文章编号: 0253-2239( 2002) 10-1236-05
哈特曼 夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差*
李新阳 姜文汉
(中国科学院光电技术研究所自适应光学研究室, 成都 610209)
摘要: 利用哈特曼 夏克传感器测量圆孔径内波像差时,通常使用泽尼克模式复原算法。推导了一般情况下哈特
曼 夏克传感器泽尼克模式波前复原误差的计算公式。用哈特曼 夏克传感器测量一个像差板的随机静态像差, 通
过与 ZYGO 干涉仪的测量结果比较, 得到不同泽尼克模式复原阶数下的波前复原误差的实验结果, 并与理论计算
结果进行了对比。
关键词: 哈特曼 夏克传感器; 模式波前复原; 泽尼克多项式
中图分类号: TB95 文献标识码: A
* 国家 863 高技术
激光领域资助课
。
E-mail: xy li@ ioe. ac. cn
收稿日期: 2001-06-20; 收到修改稿日期: 2001-11-12
1 引 言
哈特曼 夏克型波前传感器是目前常用的测量
静态或动态波前像差的工具[ 1~ 4]。它的基本原理
是把波前划分为若干个子孔径, 在各个子孔径上分
别测量两个正交方向上的波前偏导值, 即波前斜率,
然后根据子孔径上的波前斜率进行波前复原计算,
得到整孔径上的波前像差。常用的波前复原算法有
模式法和区域法等[ 1~ 4]。
泽尼克( Zernike)多项式是圆孔径上模式波前
复原时最常用的数学工具之一[ 5, 6]。但是哈特曼
夏克传感器的泽尼克模式复原误差问题始终没有得
到透彻的研究。国内外关于哈特曼 夏克传感器测
量误差的文献中,侧重于子孔径斜率测量精度的分
析,关于模式波前复原误差的分析较少,并且缺乏通
用性[ 7~ 9]。所以长久以来,人们在对哈特曼 夏克传
感器进行泽尼克模式波前复原时,常常凭经验选择
模式复原阶数。本文试图建立一套一般情况下哈特
曼 夏克传感器泽尼克模式波前复原误差的计算公
式,并对计算公式的准确性进行实验验证。
2 利用哈特曼 夏克传感器测量波前
像差
众所周知, 泽尼克多项式在圆域内是正交完备
的。任意波前像差都可以描述为一系列正交泽尼克
多项式的线性组合[ 5, 6]。考虑最一般的情况, 一个
动态波前像差可以
示为:
U( r , t ) = E
p
k= 1
ak( t ) z k( r ) , (1)
其中 z k( r ) 是多项式的第 k 项, 或称为第 k 阶泽尼
克模式, ak( t ) 是模式系数, t 是时间序列, p 是波前
像差中包含的泽尼克模式阶数。通常为了准确描述
某种像差需要的模式阶数很多, 达到几十或上百项。
泽尼克模式的特性由径向频率数 n和角向频率数m
决定。本文中泽尼克模式的定义与Noll相同,只是本
文以波前倾斜( m = n = 1) 为第一项开始排列,而
Noll文献中以波前平移( m = n = 0) 为第一项开始
排列[ 5, 6]。因为哈特曼 夏克传感器无法测量波前平
移,而且多数光学系统(如自适应光学系统) 中也不
考虑波前平移影响,所以本文不讨论波前平移。
Fig. 1 The pr inciple diagram of Hartmann-Shack
wavefront sensor
哈特曼 夏克传感器的基本工作原理如图 1所
示。一组孔径大小和焦距相同的微透镜阵列把主孔
径划分为若干个子孔径分别成像,用 CCD相机等面
阵探测器件测量出每个子孔径上像点与标定位置的
第 22 卷 第 10 期
2002 年 10 月
光 学 学 报
ACTA OPT ICA SINICA
Vol. 22, No. 10
October, 2002
偏移量,换算出波前斜率。子孔径上的波前斜率与
整个圆孔径上波前像差间的关系为:
gai = Qdr W i ( r ) [ ý U( r , t ) # a] , ( 2)
其中 W i ( r ) 是第 i 个子孔径的归一化权重函数, ý
是斜率算子, a 是表示斜率测量方向的单位向量, 通
常定义在 x、y 两个正交方向上。子孔径波前斜率与
泽尼克模式系数间的关系为:
gai = E
p
k= 1
akQdr W i ( r )5 z k( r ) / 5 a, ( 3)
上式可以表示为矩阵形式
g = (
p
1 Z ) (
p
1 a) , ( 4)
其中 g = [ gx1, gy1, ,, gxm , gym ] T是哈特曼 夏克传
感器的子孔径波前斜率向量, m 是探测器的子孔径
数, jia = [ ai , ai+ 1, ,, aj ] T是第 i 到j 阶泽尼克模式
系数向量, ji Z是子孔径波前斜率与第 i到j 阶泽尼克
模式系数间的关系矩阵, 其中矩阵元素
Zika = QdrW i ( r )5 z k( r ) /5 a.
