为了正常的体验网站,请在浏览器设置里面开启Javascript功能!
首页 > 哈特曼_夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差

哈特曼_夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差

2013-07-25 5页 pdf 209KB 43阅读

用户头像

is_553027

暂无简介

举报
哈特曼_夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差 文章编号: 0253-2239( 2002) 10-1236-05 哈特曼 夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差* 李新阳 姜文汉 (中国科学院光电技术研究所自适应光学研究室, 成都 610209) 摘要: 利用哈特曼 夏克传感器测量圆孔径内波像差时,通常使用泽尼克模式复原算法。推导了一般情况下哈特 曼 夏克传感器泽尼克模式波前复原误差的计算公式。用哈特曼 夏克传感器测量一个像差板的随机静态像差, 通 过与 ZYGO 干涉仪的测量结果比较, 得到不同泽尼克模式复原阶数下的波前复原误差的实验结果, 并与理论计算 结果进行...
哈特曼_夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差
文章编号: 0253-2239( 2002) 10-1236-05 哈特曼 夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差* 李新阳 姜文汉 (中国科学院光电技术研究所自适应光学研究室, 成都 610209) 摘要: 利用哈特曼 夏克传感器测量圆孔径内波像差时,通常使用泽尼克模式复原算法。推导了一般情况下哈特 曼 夏克传感器泽尼克模式波前复原误差的计算公式。用哈特曼 夏克传感器测量一个像差板的随机静态像差, 通 过与 ZYGO 干涉仪的测量结果比较, 得到不同泽尼克模式复原阶数下的波前复原误差的实验结果, 并与理论计算 结果进行了对比。 关键词: 哈特曼 夏克传感器; 模式波前复原; 泽尼克多项式 中图分类号: TB95 文献标识码: A * 国家 863 高技术激光领域资助课。 E-mail: xy li@ ioe. ac. cn 收稿日期: 2001-06-20; 收到修改稿日期: 2001-11-12 1 引 言 哈特曼 夏克型波前传感器是目前常用的测量 静态或动态波前像差的工具[ 1~ 4]。它的基本原理 是把波前划分为若干个子孔径, 在各个子孔径上分 别测量两个正交方向上的波前偏导值, 即波前斜率, 然后根据子孔径上的波前斜率进行波前复原计算, 得到整孔径上的波前像差。常用的波前复原算法有 模式法和区域法等[ 1~ 4]。 泽尼克( Zernike)多项式是圆孔径上模式波前 复原时最常用的数学工具之一[ 5, 6]。但是哈特曼 夏克传感器的泽尼克模式复原误差问题始终没有得 到透彻的研究。国内外关于哈特曼 夏克传感器测 量误差的文献中,侧重于子孔径斜率测量精度的分 析,关于模式波前复原误差的分析较少,并且缺乏通 用性[ 7~ 9]。所以长久以来,人们在对哈特曼 夏克传 感器进行泽尼克模式波前复原时,常常凭经验选择 模式复原阶数。本文试图建立一套一般情况下哈特 曼 夏克传感器泽尼克模式波前复原误差的计算公 式,并对计算公式的准确性进行实验验证。 2 利用哈特曼 夏克传感器测量波前 像差 众所周知, 泽尼克多项式在圆域内是正交完备 的。任意波前像差都可以描述为一系列正交泽尼克 多项式的线性组合[ 5, 6]。考虑最一般的情况, 一个 动态波前像差可以示为: U( r , t ) = E p k= 1 ak( t ) z k( r ) , (1) 其中 z k( r ) 是多项式的第 k 项, 或称为第 k 阶泽尼 克模式, ak( t ) 是模式系数, t 是时间序列, p 是波前 像差中包含的泽尼克模式阶数。通常为了准确描述 某种像差需要的模式阶数很多, 达到几十或上百项。 泽尼克模式的特性由径向频率数 n和角向频率数m 决定。本文中泽尼克模式的定义与Noll相同,只是本 文以波前倾斜( m = n = 1) 为第一项开始排列,而 Noll文献中以波前平移( m = n = 0) 为第一项开始 排列[ 5, 6]。因为哈特曼 夏克传感器无法测量波前平 移,而且多数光学系统(如自适应光学系统) 中也不 考虑波前平移影响,所以本文不讨论波前平移。 