神经网络模型，教程，含matlab算法

-350- 第十九章 神经网络模型 §1 神经网络简介 人工神经网络是在现代神经科学的基础上提出和发展起来的，旨在反映人脑结构及 功能的一种抽象数学模型。自 1943 年美国心理学家 W. McCulloch 和数学家 W. Pitts 提 出形式神经元的抽象数学模型—MP 模型以来，人工神经网络理论技术经过了 50 多年 曲折的发展。特别是 20 世纪 80 年代，人工神经网络的研究取得了重大进展，有关的理 论和方法已经发展成一门界于物理学、数学、计算机科学和神经生物学之间的交叉学科。 它在模式识别，图像处理，智能控制，组合优化，金融预测与管理，通信，机器人以及 专家系统等领域得到广泛的应用，提出了 40 多种神经网络模型，其中比较著名的有感 知机，Hopfield 网络，Boltzman 机，自适应共振理论及反向传播网络（BP）等。在这 里我们仅讨论最基本的网络模型及其学习算法。 1.1 人工神经元模型 图 1 表示出了作为人工神经网络（artificial neural network，以下简称 NN）的基本 单元的神经元模型，它有三个基本要素： 图 1 神经元模型 （i）一组连接（对应于生物神经元的突触），连接强度由各连接上的权值表示，权 值为正表示激活，为负表示抑制。 （ii）一个求和单元，用于求取各输入信号的加权和（线性组合）。 （iii）一个非线性激活函数，起非线性映射作用并将神经元输出幅度限制在一定范 围内（一般限制在 )1,0( 或 )1,1(− 之间）。 此外还有一个阈值 kθ （或偏置 kkb θ−= ）。 以上作用可分别以数学式表达出来： ∑ = = p j jkjk xwu 1 ， kkk uv θ−= ， )( kk vy ϕ= 式中 pxxx ,,, 21 L 为输入信号， kpkk www ,,, 21 L 为神经元 k 之权值， ku 为线性组合结 果， kθ 为阈值， )(⋅ϕ 为激活函数， ky 为神经元 k 的输出。 若把输入的维数增加一维，则可把阈值 kθ 包括进去。例如 ∑ = = p j jkjk xwv 0 ， )( kk uy ϕ= 此处增加了一个新的连接，其输入为 10 −=x （或 1+ ），权值为 kkw θ=0 （或 kb ），如 -351- 图 2 所示。 图 2 神经元模型 激活函数 )(⋅ϕ 可以有以下几种: （i）阈值函数 ⎩⎨ ⎧ < ≥= 0,0 0,1 )( v v vϕ （1） 即阶梯函数。这时相应的输出 ky 为 ⎩⎨ ⎧ < ≥= 0,0 0,1 k k k v v y 其中 ∑ = −= p j kjkjk xwv 1 θ ，常称此种神经元为 PM − 模型。 （ii）分段线性函数 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −≤ <<−+ ≥ = 1,0 11),1( 2 1 1,1 )( v vv v vϕ （2） 它类似于一个放大系数为 1 的非线性放大器，当工作于线性区时它是一个线性组合器， 放大系数趋于无穷大时变成一个阈值单元。 （iii）sigmoid 函数 最常用的函数形式为 )exp(1 1)( v v αϕ −+= （3） 参数 0>α 可控制其斜率。另一种常用的是双曲正切函数 )exp(1 )exp(1 2 tanh)( v vvv −+ −−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=ϕ （4） 这类函数具有平滑和渐近性，并保持单调性。 Matlab 中的激活（传递）函数如表 1 所示。 -352- 表 1 Matlab 工具箱中的传递函数 函数名 功 能 purelin 线性传递函数 hardlim 硬限幅传递函数 hardlims 对称硬限幅传递函数 satlin 饱和线性传递函数 satlins 对称饱和线性传递函数 logsig 对数 S 形传递函数 tansig 正切 S 形传递函数 radbas 径向基传递函数 compet 竞争层传递函数 各个函数的定义及使用方法，可以参看 Matlab 的帮助（如在 Matlab 命令窗口运行 help tansig，可以看到 tantig 的使用方法，及 tansig 的定义为 1 1 2)( 2 −+= − vevϕ ）。 