π,欧拉数,和渐近展开

数学小品 l6I—f61 欧担歃 f}f _}『 J．M． 编者接 ：本刊在 1995年第 14卷第 2期刊出了 叶f么证明死 了?什么 半严格数学?都是骗人的鬼话r一文，作者 G．E．Andrews在 “证明的洞 察力”一节中提到本文，说它是 “说明电脑只辅助地发现新事实而不是去 证明事实的一个近乎完美的例子”，本文 “为我们提供 了深刻的洞察力”，它 “实在漂亮”现精它全文译出，以供欣赏． 51．引言． 的 Gregory级数．取 500、000项截断时-给出了 的 4o位达式 Ⅲ s唧 s。泖 啦 !97 右边的数并不是 的 40位正确值，如同预期的 S样，该数小数点后第6位是错的 但 令人惊奇的是第6位后的 lo个数字又是对的．事实上．40位数中仅有在下面划了线的 4个是错的．这一惊奇的结果是 Colorado Spfia~的R．D．North ll 0]告诉我们的．他请 求我们对此作出解释．本文就是对此提供解答的．另外两个相关的例子，各取 50位．是 ． 。(一1) l ； 。∑ =1 一 ‘ ：1．5707 __ 8632679489__7619231321 1 和 。 。 。(一1) l0g2 2∑ } 61 原：Pi，Euler Numbers，and Asymptotic Expansions．译自：Amer．Mat．&-Monthly Vol· 96，1989，PP．681—687． 161 ∑ ㈦ 本文下载来源:世纪图馆 www.redlib.cn 其中，除划了线的数字外全都是正确的．而那些划了线的数字下所标出的是修正数字- 数 1，一1，5，一61是前 4个欧拉数 (Euler numbers)．而 1，一1，2，一16，272是前 5个正切 数 (tangent numbers)．我们的发现过程包括产生这一序列并在 Sloane的 Handbook of Integer Sequences f11】的帮助下确认它们．在每个情形．我J门所看到的是欧拉求和中误 差的渐近展开．有意思的是，晨开的系数是整数．所有这一切将在定理 1中得到解释． 关于歇拉数{ }，正切数 )，和伯努利数(Be~oulli numbers){鼠}，我们所需要的 都可以在【1]或 中找到．这些数用下列幂级数的系数定义；· ∞ I=． ． 2n sec。 ： ∑(一1)” ， (1．1) 它们满足关系 以及 ⋯ ：妻 ， ：t n=0 r ’ 吉：妻等 一1二 礼! 塞( ，‰=。 岛：嘉 ， (1．2) (1,3) (1．4) (1．5) 煮 Bk 从这3个等式可以容易地得到f晶}，f )和 { }．它们的前 个敷值如下 O 1 2 3 4 S 6 7 8 1 0 —1 O 5 O 一61 0 1385 1 一l O 2 0 —16 O 272 0 一 I 1 —l 1 —l 丑 n 1 __一 — O __一 0 — O 2 6 30 4 2 30 (1．4)告诉我们欧拉数是整数．从 (1．5)和 (1．6)可以知道正切数是整数．从下面的 (5．1) 和 (5．2)式推知 IE2 和 2(2,0．t ． 本文的主要内容是下面的一个定理．我们所给出的简单证明是基于 BoDle求和．它 相当类似于欧拉求和但却不如后者著名．证碉的细节放在第 2．3节中 (除c之外，它直 接甩了欧拉求和)．可直接甩欧拉求和或用 中的结果．但较为复杂． 162 和 定理 1 下的渐近展开成立 )： 。 一 薹 1 l 5 61 ～ N N 3 i 一 n／2 ， log2～∑ 16 272 N6 。N s c 萼一篆击一 + ： + — + 一 + N 。2N 2 。6N 3 30／Vs 。42N7 从 (日 和 {届 的渐近性质和 (1．5)式，我们看到以上的每个无穷级数都是处处发散 的；这螋级数的渐近性是： 薹 T2n~-i： K T一2m-1 4-0、(：／2m-1 ) )∑ ：∑ 、 ) m=l m ⋯。‘， ， c， 薹 =m =l +。( ) 其中，每个被增长阶符号所略去的常数与 N和 ／f无关．事实上，在每种情形都可取成 常数 10． § ·Boole求和公式一致拉多项式 丘 ( )是用下列母函数定义的 (见 [1，P．8o4]) ． 筹 ： n 妻 =O ： 每个 (z)是 "一次多项式，最高幂次项的系数是 1 ． 