Fig. 1 The pr inciple diagram of Hartmann-Shack wavefront sensor 哈特曼 夏克传感器的基本工作原理如图 1所 示。一组孔径大小和焦距相同的微透镜阵列把主孔 径划分为若干个子孔径分别成像,用 CCD相机等面 阵探测器件测量出每个子孔径上像点与标定位置的 第 22 卷 第 10 期 2002 年 10 月 光 学 学 报 ACTA OPT ICA SINICA Vol. 22, No. 10 October, 2002 偏移量,换算出波前斜率。子孔径上的波前斜率与 整个圆孔径上波前像差间的关系为: gai = Qdr W i ( r ) [ ý U( r , t ) # a] , ( 2) 其中 W i ( r ) 是第 i 个子孔径的归一化权重函数, ý 是斜率算子, a 是表示斜率测量方向的单位向量, 通 常定义在 x、y 两个正交方向上。子孔径波前斜率与 泽尼克模式系数间的关系为: gai = E p k= 1 akQdr W i ( r )5 z k( r ) / 5 a, ( 3) 上式可以表示为矩阵形式 g = ( p 1 Z ) ( p 1 a) , ( 4) 其中 g = [ gx1, gy1, ,, gxm , gym ] T是哈特曼 夏克传 感器的子孔径波前斜率向量, m 是探测器的子孔径 数, jia = [ ai , ai+ 1, ,, aj ] T是第 i 到j 阶泽尼克模式 系数向量, ji Z是子孔径波前斜率与第 i到j 阶泽尼克 模式系数间的关系矩阵, 其中矩阵元素 Zika = QdrW i ( r )5 z k( r ) /5 a. 一旦哈特曼 夏克传感器的子孔径布局形式确定, Z 矩阵的各个元素就可以事先精确计算出来。 通常情况下待测像差中包含的模式阶数 p 未 知,波前复原时测量者凭经验选择的模式阶数 q 不 一定等于 p。根据最小方差准则, 从哈特曼 夏克传 感器子孔径波前斜率复原计算 q阶泽尼克模式系数 的过程为: q 1 ac= ( q1 Z)+ g, ( 5) 其中11ac = [ ca 1, ca 2, ,, ca q ] T 为复原出的模式系数 向量, q 是复原模式阶数, 矩阵( q1 Z )+ 为矩阵 q1 Z 的 广义逆。根据复原出的泽尼克模式系数得到波前像 差的测量结果为: cU( r , t ) = E q k= 1 ca k( t ) z k( r ) . ( 6) 3 哈特曼 夏克传感器的模式波前复 原误差 哈特曼 夏克传感器中,经模式复原出的波前与 待测原始波前间的误差为: R 2 ( q ) = Qdr3 E p i= 1 ai ( t ) z i ( r ) - E q j= 1 ca j ( t ) z j ( r ) 2 4, ( 7) 其中3#4表示信号的时间系综平均。泽尼克模式具 有在圆孔径上互相正交的性质Qdrz i ( r ) z j ( r ) = Di , j ,所以上式展开为 R 2 ( q) = E p i = 1 3a i ( t ) 24+ E q i= 1 3 ca i ( t ) 24- 2 E s i= 1 3 ca i ( t ) a i ( t )4, s = min( p , q ) , (8) 如果令 ji Caa= 3( ji a) ( jia) T4为待测波前像差中第 i到 j 阶泽尼克模式系数的统计相关矩阵, q1 C ca ca = 3( q1 ca ) ( q1 ca ) T4为复原出的第 1到 q阶模式系数的统 计相关矩阵, s1 Ca ca = s1 Cca a = 3( s1 ca ) ( s1a) T4为第 1 到 s 阶的复原出模式与原始像差中相应模式的统计 相关矩阵。则上式可以表示为: R 2 ( q) = t r( p 1 Caa ) + t r( q 1 Cca ca ) - 2tr( s 1C caa ) , (9) 其中 t r(#) 表示求矩阵迹运算。不失一般性, 假设 p > q 或 s = q ,则: R2( q ) = t r( pq+ 1Caa ) + t r( q1 Caa+ q 1 C ca ca - 2 q 1 Ccaa ) = R 2 cutting( q ) + R 2 coupling( q ) . (10) 上式中第一项为模式复原阶数不够造成的模式截断 误差,第二项为复原出模式与原始像差中模式间的 差异造成的模式混淆误差, 它们都与模式复原阶数 q 有关。