一旦哈特曼 夏克传感器的子孔径布局形式确定, Z
矩阵的各个元素就可以事先精确计算出来。
通常情况下待测像差中包含的模式阶数 p 未
知,波前复原时测量者凭经验选择的模式阶数 q 不
一定等于 p。根据最小方差准则, 从哈特曼 夏克传
感器子孔径波前斜率复原计算 q阶泽尼克模式系数
的过程为:
q
1 ac= ( q1 Z)+ g, ( 5)
其中11ac = [ ca 1, ca 2, ,, ca q ] T 为复原出的模式系数
向量, q 是复原模式阶数, 矩阵( q1 Z )+ 为矩阵 q1 Z 的
广义逆。根据复原出的泽尼克模式系数得到波前像
差的测量结果为:
cU( r , t ) = E
q
k= 1
ca k( t ) z k( r ) . ( 6)
3 哈特曼 夏克传感器的模式波前复
原误差
哈特曼 夏克传感器中,经模式复原出的波前与
待测原始波前间的误差为:
R
2
( q ) =
Qdr3 E
p
i= 1
ai ( t ) z i ( r ) - E
q
j= 1
ca j ( t ) z j ( r )
2
4, ( 7)
其中3#4表示信号的时间系综平均。泽尼克模式具
有在圆孔径上互相正交的性质Qdrz i ( r ) z j ( r ) =
Di , j ,所以上式展开为
R
2
( q) = E
p
i = 1
3a i ( t ) 24+ E
q
i= 1
3 ca i ( t ) 24-
2 E
s
i= 1
3 ca i ( t ) a i ( t )4,
s = min( p , q ) ,
(8)
如果令 ji Caa= 3( ji a) ( jia) T4为待测波前像差中第 i到
j 阶泽尼克模式系数的统计相关矩阵, q1 C ca ca =
3( q1 ca ) ( q1 ca ) T4为复原出的第 1到 q阶模式系数的统
计相关矩阵, s1 Ca ca = s1 Cca a = 3( s1 ca ) ( s1a) T4为第 1
到 s 阶的复原出模式与原始像差中相应模式的统计
相关矩阵。则上式可以表示为:
R
2
( q) = t r(
p
1 Caa ) + t r(
q
1 Cca ca ) - 2tr(
s
1C caa ) , (9)
其中 t r(#) 表示求矩阵迹运算。不失一般性, 假设
p > q 或 s = q ,则:
R2( q ) = t r( pq+ 1Caa ) +
t r( q1 Caa+
q
1 C ca ca - 2
q
1 Ccaa ) =
R
2
cutting( q ) + R
2
coupling( q ) . (10)
上式中第一项为模式复原阶数不够造成的模式截断
误差,第二项为复原出模式与原始像差中模式间的
差异造成的模式混淆误差, 它们都与模式复原阶数
q 有关。在 q \ p 的情况下, 不存在模式截断误差,
但仍存在模式混淆误差。
通常在子孔径波前斜率测量过程中还会引入测
量噪声 n。n一般为高斯白噪声形式, 叠加在真实斜
率测量值上,与真实斜率测量值互不相关,且满足
3gn T4 = 3ngT4, 3nnT4= R2nI, (11)
其中 I 为单位矩阵。上式假设各个子孔径上的噪声
方差同为 R2n。易于证明噪声引起的波前模式复原误
差也与模式复原阶数 q 有关:
R
2
noise( q) = t r[ (
q
1 Z)
+
(
q
1 Z)
+ T
] R
2
n. (12)
一般情况下, 传感器的模式波前复原误差是模式截
断误差、模式混淆误差、噪声引起的误差总和:
R
2
( q) = R
2
cutting( q) + R
2
coupling( q ) + R
2
noise( q ) . (13)
从上面的分析中可以看到, 哈特曼 夏克传感
器的模式波前复原误差与待测波前像差中的模式分
布特性密切相关, 即与矩阵 Caa 有关。其中最复杂的
情况是包含无数阶模式的动态像差, 如大气湍流畸
变波前; 而最简单的情况是只包含有限阶模式的静
态像差, 如像差板。这两种情况都可以用(13) 式和
上面的方法进行分析。限于篇幅,本文仅分析哈特曼
夏克传感器对静态像差的模式复原误差。
123710 期 李新阳等: 哈特曼 夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差
4 哈特曼 夏克传感器对静态像差的
测量误差
