历届东南数学奥林匹克试题

达式. （吴伟朝 供题） 3. 在△ABC 中，BC>AB，BD 平分∠𝐴𝐵𝐶交 AC 于点 D，𝐴𝑄 ⊥ 𝐵𝑂， 垂足为 Q，M 是边 AC 的中点，E 是边 BC 的中点.若△PQM 的外接圆 ⊙O 与 AC 的另一个交点为 H.求证：O、H、E、M 四点共圆. （郑仲义 供题） 4. 设正整数𝑚、𝑛 ≥ 2，对于任一个 n 元整数集𝐴 = �𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛�， 取每一对不同的数𝑎𝑠、𝑎𝑗(𝑗 > 𝑠)，作差𝑎𝑗 − 𝑎𝑠.由这𝐶𝑛2个差按从小到大 顺序排成的一个数列，称为集合 A 的“衍生数列”，记为𝐴生.衍生数列 𝐴生中能被 m 整除的数的个数记为𝐴生(𝑚). 5. 证明：对于任一正整数𝑚(𝑚 ≥ 2)，n 圆整数集𝐴 = �𝑎1,𝑎2,⋯ , 𝑎𝑛�及 𝐵 = {1,2,⋯ ,𝑛}所对应的𝐴生及𝐵生，满足不等式𝐴生(𝑚) ≥ 𝐵生(𝑚) （陶平生 供题） 6. 求出最大的正数 λ，使得对于满足𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1的任何实数 𝑥、𝑦、𝑧成立不等式|𝜆𝑥𝑦 + 𝑦𝑧| ≤ √5 2 . （张正杰 供题） 东南数学奥林匹克 7. 如图 1，△ABC 的内切圆⊙I 分别切 BC、AC 于点 M、N，E、F 分 别为边 AB、AC 的中点，D 是针线 EF 于 BI 的交点.证明：M、N、D 三点共线. 图 1 （张鹏程 供题） 8. 杰 克 (Jack) 船 长 与 他 的 海 盗 们 掠 夺 到 6 个 珍 宝 箱 𝐴1,𝐴2,𝐴3,𝐴4,𝐴5,𝐴6，其中𝐴𝑠(𝑠 = 1,2,⋯ ,6)内有金币𝑎𝑠枚（诸𝑎𝑠互不相 等）.海盗们了一种箱子的布局图（如图 2），并推派一人和船长 轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整 个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那 么船长获胜.问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜? 图 2 （孙文先 供题） 9. 设 n 为正整数，𝑓(𝑛)表示满足以下条件的 n 位数（称为波形数） 𝑎1𝑎2 ⋯𝑎𝑛�������������的个数： D F E N M I A B C a1 a2 a3 a4 a6 a5 东南数学奥林匹克 i. 每一位数码𝑎𝑠 ∈ {1,2,3,4}，且𝑎𝑠 ≠ 𝑎𝑠+1(𝑠 = 1,2,⋯ ); ii. 当𝑛 ≥ 3时，𝑎𝑠 − 𝑎𝑠+1与𝑎𝑠+1 − 𝑎𝑠+2(𝑠 = 1,2,⋯ )的符号相反. (1) 求 f(10)的值； (2) 确定 f(2008)被 13 除得的余数. （陶平生 供题） 东南数学奥林匹克 2009 年东南数学奥林匹克 1. 试求满足方程𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 126𝑦2 = 2009的所有整数对(𝑥,𝑦). （张鹏程 供题） 2. 在凸五边形 ABCDE 中，已知 AB=DE，BC=EA，𝐴𝐵 ≠ 𝐸𝐴，且 B、 C、D、E 四点共圆.证明：A、B、C、D 四点共圆的充分必要条件是 AC=AD. （熊 斌 供题） 3. 设𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅+，√𝑎 = 𝑥(𝑦 − 𝑧)2，√𝑏 = 𝑦(𝑧 − 𝑥)2, √𝑐 = 𝑧(𝑥 − 𝑦)2； 求证：𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎). （唐立华 供题） 4. 在一个圆周上给定十二个红点；求 n 的最小值，使得存在以红点 为顶点的 n 个三角形，满足：以红点为顶点的每条弦，都是其中某个 三角形的一条边. （陶平生 供题） 5. 设1,2,⋯ ,9的所有排列𝑋 = �𝑥1,𝑥2,⋯ , 𝑥9�的集合为 A；∀𝑋 ∈ 𝐴,记 𝑓(𝑋) = 𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + ⋯+ 9𝑥9，𝑃 = {𝑓(𝑋)|𝑋 ∈ 𝐴}；求|𝑃|. （其中|𝑃|表示集合 M 的元素个数）. 6. 已知⊙O、⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆；证明：过⊙O 上 的任意一点 D，都可作一个△DEF，使得⊙O、⊙I 分别是△DEF 的外 接圆和内切圆. （陶平生 供题） 7. 