华中科大疲劳断裂课后习题答案全解全析

习题习题习题习题和和答案和答案和答案 第一章第一章第一章第一章 1-1 答：答：答：答：根据 ASTM E206—72 中所作的定义有：在某点或者某些点承受扰动应力，且在足够多的循 环扰动作用之后形成裂纹或完全断裂的材料中所发生的局部的、永久结构变化的发展过程，称 为疲劳。 根据上述定义，疲劳具有下述特征： 1) 只有在承受扰动应力作用的条件下，疲劳才会发生。 2) 疲劳破坏起源于高应力或者高应变的局部。静载下的破坏，取决于结构整体；疲劳破坏 则由应力或应变较高的局部开始，形成损伤并逐渐积累，导致破坏发生。 3) 疲劳破坏是在足够多次的扰动载荷作用之后，形成裂纹或者完全断裂。 4) 疲劳是一个发展过程。疲劳裂纹萌生和扩展，是这一发展过程中不断形成的损伤积累的 结果。最后的断裂，标志着疲劳过程的终结。 1-2 答：答：答：答：典型的疲劳破坏断口的特征：有裂纹源、疲劳裂纹扩展区和最后断裂区三部分；裂纹扩展 区断面较光滑，通常有“海带条带”和/或腐蚀痕迹；裂纹源通常在高应力局部或材料缺陷处； 无明显的塑性变形。但是静载破坏的断口是：粗糙、新鲜、无面磨蚀及腐蚀痕迹。 疲劳破坏断口，即使是延性材料，也没有明显的塑性变形。但是静载破坏表面的塑性变形 很明显。 1-3 答：答：答：答：在失效分析过程中，疲劳断口可以提供很多的信息：例如，首先观察断口的宏观形貌，由 是否存在着裂纹源、裂纹扩展区及瞬断区等三个特征区域，判断是否为疲劳破坏；若为疲劳破 坏，则可由裂纹扩展区的大小，判断破坏时的裂纹最大尺寸；进而可利用断裂力学方法，由构 件几何及最大裂纹尺寸估计破坏载荷，判断破坏是否在正常工作载荷状态下发生；还可以观察 裂纹起源的位置在何处。 再利用金相显微镜或低倍电子显微镜，可对裂纹源进行进一步观察和确认，并且判断是否 因为材料缺陷所引起，缺陷的类型和大小若何。 由宏观“海滩条带”和微观“疲劳条纹”数据，结合构件使用载荷谱分析，还可能估计裂纹扩 展速率。 1-4 答：答：答：答：根据疲劳问题的特点，疲劳破坏起源于高应力或者高应变的局部。提高表面的光洁度，即 可以减少结构整体的应力集中的可能性。这样就可以减少高应力和高应变的区域。 在循环应力过程中引入残余压应力，可以降低实际的循环应力水平，从而降低 ms ，这样可 以达到提高疲劳寿命的目的。 1-5 解： max min 200 50 150S S S∆ = − = − = MPa， 75 2a SS ∆= = MPa， max min 200 50 125 2 2m S SS + += = = MPa， min max 50 0.25 200 SR S = = = 。 1-6 解： 2 200aS S∆ = = MPa， max min 200S S S− = ∆ = MPa…………（a） min max/ 0.2R S S= = ……………………（b） 结合(a)、(b)两式，计算得到： max 250S = MPa， min 50S = MPa， 则： max min( ) / 2 (250 50) / 2 150mS S S= + = + = MPa。 第二章第二章第二章第二章 2-1 解：解：解：解：由题意可知： 20f HZ= ，要施加 610 次循环需要： 610 13.889 20 3600 t = = × 小时。 2-2 解：由图中可以得到： a） max 380S = MPa， min 80S = MPa， 160aS = MPa， 230mS = MPa。 b） max 340S = MPa， min 130S = − MPa， 230aS = MPa， 100mS = Mpa。 2-3 解：解：解：解：由 7075－T6 铝合金的等疲劳寿命图为： 根据图形可以得到 R=0 的时候（Sa，lgN）的四个坐标（133.3，7），（167，6），（200，5）， （255.5，4）；在 R=－1 有（Sa，lgN）为（133，7），（166，6），（233.3，5），（355，4）四个点。 根据最小二乘法得到的拟合曲线如下图。 RRRR -.6 -.4 -.2 0 .2 .4 .6 .8 1.0 600 400 200 -400 -200 0 200 400 600 200 400 600 200 400 S /MPamS /MPaa S /MPamin S /MPamax S /MPamax600 400 200 N=105 N=106 N=104 N=107 图2.9 7075-T6 铝合金等寿命疲劳图 2 3 4 5 6 7 8 9 100 150 200 250 300 350 400 LgN Sa (M Pa ) Sa(R=0)= -39.96LgN+408.73 Sa(R=-1)= -73.24LgN+624.72 R=0原原原原 R=-1原原原原 R=0拟拟 R=-1拟拟 2-4 解：计算出各 lgS 和 lgN，列于下表： A 430uS = MPa B 715uS = MPa C 1260uS = MPa lg aS lg fN lg aS lg