复合型加载条件下扁平巴西圆盘应力强度因子计算方法

第 44 卷 第 4 期 四 川 大 学 学 报 (工 程 科 学 版 ) Vol． 44 No． 4 2012 年 7 月 JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY (ENGINEERING SCIENCE EDITION)  July 2012 文章编号:1009-3087(2012)04-0070-05 复合型加载条件下扁平巴西圆盘应力强度因子计算方法 董世明，徐积刚，王清远 (四川大学 建筑与环境学院，四川 成都 610065) 摘 要:复合型裂纹的研究具有重要的实用价值。使用解析分析与有限元数值分析相结合的方法，对复合型 加载条件下扁平巴西圆盘试件的应力强度因子进行了系统的分析。计算结果表明:在一定载荷分布角范围内，可 使用分布载荷作用下巴西圆盘应力强度因子的公式去计算扁平巴西圆盘试件的应力强度因子;在断裂力学中圣维 南原理依然成立。根据计算结果，推荐在扁平巴西圆盘断裂实验中使用载荷分布角为 7． 25°的扁平巴西圆盘试件。 关键词:扁平巴西圆盘;应力强度因子;复合型;中心裂纹;数值分析 中图分类号:O346． 1 文献标志码:A Calculating Method of Stress Intensity Factors for Cracked Flattened Brazilian Disk Under Combined Mode Loading Condition DONG Shi-ming，XU Ji-gang，WANG Qing-yuan (School of Architecture and Environment，Sichuan Univ．，Chengdu 610065，China) Abstract:The finite element method combined with the analytical method was employed to systematically analyze the stress intensity factor for the cracked flattened Brazilian disk under combined mode loading condition． The calculations showed that within certain range of the load distribution angle，the formula of the stress intensity factor for the cracked Brazilian disk subjected to pressure can be direct- ly used to calculate the stress intensity factors for the cracked flattened Brazilian disk under combined mode loading condition． In addi- tion，the analyzed result also confirmed that the Saint-Venant’s principle is still valid in fracture mechanics． Based on the analyzed re- sult，a cracked flattened Brazilian disk with a load distribution angle 7． 25° was recommended to be used in the cracked flattened Bra- zilian disk test． Key words:cracked flattened Brazilian disk(CFBD) ;stress intensity factor(SIF) ;combined mode;central crack;numerical analysis 在断裂力学试验中，巴西圆盘型试件能方便地 实现纯Ⅰ型、纯Ⅱ型和复合型裂纹的加载方式，且其 应力强度因子存在解析解，因而在脆性材料的断裂 韧度实验中得到了广泛的应用［1 － 2］。然而，巴西圆 盘试件在试验时，有可能在集中载荷作用点产生应 力集中，因而首先在此处产生裂纹并扩展，这与巴西 圆盘试件破坏时，裂纹首先在中心出现并沿力的作 用线向两边扩展的理论分析结果相矛盾，因此需要 对巴西圆盘试件进行改进。扁平巴西圆盘试件是一 收稿日期:2011 － 12 － 31 基金项目:中国博士后基金资助项目(20070420491) ;中央高校基 本科研业务费专项资金资助项目(2010SCU21013) ;国 家自然科学基金资助项目(11172186) ;教育部长江学 者创新团队资助项目(IRT1027) 作者简介:董世明(1963—) ，男，教授． 研究方向:断裂力学;冲 击动力学． E-mail:smdong@ scu． edu． cn 种改进的巴西圆盘试件［3］，由于扁平巴西圆盘没有应 力强度因子的公式，应力强度因子或断裂韧度的计算 只能使用数值方法，不利于其推广使用。为此，董世 明等［4］在中心裂纹巴西圆盘应力强度因子解析解的 基础上，使用数值分析方法对纯 I 型加载条件下扁平 巴西圆盘试件的应力强度因子进行了分析、研究，证 明了纯 I型加载条件下可以直接使用中心裂纹巴西 圆盘试件的应力强度因子公式去计算扁平巴西圆盘 试件的应力强度因子。