2013年首届《学数学》数学奥林匹克邀请赛试题

首届\学数学" 数学奥林匹克邀请赛试题卷 2013年首届\学数学" 数学奥林匹克邀请赛 第一试 http://www.omaths.com 2013年7月13日 8:00{9:20 一. 填空题(本题满分64分, 每小题8分) 1. 已知函数 f(x) = x2 � 2x; g(x) = 8 < : x� 2; x > 1; �x; x < 1: 则不等式f(x) 6 3g(x)的解集是 . 2. 等差数列fang的前n项和为Sn,若S1, S3, S2成公比为q的等比数列,则q = . 3. 满足关系式 (sin 2x+ cosx)(sinx� cos x) = cosx 的锐角x = (用弧度表示) . 4. 用4块腰长为a,上,下底边长分别为a, 2a的等腰梯形硬纸片,和两块长和宽分别为2a和a的 矩形硬纸片, 可以围成一个六面体, 则该六面体的体积为 . 5. 已知�O的半径为1,四边形ABCD为其内接正方形, EF为�O的一条直径, M为正方 形ABCD边界上一动点, 则��!ME � ��!MF的最小值为 . 6. 过抛物线y = x2上一点A作法线(法线是过切点且与切线垂直的直线) 与抛物线相交 于另一点B, O为坐标原点.当4OAB面积的取最小值时, 点A的纵坐标为 . 7. 若n 2 N�, 则 lim n!1 sin 2(� p n2 + n) = . 8. 甲乙两人各自独立地抛掷一枚均匀硬币, 甲抛掷10次, 乙抛掷11次. 则乙的硬币出现 正面向上的次数比甲多的概率是 . 第1页 共2页 首届\学数学" 数学奥林匹克邀请赛试题卷 二. 解答题(本题满分56分) 9. (16分) 设4ABC的顶点A, B为椭圆�的两个焦点, 点C在椭圆�上, 椭圆�的离心率为e. 求证: 1 + cosA cosB sinA sinB = 1 + e2 1� e2 . 10. (20分) 设数列fang的前n项和为Sn, 且Sn = 2n� an (n 2 N�) . (1) 求数列fang的通项公式; (2) 若数列fbng满足bn = 2n�1an, 求证: 1 b1 + 1 b2 + � � �+ 1 bn < 5 3 . 11. (20分) 设I是区间(0;+1)上的一个子区间, f(x)是I上取值非负的函数. 任取x1; x2 2 I, 若恒有f(px1 � x1) 6 È f(x1) � f(x2), 则称函数f(x)为I上的\几何凹 函数" ; 若恒有f(px1 � x1) > È f(x1) � f(x2), 则称函数f(x)为I上的\几何凸函数" . 已知函数f(x) = � 1 3 �x � � 1 4 �x (x 2 [1;+1)) . 试判断f(x)为[1;+1)上的几何凸函 数还是几何凹函数, 并给出. 欢迎订阅学数学杂志 《学数学》杂志是高中学生学习数学课程, 参加高考, 准备参加自主招生考试及角逐 全国高中数学联赛等各级数学竞赛的得力助手.她是高中同学研究数学的工具, 学好数学 的宝典; 她是高中数学教师教学的伴侣, 竞赛辅导的参考资料. 淘宝网店 http://xueshuxue.taobao.com 投稿邮箱 xsx@omaths.com 订阅邮箱 fzp@omaths.com 杂志网址 http://www.omaths.com 第2页 共2页