fN lg aS lg fN 2.35 4.65 2.76 4.64 2.89 4.38 2.33 5.38 2.72 4.93 2.87 4.49 2.29 5.90 2.70 5.15 2.85 4.65 2.26 6.18 2.66 5.80 2.84 4.94 2.25 6.43 2.64 6.28 2.82 5.18 2.23 6.89 2.62 6.46 2.81 8 2.22 7.41 2.61 6.87 假设： 310 0.9 uS S= ， 610 0.5 uS S= ， S－N 曲线表达式为： mS N C=i （1） 对（1）式两边取对数有： 1 1lg lg lgS C N m m = − （2） 结合上面的式子，可以得到： 3 / lg(0.9 / 0.5) 11.8m = = 11.8 3(0.9 ) 10uC S= × 或者： 11.8 6(0.5 ) 10uC S= × （3） 对于 A 组情况： 430uS = MPa 则有： 11.8 3 11.8 3 33(0.9 ) 10 (0.9 430) 10 3.4276 10uC S= × = × × = × 代入（2）式，得： lg 2.84 0.08lgS N= − （a） 对于 B 组情况： 715uS = MPa 则有： 11.8 3 11.8 3 36(0.9 ) 10 (0.9 715) 10 1.383 10uC S= × = × × = × 代入（2）式，得： lg 3.06 0.08lgS N= − （b） 对于 C 组情况： 1260uS = MPa 则有： 11.8 3 11.8 3 39(0.9 ) 10 (0.9 1260) 10 1.108 10uC S= × = × × = × 代入（2）式，得： lg 3.31 0.08lgS N= − （c） 将 a、b、c 三式在坐标纸上标出，见下图。 2-5 解：由上表得： 1 420S− = MPa 已知： max min 2m S SS += ， max min 2a S SS −= 对上表进行数据处理，求得各自得 1/aS S− 以及 /m uS S 得： 1/aS S− 1 1.02 0.94 0.97 0.80 0.59 0.42 / m uS S 0 0.06 0.10 0.20 0.39 0.52 0.62 将以上数据在坐标纸中标出数据点，并作出 Goodman 曲线。 2-6 解：解：解：解： Miner 理论：构件在应力水平 Si 下作用 ni 次循环下的损伤为 Di=ni/Ni。若在 k 个应力水平 Si 作用下，各经受 ni 次循环，则可定义其总损伤总损伤总损伤总损伤为： D D n Ni k i i= =∑ ∑ 1 （i=1,2,..k，) 破坏准则为： D n Ni i= =∑ 1 这就是 Miner 线性累积损伤理论。其中，ni 是在 Si 作用下的循环次数，由载荷谱给出；Ni 是在 Si 作用下循环到破坏的寿命，由 S—N 曲线确定。 相对 Miner 线性累积损伤理论：根据过去的使用经验或试验，已知某构件在其使用载荷谱 下的寿命，在要预测另一类似构件在相似谱作用下的疲劳寿命时，不再假定其损伤和为 1，而是 将 Miner 累积损伤式作为一种传递函数。 相对 Miner 理论的实质是取消损伤和 D=1 的假定，由实验或过去的经验确定 Q，并由此估 算寿命。 Miner 线性累积损伤理论主要解决在不同的实际载荷谱条件下判断构件寿命的问题。 2-7 解：解：解：解：简化雨流计数方法如下： a) 由随机载荷谱中选取适于雨流计数的、最大峰或谷处起止的典型段，作为计数典型段 b) 将谱历程曲线旋转 90 度放置。将载荷历程看作多层屋顶，假想有雨滴沿最大峰或谷处开始 往下流。若无屋顶阻挡，则雨滴反向，继续流至端点，得到一个雨流的路径。 c) 记下雨滴流过的最大峰、谷值，作为一个循环。确定循环参量、载荷变程和平均载荷。 d) 从载荷历程中删除雨滴流过的部分，对各剩余历程段，重复上述雨流计数，直至再无剩余 历程为止。 将上述雨流计数的结果列入一个包含循环、变程和均值的表中，确定循环参数。载荷如果 是应力，则表中所给出的变程是∆S，应力幅则为 Sa=∆S/2，平均应力 Sm 即表中均值。雨流计数 是二参数计数。有了上述二个参数，循环就完全确定了。与其他计数法相比，简化雨流计数法 的另一优点是，计数的结果均为全循环。典型段计数后，其后的重复只需考虑重复次数即可。 雨流计数法得到的是一个载荷谱，这和现实之中的载荷很相近，并且最后可以用 Miner 线 性累积损伤理论来分析计算。 