3x＋1问题及其推广

『l2一f砰 z J习题 3Z'l-t J习题， 弓 荐恝 3x+1问题及其推广 ．， L叼窿 C 棠歙 p J~'ifrey C．Lagarias’’。 1．引富． 3 +l问题也称为 CaHatz问题、Syrscuse问题、Kakutani问题、Hasse 算法和 Ulam问题，它是关于下述函数迭代特性的，该函数当n为奇整数时取3”+1，偶 整数时取 n／2．3x+1猜想断言，从任意正整数 n出发，反复迭代该函数最终得到函数 值 1． +1猜想易于叙述，但显然极难解决．这种性质为其他迭代问题，如等分序列问 题 (见 Guy[36]，问题 B6)和著名的丢番图方程 (如 Fermat大定理)所共有． Patti ErdSs 在谈到 +l问题的难解性时说 ： “数学还没有发展到解决这种问题的水平”．尽管有 这一悲观说法， 3x+l问题的研究并不是一无所获的．它与 la 的丢番图逼近，与序 列 {(3／2) ： =1，2，⋯ )的分布 (mod1)，与 2-adic整数 上的遍历理论问题，以及与 可计算性理论 (3 4-1的一个推广已证明是计算不可解问题)都有有趣的联系．在本文 中，我将介绍 3 4-1问题的历史，并就我所知的关于这一问题及其推广的所有文献作一 综述． 3 4-1问题的确切由来并不清楚，它曾在数学界口头流传了多年．这个问题传统上 归于汉堡大学的 Lothax Collatz．本世纪 30年代他还是学生的时候，由于受 Edmund Landau、 Oskar Perron和 Issa4 Schur等人讲课的影响，他对数论函数发生了兴趣．他 对于图论的爱好又使他产生了将这种数论函数表示成有向图的想法，这种图的结构的问 题与这种函数的迭代特性有密切关系 【2 5]．在他那本记载日期为 1932年 7月 1日的笔记 本中，他考虑了函数： ， ' l；，I， 若n 0(mod 3)， I ． 9(“)={； 一言，若n11(mod 3)， l： I；n4- ，若n；2(mod 3)， 原题： The 3x 4-1 Problem and Its Generalizations 译自：The American Mathematical Montyiy,Jan，1985．PP．3-21．(由于篇幅所限，时有删节．有兴趣的读者可阅读原文．) · 112 · ． 9 6 8 U 7 9 6 4 5 7 4 5 3 2 2 3 P l 1 换 ( 置 I1 个 P 一 的 数 然 自 出 给 它 本文下载来源:世纪图馆 www.redlib.cn 他提出了确定 P的圈结构的问题，而且特别问到，该置换含 8的圈是有限的还是无限 的，即迭代 9 (8)能否保持有界 【2 4]，对 g(n)迭代的研究我将称为原始 Collatz问题 虽然 Collatz从未发表过他考虑过的任何迭代问胚，但是他在 1950年麻萨诸塞州坎布 里奇市召开的国际数学家大会上传播了这些问题 最终原始 Collatz问胚出现在刊物上 (【9】，【47】，[591) 他关于 g㈣(8)的原始问题从未得到回答i人们相信其所有的圈是无限的 不管其确切由来如何，可以肯定 3 +l问题在本世纪 50年代初已为数学界所知，它是 1952年由B Thwaites[69】发现的． 在传播过程中，3。+1问题被赋予了各种各样的名称，Collatz的同事 H Hasse对 +1问胚有兴趣，并与许多人讨论了它的推广，因此被称为 Husse算法 Syracuse 问胚这个名称是 Hasse 50年代访问Syracuce大学时起的． 1960年左右， S Kakutani 听说了这个问题并产生了兴趣，他向一部分人作了传播 他说， “大约有一个月，耶鲁 大学的每个人都在研究它，但没有结果 当我在芝加哥大学提到这个问胚时发生了类似 的现象+有一个笑话说，这个问题是延缓美国数学研究阴谋的一部分 ”在这一过程 中，它获得了 Kakutani问题的名称 S Ulam也听说了这个问胚，并在洛斯阿拉莫斯 等地传播，所以在有些圈子里也称为 Ulam问题 ([13，691) 近十年来， 3x+1问胚结束了不公开存在的状况，作为一个问题以各种形式出现 在书刊中，．