匀速圆周运动

年级 高三 学科 物理 内容标 匀速圆周运动 编稿老师 张子厚 【本讲教育信息】 一、教学内容： 高考第一轮复习——匀速圆周运动基本规律的运用 二、学习目标： 1、理解线速度、角速度和周期的概念及它们之间的关系，知道它们是描述匀速圆周运动的基本物理量。 2、理解向心力和向心加速度的概念，掌握向心力和向心加速度的公式，并能熟练解决相关问题。 3、重点掌握与本部分内容相关的重要的习题类型及其解法。 考点地位： 匀速圆周运动基本规律的运用问题是高考考查的重点和难点，圆周运动是机械运动中一种典型的曲线运动，水平面内的匀速圆周运动，以考查圆周运动的基本规律及其应用为主，竖直面内的非匀速圆周运动，以考查受力、临界条件、极值问题为主，本部分内容综合性很强，可与机械能守恒、功能关系、复合场问题进行综合，考题形式既可以通过选择题形式也可以通过形式进行考查，2009年上海卷第43题、广东文科基础卷第57题、08年宁夏卷第30题、广东理科基础卷第7题通过选择题的形式进行考查， 09年安徽卷第24题、浙江卷第24题、广东卷第17题、2007年全国Ⅱ卷第23题、山东卷第24题则是通过大型计算题的形式进行考查. 三、重难点解析： （一）圆周运动的运动学特征 1. 线速度 （1）方向：质点在圆弧上某点的线速度方向沿圆弧上该点切线方向。 （2）大小： （s为t时间通过的弧长而非位移） （3）说明：物体做曲线运动时，线速度是个变量，即使是匀速圆周运动，由于方向不断变化，所以线速度也不是恒量。 2. 角速度： ，（ 为t时间内半径所扫过的角度）在中学阶段不讨论其方向。物体做匀速圆周运动时，角速度为恒量。 说明：同一物体以某点为圆心运动时，某时刻各点的角速度相同，线速度不等。对于轮子的转动问题，同一轮子上的各点的角速度相同，若是皮带（齿轮）转动（皮带不打滑），各轮边缘的线速度大小相等。 3. 周期T，频率f 做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。 做圆周运动的物体单位时间内绕圆心转过的圈数，叫做频率。 4. 转速：单位时间内转过的圈数，常用符号n表示，单位转每秒（r/s）或转每分（r/min），若转速取转每秒为单位，则转速与频率相等。 说明：各物理量之间的关系为 （n的单位是r/s）， 问题1、圆周运动各量关系的理解与运用： 某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图所示，链轮和飞轮的齿数如下表所示，前后轮直径为660mm，人骑该车行进速度为4m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为（ ） 名称 链轮 飞轮 齿数N/个 48 38 28 15 16 18 21 24 28 A. 1.9rad/s B. 3.8rad/s C. 6.5rad/s D. 7.1rad/s 解析：车行进速度与前、后车轮边缘的线速度相等，故后轮边缘的线速度为4m/s，后轮的角速度 。飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度 。飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所以 分别为飞轮和链轮的半径。因轮周长 ，N为齿数， 为两邻齿间的弧长，故 ，所以 。又踏板与链轮同轴，脚踩踏板的角速度 ， ，要使 最小，则 ，故 。 ：B 变式1、 如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一个轮轴，大轮半径为4r，小轮的半径为2r，b点是小轮上到小轮中心的距离为r的点，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在转动过程中皮带不打滑，则（ ） A. a点与b点的线速度大小相等 B. a点与b点的角速度大小相等 C. a点与c点的线速度大小相等 D. a点与d点的向心加速度大小相等 答案：CD 变式2、 如图所示是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是 A. a、b和c三点的线速度大小相等 B. a、b和c三点的角速度相等 C. a、b的角速度比c的大 D. c的线速度比a、b的大 答案：B （二）圆周运动的动力学特点 1. 向心加速度：是描述线速度方向改变快慢的物理量，其大小为 ，方向总是指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻发生变化（每时每刻沿不同的方向指向圆心）。 在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻改变；在变速圆周运动中，向心加速度的大小、方向均发生变化。 2. 向心力：做圆周运动的物体受到的指向圆心的力叫做向心力。向心力的方向时刻与速度方向垂直，向心力的大小为 。 注意：（1）向心力是按照效果命名的力，向心力可以由一个力提供，也可以由某几个力的合力提供，或由某个力的分力提供，在具体问题中要根据物体的受力情况判断。 （2）向心力就是物体做圆周运动时产生向心加速度的力。在匀速圆周运动中，向心力等于物体受到的合力；在变速圆周运动中，向心力只是等于合力在圆心方向的分力。 （3）向心力的公式为 ，对于变速圆周运动也适应，但是F与v、 要对应。 