2-8 解：解：解：解：1)由题目条件知工作的循环应力幅和平均应力： max min( ) (525 35) 280MPa2 2a S SS − += = = max min( ) (525 35) 245MPa2 2m S SS + −= = = 2)估计对称循环下的基本 S—N 曲线： 由(2-7)式，弯曲循环应力作用时，可估计疲劳极限为： ( ) 0.5 350MPaf tension uS S= = 若基本 S—N 曲线用幂函数式 SmN=C 表达，利用 610 0.9 uS S= 和 310 0.5 uS S= 式之假设，则由 下式有： 3 11.7520.9lg( )0.5 m = ＝ ； 6 11.752 6 35(0.5 ) 10 (0.5 700) 10 7.905 10muC S= × = × × = × 3)循环应力水平等寿命转换 为了利用基本 S—N 曲线估计疲劳寿命，需要将实际工作循环应力水平等寿命等寿命等寿命等寿命地转换转换转换转换为对 称循环 m( 1, 0)R S= − = 下的应力水平 ( 1)a RS =− ，由 Goodman 方程有： m ( 1) 1a a R u S S S S =− + = 可解出： ( 1) 430.77MPaa RS =− = 4)估计构件寿命 对称循环 ( 1) m( 430.77MPa, 0)a RS S=− = = 条件下的寿命，可由基本 S—N 曲线得到，即 35 11.752 7.905 10 87146430.77m CN S × = = = 次 由于工作循环应力水平(Sa=280，Sm=245)与转换后的对称循环(Sa=430.77，Sm=0)是等寿命 的，故可估计构件寿命为 N=87146 次循环。 2-9 解：根据已知得 S－N 曲线得到不同 maxS 下的寿命，见下表： max iS /MPa 500 400 300 200 工作循环 iN / 610 次 0.232 0.453 1.074 3.625 则： a）根据： i i nD N λ= ∑ 得： / i i nD N λ = ∑ 0.01 0.03 0.1 0.51/( ) 2.94 0.232 0.453 1.074 3.625 λ = + + + = b）由相对 Miner 理论可得： ' ( ) 2.94 5( ) i B i i i n N n N λ λ= = ∑ ∑ 又因为 3 13max 2.9 10 ConstS N = × = 上式可写成： ' 3 max 3 max 2.94 5 S S = 得： 'max max0.838 419S S= = MPa 2-10 解：计数结果如下。 循环 变程 均值 ANA’ 10 0 BCB’ 2 3 DGD’ 5 1.5 HKH’ 5 0.5 LML’ 3 -2.5 EFE’ 1 1.5 IJI’ 2 1 第三章第三章第三章第三章 3-1 解：解：解：解：制作正态概率坐标纸，由书上提示的方法可以作出，如图： 3-2 解：解：解：解：制作威布尔概率纸： 3-3 解：解：解：解：答：（1）由于事物间的联系，在数学上通常以变量之间的关系来描述。这种关系一般可分 为二类： 确定性关系——对于变量 X 的每一确定的值，变量 Y 都有可以预测的一个或几个确定的值 与之对应，则称变量 Y 与 X 间有确定性关系。这类关系常常可用确定性函数关系表达。 相关关系——变量 X 取某定值时，变量 Y 并无确定的值与之对应，与之对应的是某唯一确 定的概率分布及其特征数，则称变量 Y 与 X 之间有相关关系。 x u 0 3 2 1 -1 -2 -3 p 100 0.01 0.1 1 50 10 30 70 90 99 99.9 图3.5 正态概率纸的制作 .1 .5 1 2 5 10 0.9 0.5 0.1 F(N) lglg[1-F(N)]-1 0 -0.5 -1.0 -1.5 图3.6 威布尔概率纸及其应用 -2.0 0.05 0.02 N-N 0 (10 )6 0.632 例A 例B A BBBB B'B'B'B' （2）线性相关的关系，可以通过线性相关系数 r 来描述和检验。相关系数 r 定义为： r B x X y Yi i= − −∑∑[ ( ) / ( ( ) ] _ _ /2 2 1 2 若令： L x X x x nxx i i= − = − ∑∑∑ ( ) ( ) / _ 2 2 2 L y Y y y nyy i i= − = − ∑∑∑ ( ) ( ) / _ 2 2 2 L x X y Y x y x y nxy i i i i= − − = −∑∑ ∑∑ ( )( ) / _ _ 因此： B L Lxy xx= / ，r L L L B L Lxy xx yy xx yy= =/ [ / ] /1 2 注意到 Q、Lyy 均为正数，故相关系数 r ≤ 1。 3-4 解：解：解：解：（1）随机变量 X、Y 间的回归方程中的待定回归系数，可由最小二乘法确定。 令由回归方程给出的估计量 y ~ i 与实际观测值 yi 之偏差平方和 Q y y A Bx yi i i i i n = − = + −∑∑ = ( ) ( ) ~ 2 2 1 为最小，由此确定回归系数的方法，称为最小二乘法。