设 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(2𝑦−𝑧) 1+𝑥+3𝑦 + 𝑦(2𝑧−𝑥) 1+𝑦+3𝑧 + 𝑧(2𝑥−𝑦) 1+𝑧+3𝑥 ， 其 中 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0 ， 且 东南数学奥林匹克 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1.求𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)的最大值和最小值. （李胜宏 供题） 8. 在8 × 8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩 余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的 T 型五方连块？ （孙文先 供题） 东南数学奥林匹克 2010 年东南数学奥林匹克 1. 设𝑎、𝑏、𝑐 ∈ {0,1,⋯ 9}.若二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0有有理根，证 明：三位数𝑎𝑏𝑐�����不是质数. （张鹏程 供题） 2. 对于集合𝐴 = {𝑎1, 𝑎2,⋯ , 𝑎𝑚}，记𝑂(𝐴) = 𝑎1𝑎2 ⋯𝑎𝑚.设 𝐴1,𝐴2,⋯𝐴𝑛(𝑛 = C201099 )是集合{1,2,⋯ ,2010}的所有 99 元子集.求证：2011|∑ 𝑂(𝐴𝑠)𝑛𝑠=1 . （叶永南 供题） 3. 如图 1，已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边 AB、BC 切于点 F、D， 之心啊 AD、CF 分别于⊙I 交于另一点 H、K.求证：𝐹𝐷⋅𝐻𝐾 𝐹𝐻⋅𝐷𝐾 = 3. 图 1 （熊 斌 供题） 4. 设正整数 a、b 满足1 ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ 100.若存在正整数 k，使得 𝑎𝑏|𝑎𝑘 + 𝑏𝑘，则称数对(𝑎, 𝑏)是“好数对”.求所有好数对的个数. （熊 斌 供题） 5. 如图 2，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°，M1、M2为△ABC 内 任意两点，M 为线段 M1M2的中点，直线 BM1、BM2、BM 与 AC 分 H K F D I A B C 东南数学奥林匹克 别交于点 N1、N2、N.求证： 𝑀1𝑁1 𝐵𝑀1 + 𝑀2𝑁2 𝐵𝑀2 ≥ 2𝑀𝑁 𝐵𝑀 . 图 2 （裘宗沪 供题） 6. 设𝑍+为正整数集合，定义： 𝑎1 = 2,𝑎𝑛+1 = 𝑚𝑠𝑛 �𝜆�∑ 1𝑎𝑖𝑛𝑠=1 + 1𝜆 < 1, 𝜆 ∈ 𝑍+� (𝑛 = 1,2,⋯ ). 求证：𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛2 − 𝑎𝑛 + 1. （李胜宏 供题） 7. 设 n 是一个正整数，实数𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛和𝑛1, 𝑛2,⋯ , 𝑛𝑛满足： 𝑎1 ≤ a2 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛和𝑛1 ≤ r2 ≤ ⋯ ≤ 𝑛𝑛.求证：∑∑ = = ≥ n i n j jiji rraa 1 1 0),min( （朱华伟 供题） 8. 在一个圆周上给定 8 个点𝐴1,𝐴2,⋯ ,𝐴8.求最小的正整数 n，使得以 这 8 个点为顶点的任意 n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形. （陶平生 供题） N 2 N N 1 M B C M 1 M 2 A 东南数学奥林匹克 2011 年东南数学奥林匹克 1. 已知min𝑥∈𝑅 𝑎𝑥2+𝑏√𝑥2+1 = 3. （1）求 b 的取值范围；（2）对给定的 b，求 a. 2. 已知 a、b、c 为两两互质的正整数，且𝑎2|(𝑏3 + 𝑐3),𝑏2|(𝑎3 + 𝑐3),𝑐2|(𝑎3 + 𝑏3)求 a、b、c 的值. 3. 设集合𝑃 = {1,2,3,⋯ ,50}，正整数 n 满足：M 的任意一个 35 元子 集中至少存在两个不同的元素𝑎, 𝑏,使𝑎 + 𝑏 = 𝑛或𝑎 − 𝑏 = 𝑛.