斯托克斯公式

null第七节斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节二、环流量与旋度 一、斯托克斯公式*三、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子(Stokes formula)(Circulate and Rotation)五、null一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式下页返回上页null右手法则证明如图下页返回上页null思路曲面积分二重积分曲线积分12下页返回上页null1下页返回上页null根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线下页返回上页null同理可证故有结论成立.下页返回上页null另一种形式便于记忆形式下页返回上页nullStokes公式的实质: 达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.下页返回上页null解按斯托克斯公式, 有下页返回上页null下页返回上页null解则下页返回上页null即下页返回上页例3.  为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算解: 设为平面 z = y 上被  所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦例3.  为柱面下页返回上页二、物理意义---环流量与旋度二、物理意义---环流量与旋度1. 环流量的定义:下页返回上页null利用stokes公式, 有2. 旋度的定义:下页返回上页null下页返回上页null斯托克斯公式的又一种形式其中下页返回上页null斯托克斯公式的向量形式其中下页返回上页nullStokes公式的物理解释:下页返回上页null解观察旋度由此可看出旋度与旋转角速度的关系.下页返回上页例5. 设的外法向量,计算解: 例5. 设下页返回上页*三、空间曲线积分与路径无关的条件*三、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有(2) 对G内任一分段光滑曲线 , 与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有下页返回上页证:证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证) 设函数 则下页返回上页null同理可证 故有若(3)成立, 则必有因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有同理证毕下页返回上页例6. 验证曲线积分与路径无关, 并求函数解: 令 积分与路径无关,因此例6. 验证曲线积分下页返回上页四*、向量微分算子四*、向量微分算子定义向量微分算子:它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. 则下页返回上页null则高斯公式与斯托克斯公式可写成:下页返回上页场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设 梯度:散度:旋度:则下页返回上页五、小结五、小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式下页返回上页null练 习 题下页返回上页null下页返回上页null练习题答案下页返回上页