偏差平方和 Q 是回归系数 A、B 的函数， Q 最小的条件为： ∂ ∂ Q A = 0 ∂ ∂ Q B = 0 对于二元线性回归方程，上述二个条件给出确定回归系数的正规方程组为： 2 i i i i i i nA B x y A x B x x y + ∑ = ∑   ∑ + ∑ = ∑  求解上述线性方程组，得到： 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i i i i i n x y x y x X y YB n x x x X x y x x yA Y BX n x x ∑ − ∑ ∑ ∑ − − = = ∑ − ∑ ∑ −   ∑ ∑ − ∑ ∑  = = − ∑ − ∑  式中，n 为样本数据点数，X _ 、Y _ 分别为变量 X、Y 的样本均值，且 X _ =Σxi/n ; Y _ =Σyi/n 上式给出了确定回归系数 A、B 的表达式，且指出均值点（X _ 、Y _ ）落在回归直线上。上述的这 种方法即叫做最小二乘法。 （2） 由 r Q Lyy2 1= − / 注意到 Q、Lyy 均为正数，故相关系数 r ≤ 1。 （3）相关系数的意义是：相关系数 r 之绝对值的大小，反映了变量 X、Y 间相关关系的密 切程度。换言之，只有 r 足够大，才能用回归方程描述变量间的相关关系；若 r 很小，变量 间完全不相关，则回归方程就毫无意义了。 3-5 解： i N 4(10 ) ( ) 1 iF N = n+ 1 6.4 0.111 2 6.7 0.222 3 6.8 0.333 4 9.2 0.444 5 9.3 0.556 6 10.3 0.667 7 12.1 0.778 8 13.5 0.889 将数据标示于坐标纸上，可见基本服从 Weibull 分布。分布参数估计： 0 50N = 千周 由图中查出于破坏概率 63.2％对应的 40 5 10aN N− = × 周， 所以，特征寿命参数为： 410 10aN = × 周=100千周 F N( )=90%时，有： 0F N =-190lglg[1- ( )] ，则： 90 0 0 90 0 0 lg lg 0.3622 lg( ) lg( ) lg( ) lg( )a a F N eb N N N N N N N N − = − − − − − − -1 90lglg[1- ( )]= （1） 由图中直线可查得： 490 0 8.6 10N N− = × ， 40 5 10aN N− = × 代入（1）式，得：b＝1.54 由 0 0 ( ) 1 exp[1 ( ) ]b a N NF N N N − = − − − 可得： 95 57N = 千周 即存活概率为 95％的寿命 95 57N = 千周。 3-6 解：S－N 曲线为 mS N C= ，取对数之后有： 1 1lg lg lgS c N m m = − 令 y＝lgS，x＝lgN，回归方程可写成：y＝A＋Bx 其中： 1 lgA c m = ； 1B m = − 列表计算得： aS MPa N lgi ix N= lgi aiy S= 2ix 2 iy i ix y 60 12300 4.0899 1.7782 16.7273 3.1620 7.2727 50 20000 4.3010 1.6990 18.4986 2.8866 7.3074 40 39600 4.5977 1.6020 21.1388 2.5664 7.3655 30 146100 5.1646 1.4771 26.6731 2.1818 7.6286 25 340600 5.5322 1.3979 30.6052 1.9541 7.7335 ∑ 23.6854 7.9542 113.6430 12.7509 37.3077 根据上表： 23.6854 4.73708 5 ix x n = = = ∑ 7.9542 1.59084 5 iyy n = = = ∑ 又： 2 2 2 23.6854( ) / 113.6430 1.44336 5xx i i L x x n= − = − =∑ ∑ 2 2 2 7.9542( ) / 12.7509 0.09704 5yy i i L y y n= − = − =∑ ∑ 23.6854 7.9542/ 37.3077 0.37198 5xy i i i i L x y x y n ×= − = − = −∑ ∑ 回归系数为： 0.37198 0.2577 1.44336 xy xx L B L = = − = − 2.8116A Y B X= − = 故有： 1 3.88m B = − = 3.88 2.8116 1010 10 8.11 10mAC ×= = = × 相关系数为： 0.37198 0.9939 1.44336 0.09704 xy xx yy L L L ϒ = = − = − × 显著性水平取为 0.01α = ，本题中 n－2＝3，查表得 0.959αϒ = ，故有 αϒ ≥ ϒ ，则回归方程 能反映随即变量间的相关关系。 S－N 曲线表达式为： 3.88 78.11 10 ( , )S N MPa= × 千次 回归方程 lg lgaS N− 的直线表达式为： lg 2.8116 0.2577 lgaS N= − 第四章第四章第四章第四章 4-1 答：载荷水平低（低于屈服应力），寿命比较长（N>104），称为应力疲劳或高周应变疲劳。