求出所有 这样的 n. 4. 如图 1，过△ABC 的外心 O 任作一直线，分别与边 AB,AC 相交于 M,N，E,F 分别是BN, CM的中点.证明：∠𝐸𝑂𝐸 = ∠𝐴. 图 1 5. 如图 2，设𝐴𝐴0,𝐵𝐵0,𝐶𝐶0是△ABC 的三条角平分线，自𝐴0作 𝐴0𝐴1 ∥ 𝐵𝐵0,𝐴0𝐴2 ∥ 𝐶𝐶0,𝐴1,𝐴2分别在AC,AB上，直线𝐴1𝐴2 ∩ 𝐵𝐶 = 𝐴3; 类似得到点𝐵3,𝐶3．证明：𝐴3,𝐵3,𝐶3三点共线． E F N O A B C M 东南数学奥林匹克 图 2 6．设𝑂1,𝑂2,⋯ ,𝑂𝑛为平面上 n 个定点，M 是该平面内线段 AB 上任一 点，记|𝑂𝑠𝑃|为点𝑂𝑠与 M 的距离，𝑠 = 1,2,3,⋯ ,𝑛，证明：       ≤ ∑∑∑ === n i i n i i n i i BPAPMP 111 ,max . 7．设数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1 = 𝑎2 = 1,𝑎𝑛 = 7𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2,𝑛 > 3．证明： 对于每个𝑛 ∈ 𝑁∗,𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 + 2皆为完全平方数． 8．将时钟盘面上标有数字1,2,⋯ ,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、 绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构造 n 个凸四边形，使其 满足： (1) 每个四边形的四个顶点四色都有； (2) 任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不 相同． 求 n 的最大值． B 3 C 3 A 3 C 1 C 2 B 2 B 1 A 2 A 1 B 0 A 0 C 0 I A B C 东南数学奥林匹克 2012 年东南数学奥林匹克 1. 求 一 个 三 元 整 数 组 (𝑙,𝑚,𝑛)(1 < 𝑙 < 𝑚 < 𝑛) ， 使 得 ∑ 𝑘𝑙𝑘=1 ，∑ 𝑘 𝑚 𝑘=𝑙+1 ，∑ 𝑘 𝑛 𝑘=𝑚+1 依次成等比数列. 2. 如图 1，△ABC 的内切圆 I 在边 AB，BC，CA 上的切点分别是 D， E，F，直线 EF 与直线 AI，BI，DI 分别相交于点 M，N，K.证明： 𝐷𝑃 ⋅ 𝐾𝐸 = 𝐷𝑁 ⋅ 𝐾𝐸. 图 1 3. 对于合数 n,记 f(n)为其最小的三个正约数之和，g(n)为其最大的两 个正约数之和.求所有的正合数 n，使得 g(n)等于 f(n)的某个正整数次 幂. 4. 已知实数 a，b，c，d 满足：对任意实数 x，均有 𝑎𝑐𝑐𝑐𝑥 + 𝑏𝑐𝑐𝑐2𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐3𝑥 + 𝑑𝑐𝑐𝑐4𝑥 ≤ 1， 求 a+b-c+d 的最大值.当 a+b-c+d 取最大值时，求实数 a，b，c，d 的 值. 5. 如果非负整数 m 及其各位数字之和均为 6 的倍数，则称 m 为“六 合数”.求小于 2012 的非负整数中“六合数”的个数. 6. 求正整数 n 的最小值，使得 K N M D E F I C A B 东南数学奥林匹克 � 𝑛−2011 2012 − � 𝑛−2012 2011 < �𝑛−2013 2011 3 − � 𝑛−2011 2013 3 . 7. 如图 2，△ABC 中，D 为边 AC 上一点且∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐶，点 E 在边 AB上且BE=DE，设M为CD重点，𝐴𝐴 ⊥ 𝐷𝐸于点H.已知𝐴𝐴 = 2 − √3， AB=1，求∠𝐴𝑃𝐸的度数. 图 2 设 m 是正整数，𝑛 = 2𝑚 − 1，𝑂𝑛 = {1,2,⋯ ,𝑛}为数轴上 n 个点所成的 集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点.求 m 的最大值，使对任意𝑥,𝑦 ∈ 𝑂𝑛，从点 x 跳 2012 步到点 y 的跳法种数 为偶数（允许中途经过点 x，y）. M H A B E D C 2004年东南数学奥林匹克 2005年东南数学奥林匹克 2006年东南数学奥林匹克 2007年东南数学奥林匹克 2008年东南数学奥林匹克 2009年东南数学奥林匹克 2010年东南数学奥林匹克 2011年东南数学奥林匹克 2012年东南数学奥林匹克