在利用哈特曼 夏克传感器对光学器件面形加
工精度、光学系统的装调像差等进行测量时, 可以把
待测量的对象看作是只包含有限阶泽尼克模式的静
态波前像差。对一个有限 p 阶的静态像差p1a = [ a1,
a2, ,, ap ] T ,用 q阶模式进行复原,复原模式系数间
的关系为:
q
1 ca = ( q1 Z )+ ( p1 Z) ( p1 a) , (14)
这时:
p
1 Caa = (
p
1 a) (
p
1 a )
T , ( 15a)
q
1 Cca ca = (
q
1 ca ) ( q1 ca ) T =
(
q
1 Z)
+
(
p
1 Z ) (
p
1 Caa) (
p
1 Z)
T
(
q
1 Z)
+ T
, ( 15b)
s
1C ca a = (
s
1 ca ) ( s1a) T =
(
s
1Z )
+
(
p
1 Z) (
p
1 ca ) ( s1a ) T ,
s = min( p , q ) , ( 15c)
根据(9) 式和(15) 式可以计算这种情况下的波前复
原误差。可见这时的波前复原误差与( q1 Z )+ ( p1 Z) 的
值密切相关。根据矩阵理论,只有在 q = p [ 2m 的
特殊情况下,两矩阵满足( q1 Z )+ T ( q1 Z) = I, 这时复
原模式将与待测模式完全一致, 模式截断误差和模
式混淆误差均不存在。当 q X p 时都会存在模式混
淆误差。当 q < p , 某些高阶模式被复原为低阶模
式,当 q > p , 某些低阶模式又被复原为高阶模式。
Fig . 2 Subaper ture configuration of a Har tmann-Shack
w avefront sensor
5 实验和结果分析
本文使用的哈特曼 夏克传感器子孔径划分形
式如图 2所示。传感器中 CCD的靶面为 128 @ 128
像素, 每子孔径 16 @ 16像素, 12位数模转换图像的
读出速率为 419帧/秒,共连续采样 1024 帧进行分
析。传感器的零点事先用标准平行光源进行标定。
按照检验哈特曼 夏克传感器测量精度的常用做法,
先用 ZYGO干涉仪对像差板的像差分布情况进行
测量,然后用传感器对同一像差板进行测量,并对比
两种测量结果。一般认为 ZYGO干涉仪的测量结
果比较准确, 可以用作对比的基准。实验中 ZYGO
干涉仪和传感器的测量光源都是波长 0. 6328Lm 的
氦氖激光,准直成一束标准平行光,光束的强度也调
整到比较理想的程度。
本文所用的 ZYGO- Ó型干涉仪的测量结果以
一种特殊泽尼克多项式的系数表示。这种特殊泽尼
克多项式把每阶波前模式的极值归一化为 1, 而
Noll定义的泽尼克多项式把每阶波前模式的方差归
一化为 1。另外, 两种泽尼克多项式的模式序号排
列方式不同。例如 ZYGO 干涉仪的第 15阶泽尼克
多项式对应 Noll定义的第 21阶泽尼克多项式 (高
阶球差)。根据各自的定义,这两种泽尼克多项式的
系数间能够一一对应地、无误差地互相转换。
实验所用的像差板是经光学磨制后的普通窗玻
璃,包含有静态的随机像差。普通窗玻璃的随机像
差大小和像差分布都不易控制, 加工后一定要筛选
出那些像差大小合适的才能作为像差板使用,所以
成品率较低。为了配合实验,特地挑选了一块像差
类型比较丰富的像差板作为样品。ZYGO干涉仪对
像差板的波前测量结果如图 3所示,峰谷值大约 5
个波长,同时给出了用前 15阶特殊泽尼克多项式系
数表示的像差分布情况, 以离焦为主要成分。为了
方便对比, 首先把 ZYGO 干涉仪测量结果转化为
Noll所定义的泽尼克多项式系数, 共 21阶, 如表 1
中所示。其中两个波前整体倾斜项( n= 1, m = 1, j
= 1, 2)无法对比, 故没有计算在内。
Fig. 3 Measured wavefront of an aber ration plate
with ZYGO interferometer
接着用哈特曼 夏克传感器对同一块像差板进
行测量。分别计算了不同模式复原阶数下的泽尼克
复原系数,用 128 @ 128的网格复原出了波前像差并
与 ZYGO干涉仪的测量结果对比, 计算出均方根波
1238 光 学 学 报 22 卷
前复原误差。总复原阶数 q 分别是 7、11、35、65 等
几种情况下的前 25阶的泽尼克系数的复原结果如