1.2 网络结构及工作方式 除单元特性外，网络的拓扑结构也是 NN 的一个重要特性。从连接方式看 NN 主要 有两种。 （i）前馈型网络 各神经元接受前一层的输入，并输出给下一层，没有反馈。结点分为两类，即输入 单元和计算单元，每一计算单元可有任意个输入，但只有一个输出（它可耦合到任意多 个其它结点作为其输入）。通常前馈网络可分为不同的层，第 i层的输入只与第 1−i 层 输出相连，输入和输出结点与外界相连，而其它中间层则称为隐层。 （ii）反馈型网络 所有结点都是计算单元，同时也可接受输入，并向外界输出。 NN 的工作过程主要分为两个阶段：第一个阶段是学习期，此时各计算单元状态不 变，各连线上的权值可通过学习来修改；第二阶段是工作期，此时各连接权固定，计算 单元状态变化，以达到某种稳定状态。 从作用效果看，前馈网络主要是函数映射，可用于模式识别和函数逼近。反馈网络 按对能量函数的极小点的利用来分类有两种：第一类是能量函数的所有极小点都起作 用，这一类主要用作各种联想存储器；第二类只利用全局极小点，它主要用于求解最优 化问。 §2 蠓虫分类问题与多层前馈网络 2.1 蠓虫分类问题 蠓虫分类问题可概括叙述如下：生物学家试图对两种蠓虫（Af 与 Apf）进行鉴别， 依据的资料是触角和翅膀的长度，已经测得了 9 支 Af 和 6 支 Apf 的数据如下： Af: (1.24,1.27)，(1.36,1.74)，(1.38,1.64)，(1.38,1.82)，(1.38,1.90)，(1.40,1.70)， (1.48,1.82)，(1.54,1.82)，(1.56,2.08). Apf: (1.14,1.82)，(1.18,1.96)，(1.20,1.86)，(1.26,2.00)，(1.28,2.00)，(1.30,1.96). 现在的问题是： （i）根据如上资料，如何制定一种方法，正确地区分两类蠓虫。 （ii）对触角和翼长分别为(1.24,1.80)，(1.28,1.84)与(1.40,2.04)的 3 个标本，用所得 到的方法加以识别。 （iii）设 Af 是宝贵的传粉益虫，Apf 是某疾病的载体，是否应该修改分类方法。 如上的问题是有代表性的，它的特点是要求依据已知资料（9 支 Af 的数据和 6 支 -353- Apf 的数据）制定一种分类方法，类别是已经给定的（Af 或 Apf）。今后，我们将 9 支 Af 及 6 支 Apf 的数据集合称之为学习样本。 2.2 多层前馈网络 图 3 多层前馈网络 为解决上述问题，考虑一个其结构如图 3 所示的人工神经网络，激活函数由 )exp(1 1)( v v αϕ −+= 来决定。图中最下面单元，即由•所示的一层称为输入层，用以输入已知测量值。在 我们的例子中，它只需包括两个单元，一个用以输入触角长度，一个用以输入翅膀长度。 中间一层称为处理层或隐单元层，单元个数适当选取，对于它的选取方法，有一些文献 进行了讨论，但通过试验来决定，或许是最好的途径。在我们的例子中，取三个就足够 了。最上面一层称为输出层，在我们的例子中只包含二个单元，用以输出与每一组输入 数据相对应的分类信息．任何一个中间层单元接受所有输入单元传来的信号，并把处理 后的结果传向每一个输出单元，供输出层再次加工，同层的神经元彼此不相联接，输入 与输出单元之间也没有直接联接。这样，除了神经元的形式定义外，我们又给出了网络 结构。有些文献将这样的网络称为两层前传网络，称为两层的理由是，只有中间层及输 出层的单元才对信号进行处理；输入层的单元对输入数据没有任何加工，故不计算在层 数之内。 为了叙述上的方便，此处引入如下记号上的约定：令 s表示一个确定的已知样品标 号，在蠓虫问题中， 15,,2,1 L=s ，分别表示学习样本中的 15 个样品；当将第 s个样 品的原始数据输入网络时，相应的输出单元状态记为 )2,1( =iO si ，隐单元状态记为 )3,2,1( =jH sj ，输入单元取值记为 )2,1( =kI sk 。在这一约定下，从中间层到输出层的 权记为 ijw ，从输入层到中间层的权记为 jkw 。