问题2、向心力概念的理解与分析： 如图所示的杂技演员在表演“水流星”的节目时，盛水的杯子经过最高点杯口向下时水也不洒出来。对于杯子经过最高点时水的受力情况，下面说法正确的是（ ） A. 水处于失重状态，不受重力的作用 B. 水受平衡力的作用，合力为零 C. 由于水做圆周运动，因此必然受到重力和向心力的作用 D. 杯底对水的作用力可能为零 答案：D 变式3、 如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是（ ） A. 绳的拉力 B. 重力和绳拉力的合力 C. 重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D. 绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力 答案：CD （三）匀速圆周运动 1. 性质：是速度大小不变而速度方向时刻变化的变速曲线运动，而且是加速度大小不变，加速度方向时刻变化的变加速曲线运动。 2. 加速度：由于仅是速度方向变化而速度大小不变，故加速度方向与线速度方向垂直，即只存在向心加速度，没有切向加速度。 3. 向心力：由于只存在向心加速度，故合外力就是产生向心加速度的力，即合外力充当向心力。 质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，始终与速度方向垂直且指向圆心。 匀速圆周运动实质上是指匀速率圆周运动，是一种变速运动，而且其加速度亦是变化的。 （四）离心现象 1. 离心运动与近心运动 做匀速圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力时，就做逐渐远离圆心的运动，即离心运动。当物体所受的合外力大于物体做圆周运动所需的向心力时，物体做圆周运动的轨道半径变小，逐渐靠近圆心做近心运动。 2. 离心现象的应用 汽车、自行车在水平路面上转弯时所需的向心力由静摩擦力提供，但静摩擦力的最大值有一个限度，所以汽车、自行车在半径一定的水平路面上转弯时，速度要限制，否则容易出事故。 例题： 如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求：当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。 解析：当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到重力和支持力的作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为 有 由几何关系得 联立以上各式解得 （五）圆周运动的动力学分析 1. 匀速圆周运动的分析方法 对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析： （1）确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。 （2）明确运动情况，包括搞清运动速率v、轨迹半径R及轨迹圆心O的位置等。只有明确了上述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小（ ）和向心力方向（指向圆心）。 （3）分析受力情况，对物体实际受力情况作出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F（即提供向心力）。 （4）选用公式 解得结果。 问题3、圆周运动的临界问题分析： 如图所示，细绳一端系着质量为M=0.6kg 的物体，静止在水平圆盘上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m=0.3kg的物体，M的中点与圆孔的距离为0.2m，并已知M与圆盘的最大静摩擦力为2N，现使此圆盘绕中心轴线转动，问角速度 在什么范围内可使m处于静止状态？（取g＝10m/s2） 解析：物体M受到重力Mg，水平盘面的支持力N，绳子的拉力T和摩擦力F作用。设物体M和盘面保持相对静止，当ω具有最小值时M有被拉向圆心的趋势，故盘面对M的静摩擦力的方向背离圆心向外，且等于最大静摩擦力 ，根据牛顿第二定律： 对于m有：T=mg 对于M有： 当ω具有最大值时，M有离开圆心O的运动趋势，水平盘面对M的静摩擦力方向指向圆心，且等于最大静摩擦力 ，根据牛顿第二定律： 对于M有： ， 。 故ω的范围是 ，物体m都能处在静止状态。 答案： 变式4、 如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连小物体A、B的质量均为m，它们到转轴距离分别为 20cm， 。A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：（ ） （1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度 。 （2）当A开始滑动时，圆盘的角速度 。 （3）当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？ 解析：（1）当细线上开始出现张力时，表明B与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为 ，则 。