高中函数的全部总结

变量与函数 [变量和常量] 在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。 [函数] 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数。如果当 时 ，那么 叫做当自变量的值为 时的函数值。 [自变量取值范围的确定方法] 自变量的取值范围必须使解析式有意义。 当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。 2、自变量的取值范围必须使实际问有意义。 [函数的图像] 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． [描点法画函数图形的一般步骤] 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 [函数的表示方法] 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 正比例函数 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportional function），其中k叫做比例系数．也就是说，形如y=kx+b，且b≠0的函数是正比例函数。 [正比例函数图象和性质] 一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1，k）的直线．我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小． 解析式：y=kx（k是常数，k≠0） 必过点：（0，0）、（1，k） 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴 [正比例函数解析式的确定]——待定系数法 设出含有待定系数的函数解析式y=kx（k≠0） 把已知条件（一个点的坐标）代入解析式，得到关于k的一元一次方程 解方程，求出系数k 将k的值代回解析式 一次函数 [一次函数] 一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k 0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数． [一次函数的图象及性质] 一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（- ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k 0) （2）必过点：（0，b）和（- ，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限 直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小. （5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位； 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位. [直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系] （1）两直线平行：k1=k2且b1 b2 （2）两直线相交：k1 k2 （3）两直线重合：k1=k2且b1=b2 [确定一次函数解析式的方法] （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式； （2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果. [一次函数建模] 函数建模的关键是将实际问题化，从而解决最佳、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题. 正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义. 从图象中获取的信息一般是：（1）从函数图象的形状判定函数的类型； （2）从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义. 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数. 反比例函数 知识梳理 知识点l. 反比例函数的概念 重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成或y=kx-1（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k是常数，且k不为零；（2）中分母x的指数为1，如不是反比例函数。 （3）自变量x的取值范围是一切实数.（4）自变量y的取值范围是一切实数。 知识点2. 反比例函数的图象及性质 重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法； （2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来。 （3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。 反比例函数的性质 的变形形式为（常数）所以： （1）其图象的位置是： 当时，x、y同号，图象在第一、三象限； 当时，x、y异号，图象在第二、四象限。 （2）若点(m,n)在反比例函数的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。 （3）当时，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大； 知识点3. 反比例函数解析式的确定。 重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式 （1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。 （2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：（）； ②根据已知条件，列出含k的方程； ③解出待定系数k的值； ④把k值代入函数关系式中。 知识点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点： ①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。 ②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围 二次函数 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 （是常数， ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2． ⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 2. 的性质： 上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 3. 的性质： 左加右减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 4. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成 （或 ） ⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ） 四、二次函数 与 的比较 从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 ． 五、二次函数 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点. 六、二次函数 的性质 1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 ． 2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 ． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）； 2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）； 3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数 中， 作为二次项系数，显然 ． ⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大； ⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大． 总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数 在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 的前提下， 当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧； 当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧． ⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧； 当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧． 总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置． 的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项 ⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置． 总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2. 关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是 ； 关于原点对称后，得到的解析式是 ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 关于顶点对称后，得到的解析式是 ； 关于顶点对称后，得到的解析式是 ． 5. 关于点 对称 关于点 对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）： 一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况. 图象与 轴的交点个数： ① 当 时，图象与 轴交于两点 EMBED Equation.DSMT4 ，其中的 是一元二次方程 的两根．这两点间的距离 . ② 当 时，图象与 轴只有一个交点； ③ 当 时，图象与 轴没有交点. 当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ； 当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 ． 2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ， 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 抛物线与 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 抛物线与 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与 轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 图像参考： 十一、函数的应用 二次函数应用 幂函数 1.函数 （ ）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理数的情况）． 幂函数 （a是有理数）的定义域： (1) 当a为正整数时， (2) 当a为零或负整数时，x∈R，x≠0； （3）当a为正分数 或负分数 （是互质的正整数， ）时，xa的意义分别是 或 ，幂函数的定义域分别是使 或 有意义的实数x的集合． 2.幂的四种运算法则： （ 为正整数， ) 3.幂函数的图象 4．幂函数的性质：y＝xa (a为有理数) (1) 当a＞0时： ①图象都通过（0，0）、（1，1）点； ②在第一象限内是增函数． (2) 当a＜0时： ①图象都过（1，1）点； ②在第一象限内是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近． 作图时先分类、简化，再根据函数的性质、容易定的点、奇偶性、区域单调性、以及移位特点等来定型。 指数函数和对数函数 一.基础知识 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。 当 是奇数时， ，当 是偶数时， 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： EMBED Equation.3 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1） · ； （2） ； （3） ． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 01 0