表 1所示, 可见模式混淆误差确实存在。波前复原
误差与泽尼克模式复原阶数的关系如图 4所示。可
见在模式复原阶数达到 7时均方根波前复原误差已
经达到 1/ 10波长,并且理论结果与实际计算结果符
合得非常好。但实验结果显示当复原阶数等于 11
时,均方根波前复原误差达到最小值约 1/ 30 波长;
而理论计算结果表明当复原阶数等于 15时, 均方根
波前复原误差的最小值约 1/ 250波长。理论结果与
实际计算结果都显示,随着复原阶数的继续增加, 波
前复原误差持续变大。但当复原阶数大于 10后, 均
方根波前复原误差的理论计算结果优于 1/ 100波
长,而实验结果在 1/ 30到 1/ 20波长左右。
Fig. 4 T he relationship between reconstructed Zernike mode
number and the reconstructed wavefront er ror
T able 1. Zernike coeff icients measured results
Zernike order
j n m
ZYGO measured
Hartmann-Shack measured r esult
q= 7 q= 11 q= 21 q= 35 q= 65
3 2 0 1. 4172 1. 4172 1. 4193 1. 4184 1. 4187 1. 4209
4 2 2 - 0. 1770 - 0. 1500 - 0. 1500 - 0. 1466 - 0. 1459 - 0. 1477
5 2 2 0. 3510 0. 3937 0. 3899 0. 3899 0. 3876 0. 3826
6 3 1 - 0. 0034 0. 0050 0. 0033 0. 0020 0. 0034 - 0. 0015
7 3 1 0. 0215 0. 0092 0. 0096 0. 0188 0. 0215 0. 0076
8 3 3 - 0. 0807 - 0. 0753 - 0. 0775 - 0. 0764 - 0. 0756
9 3 3 - 0. 0342 - 0. 0161 - 0. 0158 - 0. 0131 - 0. 0193
10 4 0 - 0. 0083 - 0. 0021 - 0. 0038 - 0. 0036 - 0. 0028
11 4 2 - 0. 0027 0. 0035 0. 0035 - 0. 0026 - 0. 0037
12 4 2 - 0. 0026 - 0. 0036 - 0. 0016 - 0. 0035
13 4 4 0 0. 0199 0. 0210 0. 0220
14 4 4 0 - 0. 0210 - 0. 0218 - 0. 0106
15 5 1 0. 0029 - 0. 0110 - 0. 0112 - 0. 0107
16 5 1 0. 0004 0. 0018 0. 0037 0. 0039
17 5 3 0 0. 0003 0. 0029 0. 0054
18 5 3 0 0. 0027 0. 0060 0. 0040
19 5 5 0 - 0. 0009 0. 0001 - 0. 0000
20 5 5 0 - 0. 0000 0. 0042 0. 0021
21 6 0 - 0. 0015 - 0. 0018 0. 0017 - 0. 0001
22 6 2 0 - 0. 0045 - 0. 0020
23 6 2 0 0. 0091 0. 0164
24 6 4 0 0. 0007 0. 0110
25 6 4 0 - 0. 0024 - 0. 0024
分析造成这种差异的主要原因是 ZYGO 干涉
仪的测量误差、仪器的对准误差、哈特曼 夏克传感
器的随机测量误差等。首先 ZYGO 干涉仪的测量
结果并不是绝对准确的。根据说明
, 本试验所用
ZYGO- Ó型干涉仪存在约1/ 30波长的峰谷值误差。
其次虽然经过仔细调整, 像差板在两次装夹过程中
仍会有一定的对准误差。另外测量过程中工作环境
的气流变化、温度变化、相机的电子噪声等随机因素
对传感器的测量精度也有轻微的影响。以上这些因
素使实际情况下哈特曼 夏克传感器不可能达到理
论预计的优于 1/ 100波长的测量精度。对本文中的
哈特曼传感器来说, 1/ 30波长的测量精度已经非常
令人满意了。因此可以说实验中测量结果与理论计
