作用方向。 3. 2� 对地震作用验算方向的影响 应当注意的是, 对不同的地震效应值, 其最大 地震作用方向是不同的。我们不可能验算所有这 些方向。况且对于某些情况, 其最不利工况并不 出现在某地震效应取极值时, 例如偏压构件的控 制工况并不一定为内力 (弯矩、轴力 )取极值时。 因此,上述讨论对我们的实际意义应如何体现呢? 我们认为, 上述讨论结果可以作为对现有规范要 求的补充, 为结构抗震设计提供参考。以下两点 应引起注意: ( 1)当针对结构中某些薄弱部位, 验算其特定 地震效应时 ( ( ( 例如验算某深梁的剪力,可以通过 上述方法找到最不利地震作用方向, 进而求出最大 的地震效应值,单独进行荷载组合与验算; ( 2)对于结构中有斜交抗侧力构件的情况, 可 以找出这些抗侧力构件取最大地震效应值时所对应 的地震作用输入角度,对结构进行这些特定方向的 验算。这可以作为对 JGJ 3- 2002中 3. 3. 2条第一 款有关斜交构件规定的一种补充。 4� 计算实例 我们以一个简单实例来说明最大地震作用方向 的计算。 如图 1所示结构, 为三层框架结构, 梁编号 3、 4、5为斜交构件, 层高 3. 3m, 梁截面尺寸为 300mm ) 450mm, 柱截面尺寸 500mm ) 500mm, 楼面恒载 5. 0kN /m 2 , 活载 2. 0kN /m2, 计算 8度罕遇地震作 用。 图 1� 最大地震作用方向计算例题 我们分别取第 4、5号梁的 C端 (与柱 C相交一 端 )弯矩作为分析对象。对此结构, 取九个振型计 算,振型组合采用 SRSS方式。 表 2为在 X与 Y方向地震作用下, 梁 4与梁 5 各振型及组合后的 C端弯矩值。 表 2� X /Y方向地震作用下梁 4、5的 C端弯矩值 梁号 地震作用方向 C端弯矩值 振型值 S i ( kN∗ m ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 组合值 S ( kN∗ m ) 4号 X 16. 95 6. 25 13. 29 0. 98 0. 63 0. 48 0. 01 - 0. 10 - 0. 03 22. 46 Y 8. 06 - 1. 06 - 58. 75 0. 51 - 0. 22 - 2. 67 0. 01 0. 11 0. 08 59. 38 5号 X 45. 09 11. 68 - 8. 98 3. 23 0. 46 - 0. 32 - 0. 20 0. 03 0. 01 47. 55 Y 21. 44 - 1. 98 39. 71 1. 67 - 0. 16 1. 75 - 0. 13 - 0. 04 - 0. 04 45. 23 19 建 筑 科 学 第 21卷 � � 对于 4号梁: S2X = ∃n i= 1 S 2 ix= 22. 46 2 = 504. 47 S2Y = ∃n i= 1 S 2 iy= 59. 38 2 = 3525. 39 SXY = SYX = ∃n i= 1 S ixS iy= - 651. 53 则由式 ( 4)可求弯矩最大值: � � S21, 2 = ( S2x + S2y ) /2 & ( ( S2x - S2y ) /2) 2 + S2xy = 3660. 25 最大值 S1 = 60. 50kN∗m 对应角度由式 ( 3)求得: tg2�= 2 SXY / ( S2X - S2X ) = 0. 43 得到 �= 101. 67∀。 同样,对 5号梁进行计算可得: S2X = 2260. 83, � S2Y = 2046. 07, SXY = SYX = ∃n i= 1 S ixS iy= 591. 58 得到 S21, 2 = 2755. 20。 最大值为 S1 = 52. 49kN∗m;并由式 ( 3)求出 tg2� = 5. 51, 得对应地震作用角度 �= 39. 86∀。 通过此例题可以注意到两点: 不同量取最大值 时的地震作用 �角不相当; 结构中斜交构件的地震 作用效应值取最大时, 地震作用方向与斜交构件方 向不一定重合。 5� 结 � 语 本文探讨了求地震作用效应最大方向的方法,并 在此基础上讨论了其对选取抗震验算方向的意义。 笔者认为, 可以在规范现有对抗震验算方向的基础 上,结合工程实际情况,利用本文提供的分析方法进 行补充计算分析,可得出供参考的数值计算结果。 [参考文献 ] [ 1] JG J3- 2002钢筋混凝土高层建筑结构设计与施工规程 [ S ] .北 京:中国建筑工业出版社, 2002. 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