在 q \ p 的情况下, 不存在模式截断误差, 但仍存在模式混淆误差。 通常在子孔径波前斜率测量过程中还会引入测 量噪声 n。n一般为高斯白噪声形式, 叠加在真实斜 率测量值上,与真实斜率测量值互不相关,且满足 3gn T4 = 3ngT4, 3nnT4= R2nI, (11) 其中 I 为单位矩阵。上式假设各个子孔径上的噪声 方差同为 R2n。易于证明噪声引起的波前模式复原误 差也与模式复原阶数 q 有关: R 2 noise( q) = t r[ ( q 1 Z) + ( q 1 Z) + T ] R 2 n. (12) 一般情况下, 传感器的模式波前复原误差是模式截 断误差、模式混淆误差、噪声引起的误差总和: R 2 ( q) = R 2 cutting( q) + R 2 coupling( q ) + R 2 noise( q ) . (13) 从上面的分析中可以看到, 哈特曼 夏克传感 器的模式波前复原误差与待测波前像差中的模式分 布特性密切相关, 即与矩阵 Caa 有关。其中最复杂的 情况是包含无数阶模式的动态像差, 如大气湍流畸 变波前; 而最简单的情况是只包含有限阶模式的静 态像差, 如像差板。这两种情况都可以用(13) 式和 上面的方法进行分析。限于篇幅,本文仅分析哈特曼 夏克传感器对静态像差的模式复原误差。 123710 期 李新阳等: 哈特曼 夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差 4 哈特曼 夏克传感器对静态像差的 测量误差 在利用哈特曼 夏克传感器对光学器件面形加 工精度、光学系统的装调像差等进行测量时, 可以把 待测量的对象看作是只包含有限阶泽尼克模式的静 态波前像差。对一个有限 p 阶的静态像差p1a = [ a1, a2, ,, ap ] T ,用 q阶模式进行复原,复原模式系数间 的关系为: q 1 ca = ( q1 Z )+ ( p1 Z) ( p1 a) , (14) 这时: p 1 Caa = ( p 1 a) ( p 1 a ) T , ( 15a) q 1 Cca ca = ( q 1 ca ) ( q1 ca ) T = ( q 1 Z) + ( p 1 Z ) ( p 1 Caa) ( p 1 Z) T ( q 1 Z) + T , ( 15b) s 1C ca a = ( s 1 ca ) ( s1a) T = ( s 1Z ) + ( p 1 Z) ( p 1 ca ) ( s1a ) T , s = min( p , q ) , ( 15c) 根据(9) 式和(15) 式可以计算这种情况下的波前复 原误差。可见这时的波前复原误差与( q1 Z )+ ( p1 Z) 的 值密切相关。根据矩阵理论,只有在 q = p [ 2m 的 特殊情况下,两矩阵满足( q1 Z )+ T ( q1 Z) = I, 这时复 原模式将与待测模式完全一致, 模式截断误差和模 式混淆误差均不存在。当 q X p 时都会存在模式混 淆误差。当 q < p , 某些高阶模式被复原为低阶模 式,当 q > p , 某些低阶模式又被复原为高阶模式。 Fig . 2 Subaper ture configuration of a Har tmann-Shack w avefront sensor 5 实验和结果分析 本文使用的哈特曼 夏克传感器子孔径划分形 式如图 2所示。传感器中 CCD的靶面为 128 @ 128 像素, 每子孔径 16 @ 16像素, 12位数模转换图像的 读出速率为 419帧/秒,共连续采样 1024 帧进行分 析。传感器的零点事先用标准平行光源进行标定。 按照检验哈特曼 夏克传感器测量精度的常用做法, 先用 ZYGO干涉仪对像差板的像差分布情况进行 测量,然后用传感器对同一像差板进行测量,并对比 两种测量结果。一般认为 ZYGO干涉仪的测量结 果比较准确, 可以用作对比的基准。实验中 ZYGO 干涉仪和传感器的测量光源都是波长 0. 6328Lm 的 氦氖激光,准直成一束标准平行光,光束的强度也调 整到比较理想的程度。 本文所用的 ZYGO- Ó型干涉仪的测量结果以 一种特殊泽尼克多项式的系数表示。这种特殊泽尼 克多项式把每阶波前模式的极值归一化为 1, 而 Noll定义的泽尼克多项式把每阶波前模式的方差归 一化为 1。另外, 两种泽尼克多项式的模式序号排 列方式不同。例如 ZYGO 干涉仪的第 15阶泽尼克 多项式对应 Noll定义的第 21阶泽尼克多项式 (高 阶球差)。根据各自的定义,这两种泽尼克多项式的 系数间能够一一对应地、无误差地互相转换。 