解得： 。 （2）当A开始滑动时，表明A与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为 ，线上拉力为 ，则 对A： 对B: 以上两式中， 解以上三式，得 （3）烧断细线，A与盘的静摩擦力减小，继续随盘做半径为 的圆周运动，而B由于 不足以提供必要的向心力而做离心运动。 2. 竖直方向上圆周运动的临界问题：关于临界问题总是出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。 （1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况。 临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力。即 。 上式中的 是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度 。 当在最高点 时，小球将做完整的圆周运动。因为其他处 将变大，重力提供的向心力将变小，绳子拉力或轨道弹力帮助提供向心力。故必定做圆周运动。 （2）如图所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况。 临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达最高点的临界速度 。 ①图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况： a. 当v=0时，轻杆对小球的竖直向上的支持力FN，其大小等于球的重力，即 。 b. 当 时，杆对小球的弹力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是：0~mg。因 。 c. 当 时， 。 d. 当 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，因 。 ②图（b）弹力情况与①类似。 问题4、竖直平面内非匀速圆周运动的动力学问题： 如图所示，P点与N点等高，Q点有一光滑钉子，Q点与E点等高，O是摆的悬点，O、N、Q、M在同一竖直线上。Q为MN的中点，N为OM的中点，将质量为m 的摆球拉到与竖直方向成60°的P点后无初速释放。当球摆到最低点时悬线被钉子挡住，球沿以Q为中心的圆弧继续运动，下列对小球第一次过M点后的描述和最终状态的描述中正确的是（ ） A. 在过M点后小球向左摆到N点后自由下落 B. 在过M点后小球将在NM之间自由下落 C. 在过M点的瞬间，绳对小球的拉力为小球重力的5倍 D. 小球最终将绕Q点来回摆动 答案：CD 变式5、 竖直平面内有一半径为R的光滑的圆形轨道，在最低点A处放一小球，使小球获得水平速度 启动。问小球能升到轨道什么位置？ 解析：若能升到最高点，在最高点的最小速度 ，设最低点速度v0，由机械能守恒知： 。解得 ，说明小球不能达到最高点。 假设小球能升到半圆轨道上某点，此时小球与圆心连线与竖直方向夹角为α，且脱离轨道的临界条件为轨道对小球的支持力为0,小球只受重力，如图所示，此时重力沿指向圆心方向的分力提供小球此时圆周运动的向心力，则有 ① 由机械能守恒得： ② 几何关系： · ③ 联立①②③式可得：h=1.5R， 60° 其中h>R，说明假设正确。 答案：距最低点1.5R处。 变式6、 如图所示，轻杆的一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法中正确的是（ ） A. 小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B. 小球过最高点时的最小速度为 C. 小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力 D. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定与球所受重力方向相反 答案：AC 【模拟试题】（答题时间：60分钟） *1. 如图所示，光滑的半圆柱体的半径为R，其上方有一个曲线轨道AB，轨道底端水平并与半圆柱体顶端相切，质量为m的小球沿轨道滑至底端（也就是半圆柱体的顶端）B点时的速度大小为 ，方向沿水平方向。小球在水平面上的落点为C（图中未标出），则 A. 小球将沿圆柱体表面做圆周运动滑至C点 B. 小球将做平抛运动到达C点 C. OC之间的距离为 R D. OC之间的距离为R **2. 在2008年中央电视台举办的元宵文艺晚会上，杂技“飞车”演员驾着摩托车，在球形金属网内壁上下盘旋，惊险、刺激，令人惊叹不已，赢得阵阵掌声。如图所示球形金属网的半径为R，假设两杂技运动员骑摩托车在球形金属网内做“飞车”表演时，以相同的速率分别行驶在Ⅰ、Ⅱ两个水平轨道上，轨道Ⅰ的平面过球形金属网的球心，轨道Ⅱ的平面在轨道Ⅰ平面下方且与轨道Ⅰ的平面间距为h，两杂技运动员骑摩托车行驶在Ⅰ、Ⅱ两个水平轨道上，则 A. 轨道Ⅰ与轨道Ⅱ的轨道半径之比为 B. 在轨道Ⅰ与轨道Ⅱ上运动的周期之比为 C. 在轨道Ⅰ与轨道Ⅱ上运动的向心加速度之比为 D. 对球形金属网的压力之比为 *3. 如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员 A. 