算结果间的差异水平是正常的,也说明本文关于哈特
曼 夏克传感器模式复原误差的分析方法是正确的。
结论 本文研究了哈特曼 夏克传感器采用泽尼克
模式复原算法时的波前复原误差。分析了模式截断
123910 期 李新阳等: 哈特曼 夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差
误差、模式混淆误差和噪声引起的复原误差的来源
和影响因素。给出了一般情况下计算哈特曼 夏克
传感器泽尼克模式复原误差的公式。用哈特曼 夏
克传感器实际测量了一个像差板的静态像差, 用不
同的泽尼克模式阶数进行波前复原, 并与 ZYGO 干
涉仪的波前测量结果比较。实验结果验证了本文理
论分析方法是正确的。该分析方法不仅适用静态像
差情形,还可以推广到动态像差的情形。限于篇幅,
关于哈特曼 夏克传感器对大气湍流动态畸变波前
测量误差的问题,将在另外的文章中进行分析。
目前在使用哈特曼 夏克传感器的过程中,模式
复原阶数的选取都凭经验, 存在相当大的随意性。
通常认为哈特曼 夏克传感器的波前复原精度只与
子孔径数目和分割方式有关。本文的分析表明, 哈
特曼 夏克传感器的波前复原精度还与选择的模式
复原阶数和待测像差特性密切有关。原则上子孔径
数目越多,采用的泽尼克模式复原阶数越多, 波前复
原精度会越高; 但在相同子孔径条件下,如果模式复
原阶数选得过多,模式耦合误差和测量噪声等的影
响会增加,最终反而会降低传感器的波前复原精度。
例如本文中 52子孔径的哈特曼 夏克传感器, 对静
态像差板的最优复原阶数是 15。模式阶数过少或
过多都会增加波前复原误差。所以模式复原阶数应
该根据实际情况合理选择, 才能保证传感器的波前
复原精度。
本文中的实验数据由中科院光电所的同事饶长
辉博士提供, 同事沈锋博士和饶学军副研究员对本
文提供了帮助,在此一并表示感谢。
参 考 文 献
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Zernike Modal Wavefront Reconstruction Error of Hartmann-Shack
Wavefront Sensor
Li Xinyang Jiang Wenhan
( Lab on Adap tive Optics, Institute of Op tics and Electronics , The Chinese Academy of Sciences , Chengdu 610209)
( Received 20 June 2001; revised 12 November 2001)
Abstract: Zernike modal w avefront reconstruction algorithm was used commonly for Hartmann-
Shack sensor in circle apertures. Formulas to calculate the modal w avefront reconstruction error of
Hartmann-Shack sensor in general condition were deduced. An aberration plate containing random
static w avefront aberrat ions was measured w ith a Hartmann-Shack sensor and a ZYGO
interferometer respectively, then the modal w avefront reconstruction error of Hartmann-Shack
sensor while using different Zernike polynomials w as obtained. The experimental results w ere
analyzed and compared w ith theoretical calculations.
Key words: Hartmann-Shack wavefront sensor; modal wavefront reconstruction; Zernike
polynomials
1240 光 学 学 报 22 卷