如果 ijw ， jkw 均已给定，那么，对应于 任何一组确定的输入 ),( 21 ss II ，网络中所有单元的取值不难确定。事实上，对样品 s而 言，隐单元 j的输入是 ∑ = = 2 1k s kjk s j Iwh （5） 相应的输出状态是 ∑ = == 2 1 )()( k s kjk s j s j IwhH ϕϕ （6） 由此，输出单元 i所接收到的迭加信号是 -354- ∑ ∑ ∑ = = = == 3 1 3 1 2 1 )( j j k s kjkij s jij s i IwwHwh ϕ （7） 网络的最终输出是 ))(()()( 3 1 2 1 3 1 ∑ ∑∑ = == === j k s kjkij j s jij s i s i IwwHwhO ϕϕϕϕ （8） 这里，没有考虑阈值，正如前面已经说明的那样，这一点是无关紧要的。还应指出的是， 对于任何一组确定的输入，输出是所有权 },{ jkij ww 的函数。 如果我们能够选定一组适当的权值 },{ jkij ww ，使得对应于学习样本中任何一组 Af 样品的输入 ),( 21 ss II ，输出 )0,1(),( 21 =ss OO ，对应于 Apf 的输入数据，输出为 )1,0( ， 那么蠓虫分类问题实际上就解决了。因为，对于任何一个未知类别的样品，只要将其触 角及翅膀长度输入网络，视其输出模式靠近 )0,1( 亦或 )1,0( ，就可能判断其归属。当然， 有可能出现介于中间无法判断的情况。现在的问题是，如何找到一组适当的权值，实现 上面所设想的网络功能。 2.3 向后传播算法 对于一个多层网络，如何求得一组恰当的权值，使网络具有特定的功能，在很长一 段时间内，曾经是使研究工作者感到困难的一个问题，直到 1985 年，美国加州大学的 一个研究小组提出了所谓向后传播算法（Back-Propagation），使问题有了重大进展，这 一算法也是促成人工神经网络研究迅猛发展的一个原因。下面就来介绍这一算法。 如前所述，我们希望对应于学习样本中 Af 样品的输出是 )0,1( ，对应于 Apf 的输出 是 )1,0( ，这样的输出称之为理想输出。实际上要精确地作到这一点是不可能的，只能 希望实际输出尽可能地接近理想输出。为清楚起见，把对应于样品 s的理想输出记为 }{ siT ，那么 ∑ −= si s i s i OTWE , 2)( 2 1)( （9） 度量了在一组给定的权下，实际输出与理想输出的差异，由此，寻找一组恰当的权的问 题，自然地归结为求适当W 的值，使 )(WE 达到极小的问题。将式（8）代入（9），有 ∑ ∑ ∑ = = −= is j k s kjkij s i IwwTWE , 2 3 1 2 1 )])(([ 2 1)( ϕϕ （10） 易知，对每一个变量 ijw 或 ijw 而言，这是一个连续可微的非线性函数，为了求得其极 小点与极小值，最为方便的就是使用最速下降法。最速下降法是一种迭代算法，为求出 )(WE 的（局部）极小，它从一个任取的初始点 0W 出发，计算在 0W 点的负梯度方向 — )( 0WE∇ ，这是函数在该点下降最快的方向；只要 0)( 0 ≠∇ WE ，就可沿该方向移动 一小段距离，达到一个新的点 )( 001 WEWW ∇−= η ，η是一个参数，只要η足够小， 定能保证 )()( 01 WEWE < 。不断重复这一过程，一定能达到E的一个（局部）极小点。 就本质而言，这就是 BP 算法的全部，然而，对人工神经网络问题而言，这一算法 的具体形式是非常重要的，下面我们就来给出这一形式表达。 对于隐单元到输出单元的权 ijw 而言，最速下降法给出的每一步的修正量是 -355- ∑ ∑=−=∂∂−=Δ s s sjsisjsisisiijij HHhOTw Ew δηϕηη )('][ （11） 此处令 ])[(' si s i s i s i OTh −=ϕδ （12） 对输入单元到隐单元的权 jkw ∑ −=∂∂−=Δ is sjsjijsisisijkjk IhwhOTw Ew , )(')('][ ϕϕηη ∑∑ == s s k s j is s k s jij s i IIhw δηϕδη , )(' （13） 此处 ∑= i s iij s j s j wh δϕδ )(' 从（11）和（13）式可以看出，所有权的修正量都有如下形式，即 ∑=Δ s s q s ppq vw δη （14） 指标 p对应于两个单元中输出信号的一端，q对应于输入信号的一端，s或者代表H 或 者代表 I 。