载荷 水平高（超过屈服应力），寿命比较短（N＜104），称为应变疲劳或低周应变疲劳。 对于循环应力水平较低（SmaxSy），寿命短的情况，所经历的载荷循环次数却并不 多。设计应力或应变水平可以高一些，以充分发挥材料的潜力。这样，就可能使构件中某些高 应力处 （尤其是缺口根部）进入塑性。屈服后应变的变化大，应力的变化小。这样，用应变作 为疲劳性能的控制参量比应力要好一些。 4-2 答：滞后环反映了循环载荷作用下，应力、应变的连续变化情况。循环应力—应变曲线将各稳 态滞后环顶点的连线，反映了不同应变幅εεεεa 循环下的应力幅σσσσa 响应。材料的循环性能即是由循 环应力—应变曲线和滞后环描述的。应变疲劳性能，讨论的是应变与寿命之间的关系，由ε-N 曲线描述。 4-3 解：工程应力为： 0 PS A = 真实应力为： 0 (1 ) o P Pl S e A A l σ = = = + 则： S e S σ − = 所以：e 分别为 0.2％，0.5％，1％，2％，5％时，真实应力比工程应力大 0.2％，0.5％，1 ％，2％，5％。 真实应变为： 2 ln(1 ) 2 e e eε = + = − + ⋅⋅⋅ 忽略三阶小量，可知二者之间的相对误差为： 2 e e e ε− = 则 e 分别为 0.2％，0.5％，1％，2％，5％时，真实应变比工程应变分别小 0.1％，0.25％， 0.5％，1％，2.5％ 4-5 4-6 由实验

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可知应变幅 εa，应力幅 εa, 和破坏循环数 2Nf，将总应变幅 εa，写成弹性应变 幅 εea 和塑性应变幅 εpa 二部分，有： εea=εa/E, 和 εpa=εa-εea。 分别画出 lgεea-lg(2Nf)，lgεpa-lg(2Nf)之关系，如图中直线所示，呈对数线性关系。由此， 可分别有： ε σ ea f b E N= ' ( )2 (4-15) ε εpa f cN= ' ( )2 (4-16) (4-15)式反映了弹性应变幅 εea 与寿命 2N 间的关系，σf'称为疲劳强度系数，具有应力量纲； E 是弹性模量，b 为疲劳强度指数。(4-16)式，反映塑性应变幅 εpa 与寿命 2N 间的关系，εf'称为 疲劳延性系数，与应变一样，无量纲；c 是疲劳延性指数。b、c 分别为图中二直线的斜率。对 于大多数金属材料，疲劳强度指数 b 一般为 -0.06∼-0.14, 估计时可取 -0.1。疲劳延性指数 c 一 般为-0.5∼-0.7,常取-0.6 作为其典型值。 因此，εεεε-N 曲线可写为： ε ε ε σ εa ea pa f b f c E N N= + = ′ + ′( ) ( )2 2 (4-17) 在长寿命阶段，以弹性应变幅 εea 为主，塑性应变幅 εpa 的影响可忽略，εa≈εea，且有： ε σ ea f b E N= ′ ( )2 或写为 εeam1N=C1 此即反映应力疲劳性能的 S-N 曲线。 在短寿命阶段，以塑性应变幅 εpa 为主，弹性应变幅 εea 影响可忽略，εa≈εpa，且有： ε εpa f cN= ′ ( )2 或写为 εpam2N=C2 若εea=εpa 时，有： ′ = ′ σ εf t b f t c E N N( ) ( )2 2 由此可求得到： 2 1N Et f f b c = ′ ′ −( ) ( )ε σ (4-18) 若寿命大于 2Nt，弹性应变为主，是应力疲劳；寿命小于 2Nt，塑性应变为主，是低周应变 疲劳；因此，2Nt 即为过渡寿命。 由式 2 1N Et f f b c= ′ ′ −( ) ( )ε σ ，即可求得各材料的过渡寿命。根据列表中的数据，可以分别求 出各材料的过渡寿命如下： 低强钢：2 tN ＝988212；高强钢：2 tN ＝27；RQC-100 钢：2 tN ＝1860；2024-T3 铝：2 tN ＝ 288。 由式 2 ε∆ ＝ε σ σ εa f m b f cE N N= ′ − + ′( ) ( )2 2 即可求得各材料的总应变幅。根据列表中的数据， 可以分别求出各材料的总应变幅如下： 低强钢： 2 ε∆ ＝ 32.01 10−× ；高强钢： 2 ε∆ ＝0.02；RQC-100 钢： 2 ε∆ ＝ 37.32 10−× ；2024-T3 铝： 2 ε∆ ＝0.016。 