1.2平面等参元

第二节 平面四结点等参元 一、坐标变换与等参单元 对于一般形状的平面区域，可以划分成任意四边形单元，它比三角形常应力单元精 度高，比矩形单元适应性强，便于适应一般的边界，也便于按需要划分疏密不均的网格， 图 2.1(a)所示的任意四边形单元，它相对于统一坐标系 xy 处于一般的位置，可以其四个 角点为结点，结点编号如图 2.1(a)．为了便于单元分析，可按单元的几何形状，在单元 内建立一个局部坐标系列，使单元边界上的 , 坐标具有特定的值． 图 2.1 等参变换 如在图 2.1(a)中，3—4 边上使 1  ，1—2 边上使 1   ，2—3 边上使 1  ,1—4 边 上使 1   ．显然这是一种随单元形状而不同的局部坐标系，其坐标网格一般不是正交 的．每个单元内，坐标 , 的值皆在一 1 与+1 之间，各单元都是一样的区间．此坐标系 可称为单元的自然坐标系，其坐标区域是一个 2×2 的正方形，如图 2.1(b)所示．正方形 的四个边对应于实际单元的边界，四个顶点也一一对应于四个结点；正方形内任一点 P( ,  )都对应于实际单元内的一个点P(x，y)．这也相当于通逋过坐标变换把实际单元“映 射”为一个正方形，有人把图 2.1(a)称为实单元，图 2.1(b)称为母单元．实单元与母单元 的一一对应关系可写为 13 1 1 2 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 3 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x N N N N yx N N N N xy y x y                        (2.1) 其中  1 1 1 14N      2 1 1 1 4 N     ，  3 1 1 14N     ，  4 1 1 1 4 N     ， (2.2) 由式(2.1)可见，这也是用结点的坐标值 x1，y1，x2，y2，x3，y3，x4，y4 插值表 示出单元内的坐标 x，y，与单元分析中常用的结点位移插值一样， 也可称 为形状函数，只不过这里的形状函数都表示为自然坐标 1 2 3 4N ,N ,N ,N ,  的显函数，如式(2.2)， iN ,   称为几何形状函数． 事实上，只须说明变换式(2.1)将 , 平面上的相应点、线变成图 2.1(b)中相应的点、 线就可以了．比如把 ( 1 1,    )和 ( 1, 1   )代入上式，则得 ( 2 2x x , y y  )和 ( 3 3x x , y y  )，所以图 2.1(b)中的 2(1，-1)，3(1，1)和图 2.1(a)中 2(x2，Y2)，3(x3，y3) 相对应．若 0, 0   代入上式，则  2 3 4114x x x  x x  ,  3 4y y y 1 2 1 4 y y  ，说明 (b)图的形心和(a)图的形心完全相对应．可以证明：两个单元的等百分线也一一对应． 面中 1  的直线，通过式(2.1)变换之后即是 xy 平面上 2 3 直线．式(2.1)是单元几何位置 的一种插值表示，也是一种坐标变换，它确定了直角坐标 x，y 与单元自然坐标 , 间的 关系．由式(2.2)可以看出，这种变换中含有乘积项 ，这不是一种简单的线性变换关 系． 形状函数表达式(2.2)可理解为真实单元在无因次斜坐标系  ,  中的插值函数．于 是单元的位移函数是 14 1 1 2 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 3 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 u v u N N N N vu N N N N uv v u v                           eN  (2.3) 这就是我们习惯的位移插值表达式，[N]为形状函数矩阵，这里采用了同样的形状函数 (2.2)，用同样的结点插值表示出单元的几何坐标 x，y 与位移 u,v，这就是等参单元。也 可以用不同的结点，不同的形状函数分别插值单元几何坐标 x，y 和位移 u,v，有所谓超 参数单元和亚参数单元，但应用较少． 二、单元刚度矩阵的计算 为计算单元刚度矩阵，须求单元内的应变，对平面问题，应有       0 0 x e y xy x u L N y y x                              eB  (2.4) 由于参数单元给出的形状函数 Ni 都是自然坐标 , 的函数，如式(2.2)，因而，计算 形状函数 对 x，y 的导数时需要做必要的变换． iN 按坐标变换关系式(2.1)，x，y 与 , 间是有一定函数关系的，按复合函数的求导规 则，有 i i iN N Nx y x y            i i iN N Nx y x y            或   i i i i ii N x y N N x xJN NN x y y y                                                              由上式可以解出 15   1 ii i i NN x JN N y                          (2.5) 这里有   x y J x y                  J 为坐标变换的雅可比矩阵，其中各元素可由式(2.1)求出，即 4 1 i i i Nx x     ， 4 1 i i i Ny y     4 1 i i i Nx x     ， 4 1 i i i Ny y     将式(2.4)中的应变矩阵[B]按结点分块表示有[B]=[B1，B2，B3，B4]，其中   0 0 i i i i i N x NB y N N y x               1, 2,3, 4i  (2.5) 将式(2.5)决定的 ,iN Ni x y     代入上式，即可得出此单元的应变矩阵[B]，而单元的刚度矩阵 同样可由下式决定：             e e e T T V S k B D B dV B D B tdS   一般情况下，Ni 以及 ,iN Ni x y     等皆为 , 的函数，因而[B]，[J]等皆为 , 的函数，上 述积分应在自然坐标系内进行，其面积元素 dA 也应以d ,d 表示． dA dxdy J d d   (2.6) 有了应变矩阵[B]及面积元素的表达式(2.6)，就可以求积计算单元的刚度矩阵       1 1 1 1 e Tk B D B t J d d       (2.7) 16 上式对应于自然坐标 , 的积分上、下限是很简单的，但是，式中[B]，[J]皆为函数矩阵， 中间还要求函数矩阵[J]的逆，很难求出积的解析表达式．一般参数单元的计算都采用数 值积分求式(2.7)的近似值．等参单元计算中，为了减少计算点的数目和便于编制程序， 多采用高斯数值积分方法． 经过坐标变换，单元具有双重特性：一方面，x，y 坐标系下的单元的几何特征，载 荷等等，都来自实际结构，充分反映了实际情况，另一方面，大量计算工作是在母单元 内进行的，由于它的形状简单，而且规则，计算比较方便，并便于循环，特别有利于在 计算机上进行计算，兼有两方面的优点。 17 第三节 单元形函数 如前所述，在等参单元形函数的构造中，只要式  i j j ijN ,   ,   1 1 m i i N ,    成 立，便可满足单元完备性要求。对于母单元这种简单的规则单元，边界线方程很容易写 出，因此采用几何方法构造单元形函数非常方便. 母单元的节点数目与形函数的阶次相适应，以保证用形函数定义的未知量在相邻单 元之间的连续性。因此，对于线性、二次和三次形函数，单元每边应分别有 2 个、3 个、 4 个节点(图 3.1)。 图 3.1 标准单元 在进行等参坐标变换时，母单元都是 2×2 的正方形，而子单元则可随母单元阶次而 不同。线性母单元映射成的子单元是直边四边形(图 3.2)；二次和三次母单元映射成的子 单元可分别是二次曲线和三次曲线组成的四边形(图 3.3)。显然，母单元的直线正交坐标 勋，可看成子单元的曲线坐标。 (1) 线性单元(Q4 单元) 图 3.2 线性单元的坐标变换 线性单元以 4 个角点为节点。为构造 ，需做如下两条直线：1N 1 1 0f    和 2 1 0f    ，它们通过节点 2，3，4，但不通过节点 1。故可得 18         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 N            同理可构造出 ，从而有 2 3 4, ,N N N            1 2 3 4 1 11 1 , 1 1 4 4 1 11 1 , 1 1 4 4 N N N N                      (3.1) 或  1 1 1 4i i N i     (i=1，2，3，4) (2) 二次单元(Q8 单元) 图 3.3 二次单元的坐标变换 在二次单元中，除 4 个角点外，其他节点放在各边的中点。为构造 ，我们需做三 条直线 1N 1 1 0f    ， 2 1 0f    和 3 1 0f      ,它们通过节点 2，3，4，5，6，7， 8，但不通过节点 l。可得           1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 N                         同理可构造出其他形函数，并可统一表示为     0 0 0 01 1 1 1 1,2,3,44iN i             2 01 1 1 5,2iN i     7    2 01 1 1 6,2iN i     8 (3.2) (3)三次单元(Q12 单元) 19 20 除 4 个角点外，三次单元的其他节点放在各边的三分点上。按上述方法不难构造出 这种单元的形函数。       2 20 01 1 1 9 10 1,2,3,432iN i                20 09 1 1 9 1 5,6,7,32iN i       8      20 09 1 9 1 1 9,10,11,1232iN i       (3.3) 不难验证，以上各种形函数都满足式  i j j iN , j   ,   1 1 m i i N ,    的要求，从而也就 满足了完备性。 第二节 平面四结点等参元 一、坐标变换与等参单元 第三节 单元形函数