卡特兰数

Catalan数 中文:卡特兰数 　　原理： 　　令h(1)＝1,catalan数满足递归式： 　　h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2) 　　另类递归式： 　　h(n)=((4*n-6)/(n))*h(n-1); 　　该递推关系的解为： 　　h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,...) 　　我并不关心其解是怎么求出来的，我只想知道怎么用catalan数问题。 　　我了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了） 　　1.括号化问题。 　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号示成对的乘积，试问有几种括号化的？(h(n)种) 　　2.出栈次序问题。 　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 　　类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 　　3.将多边行划分为三角形问题。 　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? 　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她 　　从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？ 　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 　　4.给顶节点组成二叉树的问题。 　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？ 　　(一定是二叉树! 　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n)) 　　（能构成h（N）个） 　　【wolf5x】请教：能解释一下二叉树和二叉排序树的定义的区别吗？如图所示：二叉树已经画了九种不同的，而f(3)=5！ 　　(是指形状相同的2叉数,准确说你的里面好多重复的,第2,3个就是重复的,因为形状相同.2叉树不应该把节点编号的,因为每个节点都是相同的东西!)