有时作为一个没有提及由来的未解决的问胚 有人提供了解决这个问题的奖 金：1970年H．S Coxefer奖赏 50美元，然后是 PaulErd~s奖赏500美元，更近一些B． Thwaifes奖赏 1000英镑 f6日]．关于 3。+1问题和有关问题的研究论文已发表 20多篇、 下面，我们首先讨论关于 孙 +1问题本身的已知结果，然后讨论这个问胚的推广， 我们给出了定理 B D、E、F、M和 N的证明 或证明梗概，因为这些结果或者 是新的，或者者以前未以清晰的形式出现过．不经心的读者可以跳过这些证明． 2．3x+1问题 3x+1问题的已知结果可以用下述函数的迭代十分漂亮地表述： ㈤ = 考虑 孙 +1问题的一个方法是有向图，其顶点是正整数，有向边从 n到 (n) 称该图 为函数 T(n)的 Collatz图，以纪念 L．CollatzI2 ．T(n)的 Collatz图的一部分如图 1所 示．一个有向图称为弱连通的，如果它作为非有向图是连通的，即对于任意两个顶点都 有一些边形成的路径连接它们，这里忽略边的方向 3z+1猜想可以用 Collatz图的术 语表述如下： 3。+1猜想(第一形式) T(n)的 Collatz图是弱连通的． 我们称迭代序列 (n， (n)， (。 (n)， (。)(n)，⋯ )为 n的轨道．当n>0时，这种轨 道有 3种可能特性： (i) 收敛轨道 某个 f”(n)=L (ii) 非平凡圈轨道 序列 f”(n)最终成为周期的，且 l(n)≠1对任意 k≥L 113 ( i) 发散轨道． 1imk ( )( )=∞ 圈 1 函数 T(n)迭代的 Callatz圈的一部分 3 +1猜想断言，所有正整数 的轨道都是收敛的．显然，对于 >1，如果不存在 某个 ( )( )< 则不可能有 ( )( )=1．称满足 ( )( )< 的最小正整数 k为 的停 止时间 ( )，如果没有这种 k使得 ( )(n)< ，则令 ( )： ．同样，称满足 (”)=l 的最小正整数 k为 的总停止时间 (n)，如果没有这样的 k，则令 (”)：。。．我们可 以用停止时间重新叙述 3z+1猜想： 3x+l猜想(第二形式)．任意大于 l的整数都有有限停止时间． 3x+1问题的魅力在于逐次迭代 ( )的不规则特性．我们可以用停止时间、总停 止时问和扩张因子等来度量这种特性．扩张因子s( )定义为 sup T( )(n) s( )= ， 若 存在有界轨道， s(”)=+。。若 ”具有发散轨道．例如， =27需要 70次迭代得 到值 1， supT(k)(27) s(27)= = ~171． 表 1给出了若干 的迭代数据 ( )( )，它可以说明这些概念 · 114 · 3 +1猜想已经在 的很大范围内作了数值检验 寻找用计算机检验该猜想的有效 算法是—件有趣的事．目前，检验 3 +1猜想的记录似乎是由东京大学的 Nabuo Yoneda 保持的，据说他检验了所有 n 2 1．2×10 。的数 ．有地方传说，A．S．Fraenkel验 证了所有 n<2s。都有有限的总停止时间，但这一传闻是错误的 [321 表1．选代 ( ) )的特征 (r工) ∞( ) s( ) 1 2 2 7 11 3．7 27 59 了0 171 2 一 1 l43 383 6．37~10s 250 50 l 25。J．1 2 223 1．50 2500— 1 1828 4331 1 ． 11×10ss 2500+ 1 2 22O4 1．50 2．1一个启发性论证， 下述概率的启发性论证支持 3x+1猜想 (见 [28】)．随机选取 一 奇整数 no，迭代函数 T直到另一奇整数 出现为止．于是 = ，塾 ， ， ⋯ 的概率分别为 i1，{，i1，⋯．如果假定函数 是充分 ‘‘搅拌的”(mixing)，即在n的轨 道中，相继奇整数的出现就象是从奇整数集合 (mod 2k)(对所有 )中随机抽取的一样， 那么，这种轨道中两个相邻奇整数大小增长比倒的期望值是乘积因子： ( ( ( 一 因此，这一启发性论证表明，在一个轨道中，迭代总体上是为于缩小的，从而发散轨道 不应该存在．进一步，它表明总停止时间 ‰ ( )(在某种平均意义上)是 logn的一个常 数倍． 