形式上看来，这一修正是“局部”的，可以看作是 Hebb 律的一种表现形式。 还应注意， siδ 由实际输出与理想输出的差及 sih 决定，而 sjδ 则需依赖 siδ 算出，因此， 这一算法才称为向后传播算法。稍加还可知道，利用由（11）~（13）式所给出的 计算安排，较之不考虑 spδ 的向后传播，直接计算所有含 'ϕ 的原表达式，极大地降低了 计算工作量。这组关系式称作广义 −δ 法则，它们不难推广到一般的多层网络上去。 利用这一迭代算法，最终生成在一定精度内满足要求的 },{ jkij ww 的过程，称为人 工神经网络的学习过程。可以看出，这里所提供的学习机制是元与元之间权的不断调整， 学习样本中任何一个样品所提供的信息，最终将包含在网络的每一个权之中。参数η的 大小则反映了学习效率。 为了更有效地应用 BP 算法，我们做出如下一些补充说明。 （i）在式（11）与（13）中， jkij ww ΔΔ , 表示为与所有样品 s有关的求和计算。 实际上，我们还可以每次仅考虑输入一个样品所造成的修正，然后，按照随机选取的顺 序，将所有样品逐个输入，不断重复这一手续，直至收敛到一个满意的解为止。 （ii）在如上的算法中，利用实际输出与理想输出差的平方和作为度量 },{ jkij ww 优 劣的标准，这并不是唯一的度量方式，完全可以从其它的函数形式出发，例如从相对熵 出发，导出相应的算法。 （iii）在如上的讨论中使用的是最速下降法，显然，这也不是唯一的选择，其它的 非线性优化方法，诸如共轭梯度法，拟牛顿法等，都可用于计算。为了加速算法的收敛 速度，还可以考虑各种不同的修正方式。 （iv）BP 算法的出现，虽然对人工神经网络的发展起了重大推动作用，但是这一 算法仍有很多问题．对于一个大的网络系统，BP 算法的工作量仍然是十分可观的，这 主要在于算法的收敛速度很慢。更为严重的是，此处所讨论的是非线性函数的优化，那 么它就无法逃脱该类问题的共同困难：BP 算法所求得的解，只能保证是依赖于初值选 取的局部极小点。为克服这一缺陷，可以考虑改进方法，例如模拟退火算法，或从多个 -356- 随机选定的初值点出发，进行多次计算，但这些方法都不可避免地加大了工作量。 2.4 蠓虫分类问题的求解 下面利用上文所叙述的网络结构及方法，对蠓虫分类问题求解。编写 Matlab 程序 如下： clear p1=[1.24,1.27;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]; p2=[1.14,1.82;1.18,1.96;1.20,1.86;1.26,2.00 1.28,2.00;1.30,1.96]; p=[p1;p2]'; pr=minmax(p); goal=[ones(1,9),zeros(1,6);zeros(1,9),ones(1,6)]; plot(p1(:,1),p1(:,2),'h',p2(:,1),p2(:,2),'o') net=newff(pr,[3,2],{'logsig','logsig'}); net.trainParam.show = 10; net.trainParam.lr = 0.05; net.trainParam.goal = 1e-10; net.trainParam.epochs = 50000; net = train(net,p,goal); x=[1.24 1.80;1.28 1.84;1.40 2.04]'; y0=sim(net,p) y=sim(net,x) §3 处理蠓虫分类的另一种网络方法 3.1 几个有关概念 在介绍本节主要内容之前，首先说明几个不同的概念。