受到的拉力为 G B. 受到的拉力为2G C. 向心加速度为 D. 向心加速度为2g *4. 如图所示，质量为m的物块沿半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时，物块速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法中正确的是 A. 受到的向心力为 B. 受到的摩擦力为 C. 受到的摩擦力为 D. 受到的合力方向斜向左上方 *5. 如图所示，倾斜轨道AB与有缺口的圆轨道BCD相切于B，圆轨道半径为R，两轨道在同一竖直平面内，D是圆轨道的最高点（且OD竖直），缺口DB所对的圆心角为120°，把一个小球从倾斜轨道上由静止释放，它下滑到B点后便进入圆轨道，要使它上升到D点，不计摩擦，则下列说法中正确的是 A. 释放点应比D点高出R／2 B. 释放点应比D点高出R／4 C. 释放点应与D点等高 D. 由于小球质量未知，无法计算释放点的高度 *6. 在光滑圆锥形容器内固定了一根光滑的竖直细杆，细杆与圆锥的中轴线重合，细杆上穿有小环（小环可以自由转动，但不能上下移动），小环上连接一轻绳，与一质量为m的光滑小球相连，让小球在圆锥内做水平面上的匀速圆周运动，并与圆锥内壁接触。如图所示，图甲中小环与小球在同一水平面上，图乙中轻绳与竖直细杆成θ角。设甲图和乙图中轻绳对小球的拉力分别为Ta和Tb，圆锥内壁对小球的支持力分别为Na和Nb，则下列说法中，正确的是 ①Ta一定为零，Tb一定为零； ②Ta可以为零，Tb可以不为零； ③Na一定不为零，Nb可以为零； ④Na可以为零，Nb可以不为零。 A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ *7. 摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，当它转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，产生转弯需要的向心力；行走在直线上时，车厢又恢复原状。依靠摆式车体的先进性无须对线路等设施进行较大的改造，就可以实现高速行车。如图所示，假设有一摆式超高速列车在水平面内行驶，以360km/h的速度拐弯，拐弯半径为1.5km，则质量为75kg的乘客在拐弯过程中所受到的合外力为 A. 500N B. 1000N C. N D. 0 **8. 如图所示为一种“滚轮—平盘无极变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成。由于摩擦力的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴的转速n1、从动轴的转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是 A. B. C. D. **9. 一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动，圆盘加速转动时，角速度的增加量△ω与对应时间 的比值定义为角加速度 。我们用电磁打点计时器、游标卡尺、纸带、复写纸来完成下述实验： ①如图所示，将打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔，然后固定在圆盘的侧面，当圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上。②接通电源，打点计时器开始打点，启动控制装置使圆盘匀加速转动。③经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带，进行测量。（打点计时器所接交流电的频率为50Hz，如图所示，A、B、C、D、…为计数点，相邻两计数点间有四个点未画出） （1）如图所示，圆盘的半径r为 cm. （2）由图可知，打下计数点D时，纸带运动的速度大小为 m/s，此时圆盘转动的角速度为 rad/s。 （3）纸带运动的加速度大小为 m/s2。 *10. 有一个圆盘能够在水平面内绕其圆心O匀速旋转，盘的边缘为粗糙平面（用斜线表示）其余为光滑平面。现用很轻的长L=5cm的细杆连接A、B两个物体（可看作质点），A、B的质量分别为 ，B放在圆盘的粗糙部分，A放在圆盘的光滑部分。并且细杆指向圆心，A离圆心O的距离为10cm，如图所示，当圆盘以n=2r/s的转速转动时，A和B能跟着一起做匀速圆周运动。求B受到的摩擦力的大小和细杆所受的作用力。（ ） *11. 如图所示，半径R=2m的四分之一粗糙圆弧轨道AB置于竖直平面内，轨道的B端切线水平，且距水平地面高度为h=1.25m，现将一质量m=0.2kg的小滑块从A点由静止释放，滑块沿圆弧轨道运动至B点以v=5m/s的速度水平飞出，g取10m/s2。求： （1）小滑块沿圆弧轨道运动过程中所受摩擦力做的功； （2）小滑块经过B点时对圆轨道的压力大小； （3）小滑块着地时的速度大小和方向. **12. 如图所示，在光滑的水平面上的两个小球A和B，小球A用长L的线拴着绕O点做匀速圆周运动，小球B做匀速直线运动。在t0时刻小球A、B位于MN直线上，并且有相同的速度v0，这时对小球B施加一个恒力，使小球B开始做匀变速直线运动。为了使两质点在某时刻速度又相同，小球B的加速度应满足什么条件? 