从这一启发性论证的观点看， 3z+1问题的主要困难在于如何深刻认识函数 T(n) (rood 2k)(对所有 2的方幂)迭代的 “搅拌”性质．函数 T(n)确实具有下述定理 B和 K 的某些 “搅拌 性质，但是他们比解决 3x+1猜想所需的要弱得多． 2．2停止时间函数的特征． Riho Terra经过巧妙的观察发现，虽然总停止时间函 数的特性似乎难以，但关于停止时间函数有很多可以说．他证明了下述基本结论 ([64，651)，它也由Everrett独立发现 ([311) 定理A (Tei~as)．整数集合 SK={n：硝 停止时间 ≤埘 有有限的渐近密度 F(K) 即极限 F( )= { ： z且 ( ) ) 存在．此外，当 一 o。，F(k1一 l，所以几乎所有整数有有限停止时间． ■ 115 Tetras韵上述分析思想对于深入理解 3z+1问题是基本的．所以我将作详细说明． 为此，引进一些记号来表示函数 (n)迭代过程中的结果．给定整数 n，定义以0-1为值 的序列xi(n)如下 (t1)；xi(n)(rood 2)， 0Si(i+1)In 2，0 { k一2． 注意所有长度为 k的允许向量 都有 I／0+⋯ + 一1=【驯 ， (2．t1) 其中口：In 2／In 3=(1og2 3)-1．63093l【叫表示 $的最太整数．下述结论属于 Tetras． 定理 C (Terras)．(a)系数停止时间为 k的整数集合恰好是存在长度为 k的容许向 量 使得 ： ( )的那些同余类 (rood 2 )中的整数集合． (b)令 n： ( )，对于 某长度为 k的向量 ，若 是容许的，则同余类 (rood 2k)中充分太的整数都有停止时 间k．若 不是容许的，则同余类 (mod 2 )中只有有限个整数有停止时间 k． 定理 C断言，具有给定系数停止时间k的整数集合 是—些算术级数 (rood 2 )的 并集．定理 C蕴含定理 A的第一部分，即停止时间 k的整数集合具有下述渐近密度 F( )： ∑ w~ight(")， (2．as) k蕊许) ． 117 ． 其中weight( )=2-length(v)． (2．16)式可用来证明定理 A的第二部分．事实上，可以证明更强的结论：当 一 时， F(k)以指数速度趋于 1． 定理 D 对所有 1． 1一F( )= 纠 n：n≤ 且 (n)> ) 2 ， (2·17) 其中 ：1一日(口)≈0．05004-- (2．18) 这里 日( )=一2：log2 一(1—2：)log2(1一 )是熵函数 (entropy func~on)，口=(1og2 3)-。． 一 定理 D不可能作实质性改进． 2．3系数停止时间和停止时间之间的关系． 定理 C表明这两者一般是相等的：对 任意固定 ，至多有有限个系数停止时间 (n)≤ 的n满足 (n)≠ (n)．TerrasI64j和 后来的 G ner 猜想，不等的情况绝不会出现． 系数停止时间猜想．对于所有 n 2，停止时间 ( )等于系数停止时间 )． 系数停止时间猜想具有美学的魅力，即如果猜患成立，则停止时间为 的正整数集 合恰好是同余类 (rood k)的集合，如定理 C(i)所述．进一步，系数停止时间猜想成立意 味着没有非平氏圈． 下述结论说明系数停止时间猜想是 ‘接近为真的”．我将在后面用其界定没有有限停 止时间的元素个数． 定理 E．存在可有效计算的常数 ．使得若 是长度为 的容许向量，则 s(v) 中除最小元素no(v)可能例外，所有元素都有停止时间 ． ■ 2．4没有有限停止时间的元素有多少7 ．上述已证明的结论可用来得到没有有限 停止时间的元素个数的一个上界．令 ( )=l{ ： 曼 且 ( ) ∞( )= 于是，由于 h ’( -)= rl--I’( 2)=2，由于 ”2的轨道将继续绕平凡圈循环，所以”。 和 2的轨道多在 r-一1步迭代后重合．如果还有 ^一-(”。)= ^一-( )，当 ”-，n2差不多 大时这几乎总是发生，那么对于 2 0，2~-Xk+"l和 2rr +n2的轨道至多在 rl一1 步迭代后重合．特别地， (2ra-1k+n1)= (2nI1 +n2)对 2 1成立．