然而，实际工程结构中复合型 裂纹更加常见，对复合型裂纹的研究更具普遍意义， 因而如何方便、快速地计算复合型加载条件下扁平巴 西圆盘试件的应力强度因子是一个急待解决的问题。 尽管文献［4］中已经得到“纯 I 型加载条件下可以直 接使用中心裂纹巴西圆盘试件的应力强度因子公式 去计算扁平巴西圆盘试件的应力强度因子”，但这一 结论在复合型加载条件下是否依然成立尚需严格证 明。作者拟在中心裂纹圆盘试件应力强度因子公式 的基础上，使用数值分析方法论证复合型加载条件下 巴西圆盘分布载荷作用下应力强度因子公式在扁平 巴西圆盘试件中的有效性。 1 分析方法简介 采用解析分析与有限元数值分析相结合的方 法。复合型加载示意图如图 1 所示。扁平巴西圆盘 (CFBD)试件见图 2。 图 1 复合型加载示意图 Fig． 1 Schematic diagram of the mixed-mode loading 图 2 扁平巴西圆盘 Fig． 2 Cracked flattened Brazilian disk 首先利用中心裂纹圆盘试件应力强度因子公式 计算不同裂纹长度、不同加载角 θ(加载方向与裂纹 面之间的夹角，见图 1)和不同载荷分布角 γ(sin γ = h /R，h见图 2)的无量纲应力强度因子，然后与有 限元数值分析结果进行对比分析。 对于图 1所示的巴西圆盘试件，假设沿合力作用 线将力 P对称地均匀分解成角度为 2γ的径向分布载 荷 σ0，合力作用线与裂纹面的夹角为 θ0(图 3)。 在巴西圆盘集中载荷作用下应力强度因子解析 解的基础上，可得到复合型加载条件下巴西圆盘在 分布载荷作用下无量纲应力强度因子 FⅠ 和 FⅡ 的 解析解为［1］: FⅠ = γ sin γ f11 +∑ n i = 1 B1i f1iα 2(i －1)/sin[ ]γ (1) FⅡ = ∑ n i = 1 B2i f2iα 2(i －1)/sin γ (2) 图 3 分布载荷作用下的巴西圆盘试件 Fig． 3 Cracked Brazilian disk subjected to pressure 其中， α = a /R (3) 式中:a为裂纹长度的一半，R为圆盘半径，α称为裂 纹相对长度，γ为载荷分布角，FⅠ、FⅡ 分别为Ⅰ型、 Ⅱ型无量纲应力强度因子;B1i、B2i、fji、c11、c12、c21、c22 的表达式见文献［1］。 有限元分析采用商用软件 ANSYS，试件材料假 设为有机玻璃(PMMA) ，直径为 20 mm，厚度为 5 mm。PMMA 为一种弹脆性材料，其密度为 1 170 kg /m3，弹性模量为 4． 87 GPa，泊松比为 0． 388。 根据有限元数值分析得到的圆盘的全场解，可 直接得到应力强度因子 KⅠ、KⅡ，按照 ANSYS 用户 手册———断裂力学分册，其计算公式为［5］: KⅠ = ± 2G 2槡 π 1 + k uy 槡r ，KⅡ = ± 2G 2槡 π 1 + k ux 槡r (4) 式中:“+”号对应上裂纹面，“－”号对应下裂纹面; G为材料的剪切模量，k = (3 － ν)/(1 + ν) (平面应 力)或 k = 3 － 4ν(平面应变) ，ν为材料的泊松比，ux 为 x方向的位移，uy为 y方向的位移，r为计算点到裂 尖的距离。 应力强度因子KⅠ和KⅡ计算出来后，首先对其 进行无量纲化处理，得到复合型加载条件下 Ⅰ 型 和Ⅱ型无量纲应力强度因子 FⅠ和 FⅡ，即: FⅠ = KⅠ σ π槡 a ，FⅡ = KⅡ σ π槡 a (5) 式中，σ = P /(πtR) ，t为圆盘厚度。 2 结果与讨论 复合型加载条件下，由于没有对称性可供利用， 因此计算模型不同于纯Ⅰ型加载条件下的模型，假设 裂纹相对长度 α为0． 5，加载角 θ0 = 10°，则有限元模 型如图 4所示。图中，网格较密、颜色较深的 2 个区 域是裂尖所在位置;正中箭头标志为整体坐标。数值 分析时，试件采用 PLANE2 单元，即具有 6 节点的三 17第 4 期 董世明，等:复合型加载条件下扁平巴西圆盘应力强度因子计算方法 角形等参元，并在裂尖处使用奇异单元;在左右平台 上分别施加固定边界条件与压力载荷(图 4)。根据 数值分析结果和式(5)可以得到不同载荷分布角 γ和 不同加载角时的无量纲应力强度因子FⅠ和 FⅡ的计算 结果，如图5所示。以及根据式(1)～ (2)亦可算出相 同条件下 FⅠ和 FⅡ的解析解，见图 5。 图 4 扁平巴西圆盘的有限元模型 Fig． 4 FEM model for CFBD 图 5 扁平巴西圆盘试件的 FⅠ、FⅡ Fig． 5 FⅠ and FⅡ for CFBD with α = 0． 5 从图 5 可以看出，扁平巴西圆盘应力强度因子 的数值解与中心裂纹巴西圆盘试件的解析解基本一 致。为了定量分析数值解与解析解的相对误差，将 Ⅰ、Ⅱ型无量纲应力强度因子的相对误差定义为: ΔFⅠ /FⅠ = (FⅠ，解析 － FⅠ，EFM)/FⅠ，解析， ΔFⅡ /FⅡ = (FⅡ，解析 － FⅡ，EFM)/FⅡ， { 解析 (6) 按照式(6) ，可以计算 FⅠ和 FⅡ 的相对误差， 结果如图 6 所示。 图 6 FⅠ、FⅡ的相对误差 Fig． 6 Percentage error of FⅠ and FⅡ for CFBD with α = 0． 