4-7 解： 0-1 由循环应力应变曲线 '' 1/( / ) ( / ) nE Kε σ σ= + 得到： 1 500σ = MPa ' ' 1/ 1 1 1( / ) ( / ) 0.014nE Kε σ σ= + = 1-2 卸载过程， 1 2 500σ −∆ = MPa，按滞后环曲线 ' ' 1/( / ) 2( / 2 ) nE Kε σ σ∆ = ∆ + ∆ 得到： 1 2 0.003ε −∆ = 故有： 2 0.011ε = ， 2 0σ = 2-3 加载过程， 2 3 300σ −∆ = MPa 按滞后环曲线求得： 2 3 0.001ε −∆ = 故有： 3 0.012ε = ， 3 300σ = MPa 3-4 卸载过程，其中 2-3-2’形成封闭环，故可直接按照 1-4 路径计算 1-4 卸载过程， 1 4 800σ −∆ = MPa，根据滞后环曲线得： 1 4 0.011ε −∆ = 故有： 4 0.003ε = ， 4 300σ = − MPa 4-5 加载过程， 4 5 700σ −∆ = MPa，由滞后环曲线得： 4 5 0.007ε −∆ = 故有： 5 0.010ε = ， 5 400σ = MPa 5-6 卸载过程， 5 6 500σ −∆ = MPa，由滞后环曲线得： 5 6 0.003ε −∆ = 故有： 6 0.007ε = ， 6 100σ = − MPa 6-7 加载过程， 6 7 200σ −∆ = MPa，由滞后环曲线得： 6 7 0.001ε −∆ = 故有： 7 0.008ε = ， 7 100σ = MPa 7-8 卸载过程，其中 6-7-6’形成封闭环，故卸载可以按 5-8 路径计算 5-8 卸载过程， 5 8 600σ −∆ = MPa，由滞后环曲线得： 5 8 0.003ε −∆ = 故有： 8 0.005ε = ， 8 200σ = − MPa 8-1’ 加载过程，其中 5-8-5’形成封闭环，考虑路径 4-1’ 4-1’ 加载过程，其中 1-4-1’形成封闭环 故有： '1 0.014ε = ， '1 500σ = MPa 给出σ ε− 图，如图所示 4-8 解： a） 此为恒幅应变对称循环，且 0.01aε = ， 0mσ = 直接由 Nε − 曲线有： ' '(2 ) (2 ) 0.01f b ca fN NE σ ε ε= + = 解得： N＝1072 b）此为恒幅应变，但不对称， 0.01aε = ， 0.01mε = 0-1 '1 1/ 1 1 1/ ( / ) 0.02nE Kε σ σ= + = 解得： 1 1136.6σ = MPa 1-2 ' ' 1/ 1 2 1 2 1 22( / 2 ) 0.02nKε σ σ− − −∆ = ∆ + ∆ = 解得： 1 2 2104σ −∆ = MPa 故有： 2 0ε = ， 2 967.4σ = − MPa 2-3 1-2-3 形成封闭环，有： 3 1 0.02ε ε= = ， 3 1 1136.6σ σ= = MPa 根据滞后环得到： 2 3 84.6 2m σ σ σ + = = MPa 估算寿命，有： ' '(2 ) (2 ) 0.01f m b ca fN NE σ σ ε ε − = + = 代入各项数值，解得： N＝1008 次 4-9 解：为缺口应力－应变响应计算 0-1 已知 1 max 500S S= = MPa，由循环应力应变曲线计算有： ' ' 1/ 3 1 1 1/ ( / ) 2.6 10ne S E S K −= + = × 将 1e 、 1S 代入 Neuber 双曲线，有： 2 1 1 1 1 11.7tK S eσ ε = = MPa （1） 结合循环应力应变曲线： ' ' 1/ 1 1 1/ ( / ) nE Kε σ σ= + （2） 结合（1）、（2）式，解得： 1 885σ = MPa， 1 0.0132ε = 1-2 卸载过程， 1 2 450S −∆ = MPa，由滞后环曲线有： ' ' 1/ 3 1 2 1 2 / 2( / 2 ) 2.3 10ne S E S K −− −∆ = ∆ + ∆ = × 将 1 2e −∆ ， 1 2S −∆ 代入 Neuber 双曲线，得： 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9.315tK S eσ ε− − − −∆ ∆ = ∆ ∆ = MPa （3） 结合滞后环曲线： ' ' 1/ 1 2 1 2 1 2( / ) 2( / 2 ) nE Kε σ σ− − −∆ = ∆ + ∆ （4） 结合（3）、（4）式，解得： 1 2 1248σ −∆ = MPa， 1 2 0.00734ε −∆ = 故有： 2 363σ = − MPa， 2 0.00586ε = 2-3 加载过程。同理可计算得到： 2 3 1248σ −∆ = MPa， 2 3 0.00734ε −∆ = 故有： 3 885σ = MPa， 3 0.0132ε = 由上述数据得到滞后环曲线： 1 2( ) / 2 0.00367aε ε ε= − = 1 2( ) / 2 261mσ σ σ= + = MPa 利用 Nε − 曲线寿命估算： ' '(2 ) (2 )f m b ca fN NE σ σ ε ε − = + 得到：N＝5997 次 第五章第五章第五章第五章 5-1 解： 2 3 ( ) 2 PL aK a f BW w pi= 其中： 2 3 4( ) 1.090 1.735( ) 8.20( ) 14.18( ) 14.57( )a a a a af w w w w w = − + − + 。 将各项数据代入上两式： ( ) 1.525af w = ， 80.58MPa mK = 。 5-2 解： 1 21 1 1 2 2( ) ( )C C C a aK a f a f w w σ pi σ pi= = （1） 对于大尺寸板： / 0a w → ，则 f＝1， 故（1）式可写成： 1 1 2 2C Ca aσ σ= 解得： 12 1 2 480.7C C a a σ σ= = MPa 5-3 解：