在此情形， n1和 n2的原始重合产生了一个无限的重合算术级数 (rood 2r一 )．将所有这些相近数的 重合算术级数逐步积累起来，就导致了我们在表 3和表 4中观察到的现象． 表 3．100 ≤1099p~总停止时间 ∞(n)值 1ooo lOIo 1020 1030 1040 105o 1 0fllI l l l( 1l l 一 1嵋 一1019 一lO29 一I∞ 9 —1049 一10 ·1069 —l079 —t0*9 一1099 72 船 34 骞0 2] 2， 80 I8 3I 31 ‘2 26 aO 61 ∞ 107 R8 31 72 72 ‘2 ∞ 8o " ∞ 2， 29 72 42 99 骞0 50 1 0B ∞ 45 26 10 ∞ 23 ∞ I8 31 23 45 26 26 ∞ 2， 107 50 l8 31 50 45 26 ∞ ∞ 23 23 23 柏 6I 6l 99 26 蚰 ∞ 53 42 ‘ 2， B8 B8 2 ¨ ∞ ‘2 ∞ ” 1B 34 15 61 2 42 ∞ 42 ,12 23 l暑 34 3l 23 表 4．100 让 1099内 ∞(")的值和频率 (") freq． (") freq． “I) freq． 。。(") freq． 10 1 29 1 50 3 88 5 15 1 31 7 53 4 91 1 18 6 34 6 61 4 99 2 23 17 42 9 72 6 107 2 26 6 45 3 80 16 虽然 +1猜想断言，所有整数 ”都有有限的总停止时间，但是关于有限总停止时 119 间的整数集合的密度迄今为止证明的最强结论比猜想要弱得多 定理 G(Grandal1)．设 ~total(x)=I{n：n z且盯∞(n)<∞'I， 则存在正常数 C4使得对所有充分大的 z都有 丌total(=)>z“． 假定3z+1猜想为真，我们可以考虑总停止时间函数 (”)的期望大小 (expectedsize) 的问题． Grandall[28】和 Shanks[60】用启发式概率讨论 (如前所述)，猜想 ( 的平均 阶应该是 f 的一个常数倍，更确切地说， 壹 ” (h ·n z． 一 定量的经验数据支持这些猜想，见 【28】 2．6存在非平凡圈吗 ? 首先可以发现，如果函数定义域内允许负数，则存在其它 圈、从 n=一l出发有—个周期为 1的圈，从 ”=一5和n=一17出发分别有长度为3和 ll的圈． B6hm和 Sontacchi[13】猜想，这些圈连同从 =0和 n=1出发的圈就是迭代 T )作用于整数集 z所出现的全部圈、有几个作者提出了下述猜想 (【l3，28，41，6 4')． 有限圈猜想． 函数 T(”)在定义域 z上迭代只有有限个不同的圈． 容易证明，对于任意给定长度 k，只有有限个整数 在 T迭代下是周期为 的． BShm和 Sontacchi的讨论是很一般的、基本结论如下： 定理 H(Terraa)．对于每一 ，存在由下式给出的有限界 M(K) M(k)= max{~ Pi(口)：口容许且 length( )= 日， (2．25) 使得当 M( )时 u(”) 蕴含u(n)= ( ．因此 (i)若 ( 2 ，并且在 (2,26)中取 J 190737，ql4=1059737，于是得出结论：没有周期小于 275000的平凡圈． (2．26) l’ Dav s0Ⅱ【。9]将周期为 的纯周期轨道称为回路(circuit)，如果存在 满足 珊 T(i+1)in0)> ．·>T ( )= 0 即奇偶向量 v~(no)=( o(no)，⋯ ，(z 一 (no))具有如下特殊形式 c珊 = 二 ， z 其中8=(1og2。)-’从 =1开始的圈是一个回路． Davidson发现指数丢番图方程 (2a+ 一3 )^ =2。一1，821 的每一个解生成一个满足 【 团=6和 no=2bh一1的长度为 =n+b的回路，反之亦 然． It,Steiner[61】证明(8，6，h)=(1，1，1)是 (2．28)的唯一解，从而证明了下述结论． 定理 J(Steiner)． 构成回路的圈只有平凡臣． 一 定理 I，最显著的一点是，与证明所用方法之强大相比，其结论是如此之弱． 