在上一节中，我们把利用 BP 算法确定联接强度，即权值的过程称为“学习过程”，这种学习的特点是，对任何一 个输入样品，其类别事先是已知的，理想输出也已事先规定，因而从它所产生的实际输 出与理想输出的异同，我们清楚地知道网络判断正确与否，故此把这一类学习称为在教 师监督下的学习；与它不同的是，有些情况下学习是无监督的，例如，我们试图把一组 样品按其本身特点分类，所要划分的类别是事先未知的，需要网络自身通过学习来决定， 因而，在学习过程中，对每一输入所产生的输出也就无所谓对错，对于这样的情况，显 然 BP 算法是不适用的。 另一个有关概念是所谓有竞争的学习。在上节所讨论的蠓虫分类网络中，尽管我们 所希望的理想输出是 )0,1( 或 )1,0( ，但实际输出并不如此，一般而言，两个输出单元均 同时不为 0。与此不同，我们完全可以设想另外一种输出模式：对应任何一组输入，所 有输出单元中，只允许有一个处于激发态，即取值为 1，其它输出单元均被抑制，即取 值为 0。一种形象的说法是，对应任何一组输入，要求所有的输出单元彼此竞争，唯一 的胜利者赢得一切，失败者一无所获，形成这样一种输出机制的网络学习过程，称为有 竞争的学习。 3.2 最简单的无监督有竞争的学习 本节叙述一种无监督有竞争的网络学习方法，由此产生的网络可用来将一组输入样 品自动划分类别，相似的样品归于同一类别，因而激发同一输出单元，这一分类方式， 是网络自身通过学习，从输入数据的关系中得出的。 蠓虫分类问题对应有教师的网络学习过程，显然不能由如上的方法来解决。但在这 种无监督有竞争的学习阐明之后，很容易从中导出一种适用于有监督情况的网络方法； 此外，本节所介绍的网络，在数据压缩等多种领域，都有其重要应用。 -357- 考虑一个仅由输入层与输出层组成的网络系统，输入单元数目与每一样品的测量值 数目相等，输出单元数目适当选取。每一个输入单元与所有输出单元联接，第 j个输入 元到第 i个输出元的权记为 ijw ，同层单元间无横向联接。不妨假设所有输入数值均已 规化到 ]1,1[− 之间，又因为是有竞争的学习，输出单元只取 0 或 1 两个值，且对应每一 组输入，只有一个输出元取 1。 取 1 的输出元记为 *i ，称之为优胜者。对于任何一组输入 s，规定优胜者是有最大 净输入的输出元，即对输入 ),,( 1 nIII L= 而言， ∑ ⋅≡= j ijiji IWIwh (15) 取最大值的单元，其中 iW 是输出元 i所有权系数组成的向量，也就是说 IWIW ii ⋅≥⋅* ， )( i∀ （16） 如果权向量是按照∑ = j ijw 1 2 的方式标准化的，（16）式等价于 |||| * IWIW ii −≤− ， )( i∀ （17） 即优胜者是其标准化权向量最靠近输入向量的输出元。令 1* =iO ，其余的输出 0=iO 。这样的输出规定了输入向量的类别，但为了使这种分类方式有意义，问题化 为如何将学习样本中的所有样品，自然地划分为聚类，并对每一聚类找出适当的权向量。 为此，采用如下的算法：随机取定一组不大的初始权向量，注意不使它们有任何对称性。 然后，将已知样品按照随机顺序输入网络。对输入样品 s，按上文所述确定优胜者 *i ， 对所有与 *i 有关的权作如下修正 )( ** ji s jji wIw −=Δ η （18） 所有其它输出单元的权保持不变。注意到 1* =iO ， )(0 *iiOi ≠= ，所有权的修正公式 可统一表示为 )( ** ji s jiji wIOw −=Δ η 这一形式也可视为 Hebb 律的一种表现。（18）式的几何意义是清楚的，每次修正将优 胜者的权向量向输入向量移近一小段距离，这使得同一样品再次输入时， *i 有更大的 获胜可能。可以合理地预期，反复重复以上步骤，使得每个输出单元对应了输入向量的 一个聚类，相应的权向量落在了该聚类样品的重心附近。当然，这只是一个极不严密的 说明。 特别应当指出，上述算法，对于事先按照∑ =1jI 标准化了的输入数据更为适用， 整个过程不难由计算机模拟实现。 为了更有效地使用如上算法，下面对实际计算时可能产生的问题，作一些简要说明。 首先，如果初始权选择不当，那么可能出现这样的输出单元，它的权远离任何输入 向量，因此，永远不会成为优胜者，相应的权也就永远不会得到修正，这样的单元称之 为死单元。为避免出现死单元，可以有多种方法。一种办法是初始权从学习样本中抽样 选取，这就保证了它们都落在正确范围内；另一种办法是修正上述的学习算法，使得每 一步不仅调整优胜者的权，同时也以一个小得多的η值，修正所有其它的权。