我们也用 夏 z+1)=一豆 z)，v 】从以后的证明可以看出 ， 这里的a)和b)需要假设lv／2是一偶数．——译注 163 ∑ + 一 一Ⅳ 一Ⅳ ～ = ∑一 裔 ∞∑一 和 E 扛)=En( )，O z<1． 来定义周期的欧拉函数 瓦 ( )．可以证明西 (z)有直到 一1)阶的连续导数． Boole求和公式是 (见，例如， 【g，p 34]) 引理 1．设 ，(t)是定义在区间 t≤ +u上， m次连续可微的函数．那么，对 0 h 1，我们有 ，(z+ )= 等 ㈨． (，仆) +u)+ ))+ ， 其中 ／o ( 川)出 (m一1)! ⋯⋯ 一 这一求和公式可以通过对以上积分反复施行分部积分而不难得到． }g，P．26]中提到， 对于多项 ，并且不带余项的这一公式，欧拉是知道的．如果应用引理 1，将 ^代之以 ^“ 并令 趋于零，我们就得到带有Lagrange余项的Tay]or公式一 为将引理 1改变得适合我们使用，我们取 =1，并进一步限定 ，． 引理2设 ，是定义在 t 上，m次连续可微的函数一并且当t— O0时，， ’(￡)一O 对一切 ：O，1 一，m成立．那么．对 0≤h 1 我们有 妻(-1) x+h+v)= ， 龃 ，【m 川 R = ，【m c + ， §3．Gregory级数的余项．欧拉数 E 可以用母函数 E ． ． t __ n (3_1) +e一 ”n!’ 来定义．将 (3．1)和 (2．1)作比较，可知 ： 2nE ( )． (3．2) 于是．如果我们取 n=5OO，000，在目I言中提到的那个令人惊奇的现象，就在以下的命题 中得到完全的懈释．当然我们也可以取 n=10 ／2，m是任一整数，得到相类似的结果． 命题 1．对正整数 n和 M，我们有 薹 篓 仙c 。 这里 RI(M)I< 21~ MMI 证明 对 ，( )=1／x应用引理 2：取 z：n，以及 h=1／2．我们得到 薹 1／2： 皇 2k! 掣+％， (。 ) ¨ 一 = 筹 (3．4)式的两边乘以 2(-1) ．左边就等于 (3．3)式的左边．用 2M +l代替 m，利用 (3 2) 式，井考虑到奇数指标的欧拉数为零，(3．3)和 (3．4)两式的右边第一项相等．要估计误 差项．我们用以下的不等式， E2 )l 2-2Ml岛 I， 0 。 l (见，例如 【1，p．sos])．积分后就得到命题 1的误差估计 口 §4．关于log2．引理 2也可以用来处理级数 og2=妻 ． ， = 1 的截断-得到一个和命题 l相类似的结果．在现在的情形．正切数 将起到 在命 柏 ： 一 ) = ( 一 ) 以及 (1．2)和 (2．1)式，得到 (见 【9j p．281)． 可以通过 =1和循环关系 = (一1)”2 (1) ( z ·+ —o， 计算得到．其它的性质可在，例如 [8]或 【9，ch2]中找到 命怠 2．对正整数 n和 M， it]有 耋 =(-1)-N b+ M ~2k--1) (4 2) (4．3) 165 ． 其中 ( 证明． 如同命题 1的证明．这里我们取 z=n以及 h=1．利用 (4．2)式，以及 To=1 乃 =^0，k≥l，我们得到 (4．3)式右方的求和项，余项的估计如命题 1的证明．口 在命题 2中取 n=10m／2，我们再一次地得到了 log 2的正确小数值，其位致要比 Taylor级数的误差项所给出的要多得多． §5．推广．命题 1和命题 2很容易朝两个不同的方向推广 i)著名的无穷级数 (见，例如， f1，P．8o71) 薹 精 (5．1) 和 。。⋯ 一1 警 _(1 。 ⋯ ． f 5_ ) = (22一l_1) ( =l，2，⋯) 可以认为是 Gregory级数和 (4 1)式的推广．这两个级数有类似于命题 1和 2的结果； 只须在证明中分别用 ／(x)：x-(2n+1)和 z—f。 )替代 ，(z)=1／x即可． 我们注意到，对于 ￡ ～ ， (5ls) ∑ == ， (5 3) h=O 、 Euler-MacLaurin求和公式会产生相类似的结果，这里，伯努利数 日。 的倍数取代了命 题 l和 2中 和 的位置． ii)Berndt【31推广了 Euler-MacLaurin和 Boole求和公式．它可以应用于与 (5．1)一 (5．3)性质相类似的级数．