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三点弯曲试样的应力强度因子为： 2 3 ( ) 2 Q Q P L aK a f BW w pi= （2） 其中： 2 3 4( ) 1.090 1.735( ) 8.20( ) 14.18( ) 14.57( )a a a a af w w w w w = − + − + 已知： 0.53a w = ，得： ( ) 1.5124af w = 。 将各项数据代入（2）式，得： 40.0MPa mQK = 。 对其进行有效性验证： 250mm 2.5( / ) 32.6mmQ ysB K σ= ≥ = 。 满足有效性条件，即得到： 1 40.0MPa mC QK K= = 。 5-4 解：若采用标准紧凑拉伸试样，断裂时有： 1 1( ) C P a aK f K BW w = = （1） 转换得到： 1 ( ) CK BWP a a f w = （2） 其中： 2 3 4( ) 29.6 185.5( ) 655.7( ) 1017.0( ) 638.9( )a a a a af w w w w w = − + − + 。 已知： 0.53a w = ，计算得到： ( ) 14.4755af w = 。 将各项数据代入（2）式，得到： 60.0P = KN。 5-5 解：由疲劳的试件尺寸要求： 厚度：B≥2.5(K1C/σys)2=2.5(100/800)2=0.03906(m)=39.06(mm) 标准试件有：W=2B=78.125 (mm) 由图 5.5 可知，标准试件的设计尺寸为： 三点弯曲试样： B=39.06mm，W=78.125mm，L=4W=312.5mm； 紧凑拉伸试样： B=39.06mm，高 H=1.2W=93.75mm，宽 S=1.25W=96.66mm； 孔径 D=0.25W=19.53。 5-6 解：由题意知：裂纹长度为： a=52mm 又因为 a/W=52/100=0.52，且 PQ=241kN，可得： KQ=155.9 MPa m 。 有效性检验： (1) Pmax/PQ=261/241=1.083≤1.1； (2) B=50mm<2.5(KQ/σ0.2)2=2.5(155.9/1050)2=0.074m=74mm， 可见所得 KQ=155.9MPa m ，不满足有效性条件。 5-7 解：1） 11.1 CK a Kσ pi= ≤ ，可得不发生断裂时： 21 1 ( ) 1.1 CKa pi σ ≤ 将各项数据代入，得： 31.265 10a −≤ × 又因 750MPa ysσ σ= < ，满足静强度条件，故： 31.265 10 m 1.265mmca −= × = 2）由上计算得到： 211 ( ) 1.1 CKa pi σ ≤ 代入各项数据，得： 34.679 10a −≤ × 又因 750MPa ysσ σ= < ，满足静强度条件，故 34.679 10 m 4.679mmca −= × = 第六章第六章第六章第六章 6-1 答：在拉伸载荷作用下，圆盘形裂纹、椭圆裂纹、表面半椭圆裂纹尖端各处的应力强度因子是 不同的，因此应力强度因子是角度 θ 的函数。对于半无限大体中半椭圆表面裂纹，应力强度因 子可以表示为 1/ 42 2 2 2sin cos( ) t f a aK M E k c σ pi θ θ = +    在裂纹表面处，由于 0θ = ，因此 ( ) t f a aK M E k c σ pi = ；而在裂纹最深处， / 2θ pi= ，因此 ( ) t f aK M E k σ pi = 。 6-2 答：在弹性小变形条件下，拉、弯组合载荷作用下的应力强度因子可以由拉伸、弯曲载荷作用 下表面裂纹的应力强度因子解叠加得到。 拉伸、弯曲载荷组合作用时，垂直于裂纹面作用的既有拉伸正应力，又有弯曲正应力。组 合载荷作用下裂纹面上的正应力通常是线性或近似线性分布的。将非线性（即近似线性）分布 的名义应力作线性近似，再将线性分布的应力视为均匀拉伸和纯弯曲两种情况的叠加，即可以 将垂直于裂纹作用的分布载荷线性化并分解成拉弯组合两部分。 6-3 解：题为大直径球壳，可认为是有限体中的埋藏椭圆裂纹，则： ( , , , ) ( ) t e aa a cK F c t w E k σ piφ= 且0 0.3a c ≤ = < ∞， 0 0.5c w − > < ， pi φ pi− ≤ ≤ ， / 0.06 1 2 t a = < ，故满足上式的使用范围。 