实验所用的像差板是经光学磨制后的普通窗玻 璃,包含有静态的随机像差。普通窗玻璃的随机像 差大小和像差分布都不易控制, 加工后一定要筛选 出那些像差大小合适的才能作为像差板使用,所以 成品率较低。为了配合实验,特地挑选了一块像差 类型比较丰富的像差板作为样品。ZYGO干涉仪对 像差板的波前测量结果如图 3所示,峰谷值大约 5 个波长,同时给出了用前 15阶特殊泽尼克多项式系 数表示的像差分布情况, 以离焦为主要成分。为了 方便对比, 首先把 ZYGO 干涉仪测量结果转化为 Noll所定义的泽尼克多项式系数, 共 21阶, 如表 1 中所示。其中两个波前整体倾斜项( n= 1, m = 1, j = 1, 2)无法对比, 故没有计算在内。 Fig. 3 Measured wavefront of an aber ration plate with ZYGO interferometer 接着用哈特曼 夏克传感器对同一块像差板进 行测量。分别计算了不同模式复原阶数下的泽尼克 复原系数,用 128 @ 128的网格复原出了波前像差并 与 ZYGO干涉仪的测量结果对比, 计算出均方根波 1238 光 学 学 报 22 卷 前复原误差。总复原阶数 q 分别是 7、11、35、65 等 几种情况下的前 25阶的泽尼克系数的复原结果如 表 1所示, 可见模式混淆误差确实存在。波前复原 误差与泽尼克模式复原阶数的关系如图 4所示。可 见在模式复原阶数达到 7时均方根波前复原误差已 经达到 1/ 10波长,并且理论结果与实际计算结果符 合得非常好。但实验结果显示当复原阶数等于 11 时,均方根波前复原误差达到最小值约 1/ 30 波长; 而理论计算结果表明当复原阶数等于 15时, 均方根 波前复原误差的最小值约 1/ 250波长。理论结果与 实际计算结果都显示,随着复原阶数的继续增加, 波 前复原误差持续变大。但当复原阶数大于 10后, 均 方根波前复原误差的理论计算结果优于 1/ 100波 长,而实验结果在 1/ 30到 1/ 20波长左右。 Fig. 4 T he relationship between reconstructed Zernike mode number and the reconstructed wavefront er ror T able 1. Zernike coeff icients measured results Zernike order j n m ZYGO measured Hartmann-Shack measured r esult q= 7 q= 11 q= 21 q= 35 q= 65 3 2 0 1. 4172 1. 4172 1. 4193 1. 4184 1. 4187 1. 4209 4 2 2 - 0. 1770 - 0. 1500 - 0. 1500 - 0. 1466 - 0. 1459 - 0. 1477 5 2 2 0. 3510 0. 3937 0. 3899 0. 3899 0. 3876 0. 3826 6 3 1 - 0. 0034 0. 0050 0. 0033 0. 0020 0. 0034 - 0. 0015 7 3 1 0. 0215 0. 0092 0. 0096 0. 0188 0. 0215 0. 0076 8 3 3 - 0. 0807 - 0. 0753 - 0. 0775 - 0. 0764 - 0. 0756 9 3 3 - 0. 0342 - 0. 0161 - 0. 0158 - 0. 0131 - 0. 0193 10 4 0 - 0. 0083 - 0. 0021 - 0. 0038 - 0. 0036 - 0. 0028 11 4 2 - 0. 0027 0. 0035 0. 0035 - 0. 0026 - 0. 0037 12 4 2 - 0. 0026 - 0. 0036 - 0. 0016 - 0. 0035 13 4 4 0 0. 0199 0. 0210 0. 0220 14 4 4 0 - 0. 0210 - 0. 0218 - 0. 0106 15 5 1 0. 0029 - 0. 0110 - 0. 0112 - 0. 0107 16 5 1 0. 0004 0. 0018 0. 0037 0. 0039 17 5 3 0 0. 0003 0. 0029 0. 0054 18 5 3 0 0. 0027 0. 0060 0. 0040 19 5 5 0 - 0. 0009 0. 0001 - 0. 0000 20 5 5 0 - 0. 