但定理 ‘，的证明不是自费力气，它毕竟证明了对于形如 (2．27)的容许向量的无限集合，系数停 止时间猜想成立． 2．7存在发散轨道吗 ? 一些作者已经观察到，概率的启发性论证暗示发散轨道不 会出现， 发散轨道猜想．函数 T：z— z，没有发散轨道，即不存在 n0满足 IT‘ (n。)I=oo· (2．30) 如果发散轨道 ( ) )：0 n对所有 1}．由于 (n)=oo对所 有 ∈D，定理 F蕴含 ． 1{ ∈Up：n≤霉}I c1z 一 ， (2．32) ． 121 ． 其中r／ 0．5004．粗略地讲， (2．32)表明发散轨道的元素趋于无限的速度不能 ‘呔慢” 2．8 3x+1问题与遍历理论的联系． 对测度空间上保测函数迭代的一般性质的研 究称为遍历理论 (ergodictheory)．3z+1问胚与遍历理论有一些有趣的联系，因为函数 T可扩展为 2-adic整数 (定义了 2-adic测度)上的一个保测函数．为了说明这一点， 需要一些关于 2-adic整数 的基本事实，请参阅 【14，4 9】_2-adic整数由所有级数 ‘ = 80+ a12+ cz22。+ ．一 ， a4=0或 1， 组成，其中 { ：0 ∞)称为 a的 2-adic数字 (2。adic oliqits)．定义 z2上的同余 (mod 2K)，表为 a； (mod 2 )，若 a和 的前 K个 2-adic数字相同． 上的加法和

乘法

99乘法表99乘法表打印九九乘法表a4打印九九乘法表免费下载大九九乘法表免费打印

是 X=a+ {=争X(mod 2 )三a(mod 2 )+fl(mod，2 )，对一切 k =a {=争 (mod 2k)三a(mod 2k)．fl(mod2 )，对一切 k 上的2-adic赋值 l l2定义为 l 0l2=0和 l al2=2一 ，其中a≠0且 Ⅱ 是 a的第一个 非零2-adic数字．赋值 l l2诱导出 上的一个度量 d，定义为 d( ， )=l0一 l2 作为拓扑空间， 邑 关于度量 d是紧的和完备的．该拓扑的一个开集基由关于 a半径为 2一 的 2-adic圆 (disk)给出 ： B (。)={ ∈ 2：a三 (mod 2 )) 最后，可以相应地定义 上的 2-adic测度 2使得 2(凤 (0))=2～， 特别地， 2(邑)=l_整数 z是 的一个子集，饲如 一 1= 1+ 1．2 4-1．22 4- 现在我们可以将 (2．1)定义的函数 T：Z— Z扩展到 T： 一邑 上，定义为 T㈤ = 一 a~-0 (ro 删 od 2) ． , 遍历理论研究函数的迭代搅拌 (mix)一个测度空间子集的程度．我将使用以 为 测度的测度空间 上遍历理论的下列基本概念．一个保测函数 日：z2一 是遍历的 l22’ l (ergodic)如果满足 日-1(E)=E的 z可测集合 E只有 和空集，即这种函数将空间 中的点搅拌得如此均匀，以致于没有非平凡的 一不动子集．可以证明 【39，P．36】遍历 性的一个等价条件是对于所有 卢∈ 和所有整数 ，z 0都有 恕 薹 0。)nB|㈣) ( )=2 +f) 该条件又等价于下述断言：对几乎所有 a∈ ，迭代序列 { (a)： 0，l，2，⋯ ) 是均匀分布的 (rood 2 )，对所有 1．函数 日： 一 是强搅拌的 (Strongly m~ng) 如果对所有 a， ∈ 和 ，f兰0都有 Ⅳ li -． m ∞ 上2(丑。_Ⅳ(口 (a))n (卢))：2一f ) 强搅拌函数是遍历的． 下述结论是 K．P．Matthews和 A．M．Watts[5o]的结论的一个特例． 定理 K． 映射 T是 z2的一个保测变换且是强搅拌的，从而 T是遍历的．因此对 几乎所有 a∈ ，序列 {TfD )： =0，1，2，⋯ } 是均匀分布的 (rood 2 )，对所有 L 由定理 K得不到 T在整数集 z上的任何特征，因为整数集 z是 的一个测度为 0的子集．因此，3z+l问题与遍历理论的这一联系似乎不能产生对 3。+1问题本身的 更深入的认识． 然而，3。"-I-1问题与遍历理论在 上存在另一种联系，它可能产生更多关于3。