几何修正函数为： 2 4 1 2 3 1[ ( ) ( ) ]/ 2 / 2e w a aF M M M g f f t t φ = + + 由于 1a c ≤ ，故有： 1 1M = 2 3/ 2 0.05 0.1823 0.11 ( / )M a c= =+ 3 3/ 2 0.29 0.7354 0.23 ( / )M a c= =+ 4 1 ( / ) cos 21 1 4( / ) t a g a c φ = − + 1/ 42 2 2( / ) cos sinf a cφ φ φ = +  1wf = 且有： 1/ 21.65( ) 1 1.464( / ) 1.0958E k a c = + =  短轴方向即 / 2φ pi= 时的应力强度因子最大，此时： 1 1g = ， 1fφ = 则： 1.007 1eF = ≈ ………… 6-4 解：半椭圆表面裂纹得应力强度因子为： ( , , , ) ( )s a a c aK F c t w E k σ piφ= 且：0 0.4 2a c ≤ = < ， 0.05 0.5c w = < ， / 1/ 6 1a t = < ，满足上式的应用范围。 表面裂纹的几何修正系数为： 2 4 1 2 3 1[ ( ) ( ) ]s w a aF M M M g f f t t φ = + + 本题中， 1a c ≤ ，故有： 1 1.13 0.09 1.094 aM c = − = 2 0.54 0.89 /[0.2 / ] 0.943M a c= − + + = 24 3 10.5 14(1 ) 0.452 0.65 aM a c c = − + − = − + 1/ 2{sec[ ]} 1 2w c af W t pi = ≈ 2 2 2 1/ 4[( ) cos sin ]af c φ φ φ= + 2 2 1 1 [0.1 0.35( ) ](1 sin ) ag t φ= + + − 且： 1.65 1/ 2( ) [1 1.464( / ) ] 1.15E k a c= + = 1） 裂纹表面处（ 0φ = ）： 0.6234fφ = ， 1 1.11g = 将各项数据代入可得： 0.786sF = ， (0) 32.5MPa mK = 2） 裂纹最深处（ / 2φ pi= ）： 1fφ = ， 1 1g = 将各项数据代入可得： 1.120sF = ， ( / 2) 46.3MPa mK pi = 6-5 解：半椭圆表面裂纹的应力强度因子可以表达为： )(),,,( kE a W c t a c aFK ts piσφ= 由于 0≤a/c=2/3<2，c/W=3/（3.14×500）<0.5，a/t=1/9<1，因此满足上式的适用范围。 表面裂纹的几何修正函数记作 Fs 为： Ws ffgt aM t aMMF φ1 4 3 2 21 ])()([ ++= 注意到本题 a/c≤1，故有： )/(09.013.11 caM −= =1.07 )]/(2.0/[89.054.02 caM ++−= =0.487 ； 24 3 )1(14)(65.0 15.0 c a ca M −+ + −= =－0.2595 在φ=90 度的时候得到最大的应力： 22 1 )sin1]()/(35.01.0[1 φ−++= tag =1 且有： 4/1222 ]sincos)/[( φφφ += caf =1 1/ 2 1/ 25 1[sec( )] [sec( )] 2 1000 12W c af W t pi pi = = =1.00001≈1 修正系数为： 2 41 1[1.07 0.487( ) 0.2595( ) ] 1 9 9s F = + − × =1.07 当 a/c=0.2<1 时，有： 2/165.1 ])/(464.11[)( cakE += =1.3228 在承受内压圆筒形容器中的最大应力是环向应力，则： / 2 [40 500 /(2 18)] 5000 / 9MPapD t MPaσ = = × × = 则可得到： 3 / 2 5000 3.14 2 101.07 35.59 9 1.3228 Kpi −× × = = × MPa m 故有容器的抗断裂工作安全系数: 1/ 60 / 35.59 1.68f ICn K K= = = 6-6 解：拉伸载荷作用下，双侧对称孔边角裂纹的应力强度因子为： ( , , , , ) ( ) t ch aa a R cK F c t w w E k σ piφ= 且：0.2 0.5 2c a ≤ = ≤ ， / 0.1 1a t = < ，0.5 0.6 1 2 R d t t ≤ = = ≤ ， / 2 0.4 0.5R c d c W W + + = = < 满足上式的使用条件。几何修正系数为： 2 4 1 2 3 1 2 3[ ( ) ( ) ]ch w a aF M M M g g g f f t t φ = + + 本题中： 1c a ≤ ，则： 1 1.13 0.09 1.085 aM c = − = 2 0.54 0.89 /[0.2 / ] 0.731M a c= − + + = 24 3 1