0000 0. 0042 0. 0021 21 6 0 - 0. 0015 - 0. 0018 0. 0017 - 0. 0001 22 6 2 0 - 0. 0045 - 0. 0020 23 6 2 0 0. 0091 0. 0164 24 6 4 0 0. 0007 0. 0110 25 6 4 0 - 0. 0024 - 0. 0024 分析造成这种差异的主要原因是 ZYGO 干涉 仪的测量误差、仪器的对准误差、哈特曼 夏克传感 器的随机测量误差等。首先 ZYGO 干涉仪的测量 结果并不是绝对准确的。根据说明, 本试验所用 ZYGO- Ó型干涉仪存在约1/ 30波长的峰谷值误差。 其次虽然经过仔细调整, 像差板在两次装夹过程中 仍会有一定的对准误差。另外测量过程中工作环境 的气流变化、温度变化、相机的电子噪声等随机因素 对传感器的测量精度也有轻微的影响。以上这些因 素使实际情况下哈特曼 夏克传感器不可能达到理 论预计的优于 1/ 100波长的测量精度。对本文中的 哈特曼传感器来说, 1/ 30波长的测量精度已经非常 令人满意了。因此可以说实验中测量结果与理论计 算结果间的差异水平是正常的,也说明本文关于哈特 曼 夏克传感器模式复原误差的分析方法是正确的。 结论 本文研究了哈特曼 夏克传感器采用泽尼克 模式复原算法时的波前复原误差。分析了模式截断 123910 期 李新阳等: 哈特曼 夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差 误差、模式混淆误差和噪声引起的复原误差的来源 和影响因素。给出了一般情况下计算哈特曼 夏克 传感器泽尼克模式复原误差的公式。用哈特曼 夏 克传感器实际测量了一个像差板的静态像差, 用不 同的泽尼克模式阶数进行波前复原, 并与 ZYGO 干 涉仪的波前测量结果比较。实验结果验证了本文理 论分析方法是正确的。该分析方法不仅适用静态像 差情形,还可以推广到动态像差的情形。限于篇幅, 关于哈特曼 夏克传感器对大气湍流动态畸变波前 测量误差的问题,将在另外的文章中进行分析。 目前在使用哈特曼 夏克传感器的过程中,模式 复原阶数的选取都凭经验, 存在相当大的随意性。 通常认为哈特曼 夏克传感器的波前复原精度只与 子孔径数目和分割方式有关。本文的分析表明, 哈 特曼 夏克传感器的波前复原精度还与选择的模式 复原阶数和待测像差特性密切有关。原则上子孔径 数目越多,采用的泽尼克模式复原阶数越多, 波前复 原精度会越高; 但在相同子孔径条件下,如果模式复 原阶数选得过多,模式耦合误差和测量噪声等的影 响会增加,最终反而会降低传感器的波前复原精度。 例如本文中 52子孔径的哈特曼 夏克传感器, 对静 态像差板的最优复原阶数是 15。模式阶数过少或 过多都会增加波前复原误差。所以模式复原阶数应 该根据实际情况合理选择, 才能保证传感器的波前 复原精度。 本文中的实验数据由中科院光电所的同事饶长 辉博士提供, 同事沈锋博士和饶学军副研究员对本 文提供了帮助,在此一并表示感谢。 参 考 文 献 [ 1] Sout hwell W H. Wavefront estimation from wavefront slope measurements. J . Op t . Soc. Am . ( A ) , 1980, 70 ( 8) : 998~ 1006 [ 2] Lane R G, Tallon M . Wavefront reconstruct ion using a Shack-Hartmann sensor. App l. Op t . , 1992, 31 ( 32 ) : 6902~ 6908 [ 3] Jiang Wenhan, Xian Hao, Yang Zheping et al . . Application of Hartmann wavefront senso rs. J . Quant. Electr on. (量子电子学报) , 1998, 15( 2) : 228 ~ 235 ( in Chinese) [ 4] Hermann J. Cross coupling and aliasing in model wavefront estimation. J . Op t . Soc. Am . ( A ) , 1981, 71( 8) : 989 ~ 992 [ 5] Noll R J. Zernike polynomials and atmospher ic turbulence. J . Op t . Soc. A m . ( A ) , 1977, 67( 8) : 1065~ 1072 [ 6] Wang J W, Silva D E. Wavefront interpr etation w ith Zernike po lynomials. App l . Op t . , 1980, 19( 9) : 1510~ 1518 [ 7] Jiang Wenhan, Xian Hao, Shen Feng. Detecting error of Shack-Hartmann w avefront sensor . Proc . SPIE , 1997, 3126: 534~ 544 [ 8] T akato N, I ye M , Yamaguchi I. Wavefront r econstruction errors of Shack-Har tmann sensors. Publ. A str on. Soc. Pacif ic. , 1994, 106: 182~ 188 [ 9] L i Xinyang , Jiang Wenhan, Wang Chunhong et al . . Modal reconstruction er ror of the Hartmann sensor on measur ing the atmosphere disturbed wavefr ont. High Power L aser and Par ticle Beams (强激光与粒子束 ) , 2000, 12( 2) : 145~ 148 ( in Chinese) Zernike Modal Wavefront Reconstruction Error of Hartmann-Shack Wavefront Sensor Li Xinyang Jiang Wenhan ( Lab on Adap tive Optics, Institute of Op tics and Electronics , The Chinese Academy of Sciences , Chengdu 610209) ( Received 20 June 2001; revised 12 November 2001) Abstract: Zernike modal w avefront reconstruction algorithm was used commonly for Hartmann- Shack sensor in circle apertures. Formulas to calculate the modal w avefront reconstruction error of Hartmann-Shack sensor in general condition were deduced. An aberration plate containing random static w avefront aberrat ions was measured w ith a Hartmann-Shack sensor and a ZYGO interferometer respectively, then the modal w avefront reconstruction error of Hartmann-Shack sensor while using different Zernike polynomials w as obtained. The experimental results w ere analyzed and compared w ith theoretical calculations. Key words: Hartmann-Shack wavefront sensor; modal wavefront reconstruction; Zernike polynomials 1240 光 学 学 报 22 卷
/
本文档为【哈特曼_夏克传感器的泽尼克模式波前复原误差】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑, 图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。 本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。 网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。

历史搜索

    清空历史搜索