4-l 问题的信息．对每一 a∈ ，定义 o．1变量 为 ‘)(d)= (rood 2) 现在定义函数口 ： 一 为 口 (a)=卢，其中 卢=。0+Xl2-I-z22 + 因此，值 口一(a)反映了a在 T作用下的所有迭代特性，下述结论有几个人已经注意 到，包括 R．Terras和 C．Pomerance，但在此之前没有明确表述过． 定理 L_映射 口。。： 一 在 2-adic整数 上是连续的，1．1的，映上的和保测 的． 一 3z+l猜想可以用函数 口 重新表述如下． 123 3 十1猜想．(第三形式)以Ⅳ 表示正整数，则Q (Ⅳ ) ； ．事实上Q (Ⅳ ) z — z． 例如，Q (1)=∑7_-02 “=-1／3，Q (2)=-2／3，Q (3)：一20／3． 函数 Q 在迭代时的表现本身很有意思，令 Q2表示分母为奇数的所有有理数的集 合，所以 Q2 ．集合 恰好由 2-adic展开式为有限的或最终为周期的那些 2-adic 整数组成．有限圈猜想等价于存在有限奇整数 ，使得 1 Q ( ) 五 』 作为进一步研究的假设，我提出下列猜想． 周期性猜想．Q．(Q2)=Q2． 例如，可以计算出Q (10)=-26／3，Q．(-26／3)=一54，Q (一54)=一82／7，Q (一82／7) = ?／18．可以证明，若 n有发散轨道，则序列 ( 0( )， 1( )， 2( ，⋯)最终不可能是周 期的．因此，周期性猜想为真意味着发散轨遭猜想为真． 关于 Q 的迭代的不动点，定理 B有一个奇妙的推论． 定理 M． 设Q 的第k次迭代0望 有—个不动点a∈ ，且口不是任何Q(¨，1 l< ，的不动点，则 k是 2的方幂． ■ 4 结束语．3 十1问题极其难解吗? 解决 3 +1问题的困难性似乎与这一事实有 关：即它是一个带有 “随机”特性的确定过程，我们面临如此困境．一方面，从该问题有 结构这一点看，我们可以对其作分析 —— 然而正是这种结构使得我们不能证明它具有 “随机”特性．另一方面，从该问题没有结构和 “随栅’看，我们无法分析，从而不能严 格证明任何东西．当然，发现 3 +1问题中隐藏的规律，并得以解决有关的一些猜想， 这种可能性是存在的．数论和遍历理论现有的—般方法似乎不能触动 3 +1问题．在这 种意义下，该问题目前还是难解的．确实，本文提出的所有猜想，目前似乎都超出人力 之所及，如果它们是真的，我想否定那些不对的倒有一丝机会． 如果 十1问题是难解的，为什么还要研究?下列格言是一个回答： “没有难题能 难到无法对它做出任何有趣的讨论的程度”．3z+1问题的研究已经揭示了一些有趣的现 象．我相信，对它的进一步研究会发现其它新的现象．它是衡量一般数学理论进展的一 个尺度．例如，将来解指数丢番图方程的深入发展也许会导致有限圈猜想的解决． 如果本文提出的所有猜想都是难解的，我们从何处着手研究这个使人误以为简单的 问题?作为进—步研究的一个引导，我只提出问题．下面是我想到的几个：对 3 十1问 题，假定存在发散轨遭，其元素增长的幅度有何限制?函数Q 有何有趣的性质?除了 递归定义 (2．33)，是否存在 Q 的某种直接刻划 ? 参考文献 (略) 124 · (余敏安 译 叶顶峰 校) ★世纪图书馆-专业理工农医经管文法文献服务网站★ 【网站介绍】 世纪图书馆是专业中文文献服务网站，提供2500万篇文献检索及全文下载服务，学科范围覆盖理学、工学、农学、 经济、法律、医药、教育、管理等所有学科，时间覆盖范围从1980年至2012年。 网站服务宗旨：让知识服务于社会，提高国民知识水平，提高企业科技水平。 【版权申明】 世纪图书馆提供的电子版文件版权均归属原版权所有人，世纪图书馆不承担版权问题，仅供您个人参考之用。 【联系方式】 电子邮件 support@redlib.cn 在线咨询QQ 83723900 83723800 在线咨询 【论文发表】 提供专业论文写作、代理发表（发表各类期刊）咨询电话 13372256700 咨询QQ 29338355 【访问网站】 网站地址 http://www.redlib.cn 本次文章下载时间：2013/8/6 20:07:06 访问IP：118.88.230.162