【试题答案】 1. BC 在B点时，向心力 ，物体将做平抛运动，由平抛运动的规律知： ， ，所以B、C正确。 2. CD 轨道Ⅰ的半径为R，轨道Ⅱ的半径为 ，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ的轨道半径之比为 ，A错误；由周期定义可知在轨道Ⅰ与轨道Ⅱ上运动的周期之比等于轨道半径之比为 ，B错误；由向心加速度的定义可知当两者速率大小相等时向心加速度与轨道半径成反比，所以在轨道Ⅰ与轨道Ⅱ上运动的向心加速度之比为 ，C正确。在轨道Ⅰ上运动时，轨道对摩托车的支持力提供向心力， ，对球形金属网的压力 ；在轨道Ⅱ上运动时，轨道对摩托车支持力的水平分力提供向心力， ，对球形金属网的压力 。联立上述各式解得 ，D正确。 3. BC 女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动时受到重力G和拉力T的作用，合力沿水平方向指向圆心，拉力 30°＝2G，由 30°＝ma得向心力加速度为 ，故B、C正确。 4. CD 由于物体到达最低点时的速度为v，则此时物体所需的向心力为 ，向心力由金属壳的支持力和物体本身的重力提供（因摩擦力此时沿水平方向），则可知金属壳对物体施加的弹力大小为 ，所以受到的摩擦力为 ，物体在最低点时除了竖直向上的向心力外，还受到金属壳对物体水平向左的摩擦力，因而物体受到的合力方向应该斜向左上方。 5. A 小球在圆轨道上做的是圆周运动，到达D点的最小速度为 ，设释放点应比D点高出h，由机械能守恒定律 ，解得 ，故A正确。 6. B 在题图甲中小球的向心力一般情况下由小球的重力、圆锥内壁对它的支持力和绳子的拉力的合力提供，但当小球的转速为某一值时，小球的重力和圆锥内壁对它的支持力的合力恰能提供小球的向心力，此时绳子的拉力为零。在图乙中小球的向心力一般情况下也由小球的重力、圆锥内壁对它的支持力和绳子的拉力的合力提供，但当小球的转速为某一值时，小球的重力和圆锥内壁对它的支持力的合力恰能提供小球的向心力，此时绳子的拉力为零；或者是小球的重力和绳子的拉力的合力恰能提供小球的向心力，此时圆锥内壁对小球的支持力为零。故B正确。 7. A 乘客在拐弯过程中与列车一起做匀速圆周运动，受到的合外力提供向心力，由牛顿第二定律得 ，A正确。 8. A 由滚轮不会打滑可知主动轴上的平盘与可随从动轴转动的圆柱形滚轮的接触点的线速度相同，所以 ，由此可得 ，所以 ，即A正确。 9. （1）5.925 由题图可知游标卡尺为20分度，主尺上为5.9cm，游标尺上的第5条刻度线和主尺对齐，所以读数为 ，即可得该圆盘的半径 。 （2）0.389 6.57 由题意知，纸带上每相邻两点的时间间隔T=0.10s，打下计数点D时，纸带运动速度大小为： = =38.9cm/s=0.389m/s 此时圆盘转动的角速度为 。 （3）0.5925 纸带运动的加速度大小为 ，代入数值，得 。 10. 设杆的弹力为FT，由题意可知 ， 对 ，由牛顿第二定律和向心力公式得： ， 对 ，由牛顿第二定律和向心力公式得： ， 所以 。 11. （1）滑块在圆弧轨道受重力、支持力和摩擦力作用，由动能定理 代入数据解得 （2） 代入数据解得 （3）小滑块离开圆弧后做平抛运动 落地时竖直分速度 ，落地时速度大小 ，速度方向与水平方向夹角为45°。 12. 小球A做匀速圆周运动，速度大小保持不变，所以小球B不能做匀加速直线运动。如果小球B做匀减速直线运动，经过一段时间瞬时速度 ，若此时刻小球A位于MN直线上与初始点相距一个直径的位置，满足题意。 经过一段时间t，小球B的速度变化量 ，设B的加速度大小为a，A的周期为T，则 ① （n=0，1，2，3，…） ② ③ 由②③两式得 将t代入①式得 （n=0，1，2，3，…）。 PAGE 第9页 版权所有 不得复制 _1315294333.unknown _1315298237.unknown _1315299306.unknown _1315299584.unknown _1315299735.unknown _1315300176.unknown _1315315128.unknown _1315315175.unknown _1316859751.unknown _1315315189.unknown _1315315156.unknown _1315314972.unknown _1315299817.unknown _1315299922.unknown _1315299965.unknown _1315300042.unknown _1315299944.unknown _1315299904.unknown _1315299751.unknown _1315299673.unknown _1315299707.unknown _1315299721.unknown _1315299693.unknown _1315299615.unknown _1315299658.unknown _1315299599.unknown _1315299518.unknown _1315299555.unknown _1315299570.unknown _1315299537.unknown _1315299420.unknown _1315299517.unknown _1315299379.unknown _1315298625.unknown _1315298994.unknown _1315299175.unknown _1315299195.unknown _1315299278.unknown _1315299017.unknown _1315298699.unknown _1315298954.unknown _1315298698.unknown _1315298404.unknown _1315298509.unknown _1315298521.unknown _1315298475.unknown _1315298307.unknown _1315298392.unknown _1315298258.unknown _1315296769.unknown _1315298025.unknown _1315298096.unknown _1315298172.unknown _1315298195.unknown _1315298146.unknown _1315298040.unknown _1315298057.unknown _1315298026.unknown _1315297158.unknown _1315297217.unknown _1315297788.unknown _1315298024.unknown _1315297205.unknown _1315297137.unknown _1315297147.unknown _1315297125.unknown _1315295785.unknown _1315296537.unknown _1315296583.unknown _1315296598.unknown _1315296554.unknown _1315295815.unknown _1315296529.unknown _1315295800.unknown _1315294561.unknown _1315295754.unknown _1315295773.unknown _1315295743.unknown _1315294455.unknown _1315294472.unknown _1315294448.unknown _1315292675.unknown _1315293421.unknown _1315293743.unknown _1315294138.unknown _1315294186.unknown _1315294205.unknown _1315294164.unknown _1315293764.unknown _1315293785.unknown _1315293749.unknown _1315293612.unknown _1315293682.unknown _1315293717.unknown _1315293676.unknown _1315293450.unknown _1315293465.unknown _1315293438.unknown _1315292910.unknown _1315293032.unknown _1315293070.unknown _1315293403.unknown _1315293058.unknown _1315292983.unknown _1315293014.unknown _1315292949.unknown _1315292836.unknown _1315292856.unknown _1315292904.unknown _1315292844.unknown _1315292768.unknown _1315292780.unknown _1315292699.unknown _1315289582.unknown _1315291516.unknown _1315291661.unknown _1315291744.unknown _1315292666.unknown _1315291694.unknown _1315291635.unknown _1315291649.unknown _1315291548.unknown _1315290299.unknown _1315291196.unknown _1315291395.unknown _1315291150.unknown _1315290119.unknown _1315290271.unknown _1315289967.unknown _1315289457.unknown _1315289526.unknown _1315289549.unknown _1315289561.unknown _1315289541.unknown _1315289491.unknown _1315289517.unknown _1315289478.unknown _1315288910.unknown _1315289358.unknown _1315289411.unknown _1315289326.unknown _1306215495.unknown _1315288632.unknown _1315288659.unknown _1306215600.unknown _1315288575.unknown _1306215577.unknown _1306215479.unknown _1174917935.bin