5 从图 6 可以看出:FⅡ 的相对误差均较小;FⅠ 的相对误差除在临界加载角附近较大外其余相对误 差均较小(临界加载角的定义参考文献［1］) ，可能 是此时由于 FⅠ 趋近于 0，故较小的绝对误差也能产 生较大的相对误差。 为了进一步分析裂纹相对长度 α对计算结果的 影响，再取 α = 0． 3和 α = 0． 7为例，经过类似的步 骤，可以得到无量纲应力强度因子的相对误差，分别 如图 7、8 所示。其中，α = 0． 7 时，纯Ⅱ型裂纹的临 界加载角为 17° 左右，故 FⅠ 只算到 15°。 27 四川大学学报(工程科学版) 第 44 卷 图 7 FⅠ、FⅡ的相对误差 Fig． 7 Percentage error of FⅠ and FⅡ for CFBD with α = 0． 3 从图 6 ～ 8 可以看出:除临界加载角附近 FⅠ 的 相对误差较大外(此时 FⅠ 的绝对误差仍然较小，且 裂纹接近纯Ⅱ型裂纹，故对断裂韧度实验结果影响 较小) ，其余各处 FⅠ和 FⅡ 的相对误差均较小，说明 复合型加载条件下，分布载荷作用下中心裂纹巴西 圆盘的应力强度因子公式可以直接用于计算扁平巴 西圆盘试件的应力强度因子。 FⅡ 的相对误差随着裂纹相对长度 α 的增加而 增加，即裂纹越短，误差越小，裂纹越长，误差越大。 这一结论与圣维南原理完全吻合。圣维南原理说，局 部力的作用方式的改变，只对其作用点附近的应力 和变形有较大影响，而对较远处影响甚小。 因此，这里的结论既证明了圣维南原理在断裂 力学中的有效性，同时也为扁平巴西圆盘试件使用 中心裂纹巴西圆盘试件应力强度因子的公式找到了 理论依据。 图 8 FⅠ、FⅡ的相对误差 Fig． 8 Percentage error of FⅠ and FⅡ for CFBD with α = 0． 7 载荷分布角γ = 7 ． 25 °左右，FⅠ和FⅡ的相对 误差均较小。曾由课题组内其它研究者使用不同的 方法，最后得到基本一致的结果，因此排除了计算误 差的可能性。至于为什么会产生这些现象，其原因尚 待进一步分析。 此外，为了搞清楚在 7． 25° 附近是否存在误差 更小的点，以裂纹相对长度 α = 0． 5 为例，在 7． 25° 附近增加 2个计算点，γ = 6． 5°和 γ = 8°，按照前述 方法，可以得到增加取值后 FⅠ、FⅡ相对误差的计算 结果曲线，如图 9 所示。 从图 9 可以看出，FⅠ、FⅡ相对误差的最小值仍 然在 7． 25° 附近。根据分析结果，可以认为当使用扁 平巴西圆盘进行断裂韧度实验时，建议使用载荷分 布角 γ = 7． 25° 的扁平巴西圆盘试件。 3 主要结论 为了快速、方便地计算出扁平巴西圆盘试件在 复合型加载条件下的应力强度因子，使用解析分析 37第 4 期 董世明，等:复合型加载条件下扁平巴西圆盘应力强度因子计算方法 图 9 增加 γ取值后 FⅠ、FⅡ的相对误差值 Fig． 9 Revised percentage error of FⅠ and FⅡ for CF- BD with α = 0． 5 与有限元数值分析相结合的方法，对复合型加载条 件下扁平巴西圆盘试件的应力强度因子进行了系统 的分析，通过不同裂纹长度、不同加载角和不同载荷 分布角时数值解与解析解的对比分析，表明复合型 加载条件下，在一定载荷分布角范围内，可使用巴西 圆盘试件在分布载荷作用下应力强度因子的公式去 计算扁平巴西圆盘试件的应力强度因子。计算结果 亦表明，在断裂力学中圣维南原理依然成立。对于 扁平巴西圆盘断裂实验，推荐使用载荷分布角 γ 为 7． 25°的扁平巴西圆盘试件。 参考文献: ［1］Dong S M，Wang Y，Xia Y M． Stress intensity factors for central cracked circular disk subjected to compression［J］． Engng Fract Mech，2004，71(7 /8) :1135 － 1148． ［2］Dong Shiming，Wang Yang，Xia Yuanming． Experimental study of size dependence of fracture toughness of PMMA ［J］． Journal of Sichuan University:Engineering Science E- dition，2006，38(4) :49 － 52．［董世明，汪洋，夏源明． PM- MA断裂韧度尺寸相关性的实验研究［J］．四川大学学 报:工程科学版，2006，38(4) :49 － 52．］ ［3］Wang Q Z，Jia X M，Kou S Q，et al． The flattened Brazilian disc specimen used for elastic modulus，tensile strength and fracture toughness of brittle rocks:Analytical and numerical results［J］． Int J Rock Mech and Min Sci，2004，41(2) :245 － 253． ［4］董世明，王清远，舒尚文．扁平巴西圆盘试件的应力强度 因子分析［C］． 第十四届全国疲劳与断裂学术会议， 2008． ［5］Swanson Analysis Systems Inc． ANSYS9． 0，USER’S MAN- UAL［R］． 2006． (编辑 张津徐) 47 四川大学学报(工程科学版) 第 44 卷