这时，命题 1和 2中 和 的角色将由广义伯努利数或相 关的数来替代． §6． 附注．引言中所出现的结果是取了 Ⅳ 为 IO的一个幂次后得到的；如果取 N=2·10 也能得到一个 “干 P的表达式．参考文献 [1】1【5】1[61和 [9]9包含了有关伯 努利数和欧拉数的基本素材， 中详尽讨论了它们的计算，而 翻 的刻划对象则有趣 地与 Pascal三角形相类似．许多关于 的计算和相关的内容可以在 【41中找到． 【5]，【6] 和 【9]中有关于欧拉求和的讨论；而关于 Boole求和．在 中 【71中给出了关于交叉 级数的计算和加速收敛的相关材料 ． 证明的附件， M．R．Powell也注意到了这类现象。并给出了各种解释 (见， The Mathematical Gazette，66(1982)，220-221，和 67(1983)171—188)． 参 考 文 献 Ⅲ M．Ahramowitz and 1．Stegun1 Handbook of Mathematical P~uctions，D r1 N．Y．，1964 【2]M．D．Atkimson1 Howto computethe 8e es expansions of sec zandtan z1 Amer,M4 MontMg, 口3，(1986)，387 88． 嘲 B．C．Berndtt Character analogues of the Poisson and Euler-Ma~Laurin summation formulas with applications1 Number TheorV,7，(1976)，413445． 【4]J．M．Borwein and P B Borweln1 Pi and the AGM ·A Study in A~Mytic Number Theory and Computational Complex ity,W iley,N．Y．，1987． 嘲 T．J．1'a Brvmwich，An Introduction to the Theory of Infinite Series，2nd ed，MacMillma，London， 1926． 嘲 m L．Graham，D．E．Knuth1 and O．patashnik，Concrete Mathematics，Addison Wesley~Reading， M a龉 ．．1989 [7]R．Johnsonbaugh1 Summing ma ernatlng series，Amer．Math．Monthly,861(1979)1 637-648 [8]D E．Knuth，and T J．BuckhoJtzT Comput~*tion of Tangent，Euier,and Ber~oal|i numbers,Malh． Compat．，21，(1967)，663-688． 【9]N．NSrlund1 Vodesunge~ r Differenzenrechnun9，Springer-Verlng，Berlin1 1924． 1。】R．D．North，personal communications，1988． n]N．J．A．S1oalle1 A Handbook of Integer Sequences，Academic Press，New York1 1973． (姚景齐 译 李 浩 校) 167 ★世纪图书馆-专业理工农医经管文法文献服务网站★ 【网站介绍】 世纪图书馆是专业中文文献服务网站，提供2500万篇文献检索及全文下载服务，学科范围覆盖理学、工学、农学、 经济、法律、医药、教育、管理等所有学科，时间覆盖范围从1980年至2012年。 网站服务宗旨：让知识服务于社会，提高国民知识水平，提高企业科技水平。 【版权申明】 世纪图书馆提供的电子版文件版权均归属原版权所有人，世纪图书馆不承担版权问题，仅供您个人参考之用。 【联系方式】 电子邮件 support@redlib.cn 在线咨询QQ 83723900 83723800 在线咨询 【发表】 提供专业论文写作、代理发表（发表各类期刊）咨询电话 13372256700 咨询QQ 29338355 【访问网站】 网站地址 http://www.redlib.cn 本次文章下载时间：2013/8/6 20:09:16 访问IP：118.88.230.162