这样，对 于总是失败的单元，其权逐渐地朝着平均输入方向运动，最终也会在某一次竞争中取胜。 此外，还存在有多种处理死单元的方法，感兴趣的读者可从文献中找到更多的方法。 -358- 另外一个问题是这一算法的收敛性。如果式（18）或（19）中反映学习效率的参数 η取为一个固定常数，那么权向量永远不会真正在某一有限点集上稳定下来。因此，应 当考虑在公式中引进随学习时间而变化的收敛因子。例如，取 att −== 0)( ηηη ， 10 ≤< a 。这一因子的适当选取是极为重要的，η下降太慢，无疑增加了不必要工作 量，η下降太快，则会使学习变得无效。 3.3 LVQ 方法 上述有竞争学习的一个最重要应用是数据压缩中的向量量子化方法（Vector Quantization）。它的基本想法是，把一个给定的输入向量集合 sI 分成M 个类别，然后 用类别指标来代表所有属于该类的向量。向量分量通常取连续值，一旦一组适当的类别 确定之后，代替传输或存储输入向量本身，可以只传输或存储它的类别指标。所有的类 别由M 个所谓“原型向量”来表示，我们可以利用一般的欧氏距离，对每一个输入向 量找到最靠近的原型向量，作为它的类别。显然，这种分类方法可以通过有竞争的学习 直接得到。一旦学习过程结束，所有权向量的集合，便构成了一个“电码本”。 一般而言，上述无监督有竞争的学习，实际提供了一种聚类分析方法，对如蠓虫分 类这种有监督的问题并不适用。1989 年，Kohonen 对向量量子化方法加以修改，提出 了一种适用于有监督情况的学习方法，称为学习向量量子化（Learning Vector Quantization），该方法可用于蠓虫分类问题。在有监督的情况下，学习样品的类别是事 先已知的，与此相应，每个输出单元所对应的类别也事先作了规定，但是，代表同一类 别的输出单元可以不止一个。 在 LVQ 中，对于任一输入向量，仍按无监督有竞争的方式选出优胜者 *i ，但权的 修正规则则依输入向量的类别与 *i 所代表的是否一致而不同，确切地说，令 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −− − =Δ 不一致情况 一致情况 )( )( * * * ji s j ji s j ji wI wI w η η 前一种情况，修正和无监督的学习一致，权朝向样品方向移动一小段距离；后一种 则相反，权向离开样品方向移动，这样就减少了错误分类的机会。 对于上述的蠓虫分类问题，我们编写 Matlab 程序如下： clear p1=[1.24,1.27;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]; p2=[1.14,1.82;1.18,1.96;1.20,1.86;1.26,2.00 1.28,2.00;1.30,1.96]; p=[p1;p2]' pr=minmax(p) goal=[ones(1,9),zeros(1,6);zeros(1,9),ones(1,6)] net = newlvq(pr,4,[0.6,0.4]) net = train(net,p,goal) Y = sim(net,p) x=[1.24 1.80;1.28 1.84;1.40 2.04]' sim(net,x) 习 题 十 九 1. 利用 BP 算法及 sigmoid 函数，研究以下各函数的逼近问题 -359- （i） 1001,1)( ≤≤= x x xf （ii） 2 0,sin)( π≤≤= xxxf 对每一函数要完成如下工作： ① 获取两组数据，一组作为训练集，一组作为测试集； ② 利用训练集训练一个单隐层的网络；用测试集检验训练结果，改变隐层单元数， 研究它对逼近效果的影响。 2. 给定待拟合的曲线形式为 )2sin(4.05.0)( xxf π+= 在 )(xf 上等间隔取 11 个点的数据，在此数据的输出值上加均值为 0，均方差 05.0=σ 的正态分布噪声作为给定训练数据，用多项式拟合此函数，分别取多项式的阶次为 1， 3 和 11 阶，图示出拟合结果，并讨论多项式阶次对拟合结果的影响。