时域插零的影响

1. 频域插值的实现 -- 序列补零后的FFT DFT末尾补零效果 原来x(n)的DFT为X(k)，在末尾补零rN个后成为y(n)，则 Y(k) = X(k/r)，在中间相当于插值，在频域插值。 然后，末尾补零x(n)的Z变换和DTFT是不会改变的仍为X(z), X(exp(jw)) % padding zero in the end, check effect to Xk clc; clear; f1=2.67; f2=3.75; f3=6.75; fs=20; N = 16; n = 0:N-1; x = sin(2*pi*f1*n/fs) + sin(2*pi*f2*n/fs) + sin(2*pi*f3*n/fs); X = fft(x, N); X = abs(X); k = fs/N * (0:N-1); %fs/N是频域分辨率 stem(k, X(1:N), 'o', 'r'); hold on % padding with rN zeros r = 2; x(N+1:r*N) = 0; X = fft(x, r*N); X = abs(X); k = fs/(r*N) * (0:r*N-1); stem(k, X(1:r*N), '*'); hold on % padding with rN zeros r = 4; x(N+1:r*N) = 0; X = fft(x, r*N); X = abs(X); k = fs/(r*N) * (0:r*N-1); stem(k, X(1:r*N), '>', 'y'); 2 时域零插值 -- 序列插值之后变化 % Interpolation 0, DFT effect clc; clear; f1=2.67; f2=3.75; fs=20; N = 16; n = 0:N-1; x = sin(2*pi*f1*n/fs) + sin(2*pi*f2*n/fs); X = fft(x, N); X = abs(X); k = fs/N * (0:N-1); %fs/N是频域分辨率 subplot(2,1,1); stem(k, X(1:N), 'o', 'r'); % 内插0，两个数之间插入1个0 xi = zeros(1, 2*N); % 看到没？MATLAB中，从大到小容易，从小到大，仍然是先构造大的 for i = 1:2:2*N xi(i) = x((i+1)/2); end X = fft(xi, 2*N); X = abs(X); k = fs/(2*N) * (0:2*N-1); %fs/N是频域分辨率 subplot(2,1,2);stem(k, X(1:2*N), 'o', 'r'); title('内插1个0后频谱'); 对采样信号的频谱,为提高计算效率,通常采用FFT算法进行计算,设数据点数为 　　N = T/dt = T.fs 　　则计算得到的离散频率点为 　　Xs(fi) , fi = i.fs/N , i = 0,1,2,…,N/2 　　这就相当于透过栅栏观赏风景,只能看到频谱的一部分,而其它频率点看不见,因此很可能使一部分有用的频率成分被漏掉,此种现象被称为栅栏效应. 不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。只是当时域采样满足采样定理时，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信号处理失去意义。 减小栅栏效应可用提高采样间隔也就是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力高，被“挡住”或丢失的频率成分就会越少。但会增加采样点数，使计算工作量增加。解决此项矛盾可以采用如下方法：在满足采样定理的前提下，采用频率细化技术(ZOOM），亦可用把时域序列变换成频谱序列的方法。 例如：505Hz正弦波信号的频谱分析来说明栅栏效应所造成的频谱计算误差。 设定采样频率fs=5120Hz，软件中默认的FFT计算点数为512，其离散频率点为 fi = i.fs/N = i.5120/512=10×i ， i= 0，1，2，…，N/2 位于505Hz 位置的真实谱峰被挡住看不见，看见的只是它们在相邻频率500Hz或510Hz处能量泄漏的值。 若设 fs=2560Hz，则频率间隔df=5Hz，重复上述分析步骤，这时在505位置有谱线，我们就能得到它们的精确值。从时域看，这个条件相当于对信号进行整周期采样，实际中常用此方法来提高周期信号的频谱分析精度。 频谱泄露：截断信号时域上相当于是乘以了rectangular window，于是造成了频谱泄漏的问。 在帖子上看到的解释：http://www.chinavib.com/forum/thread-51126-2-1.html 泄漏的原因来自两方面第一输入频率不是fs/n的整数倍，因为dft只能输出在fs/n的频率点上的功率，所以当输入频率不在fs/n的整数倍时，在dft的输出上就没有与输入频率相对应得点(dft输出是离散的)，那么输入频率就会泄漏到所有的输出点上，具体的泄漏分布取决于所采用的窗的连续域复利叶变换，对于没有使用窗的，相当于使用了矩形窗，矩形窗在进行连续傅立叶变换在一般的信号与系统书上都有。而对于非矩形窗，窗本身就会产生一定的泄漏，是通过加大主瓣的宽度来降低旁瓣的幅度，通常主瓣的宽度变成了矩形窗的两倍，例如当我们输入一个fs/n的整数倍的输入频率时，经过非矩形窗，dft输出会在两个fs/n的频点上有功率。 见参考书：lyon的understanding DSP. 旁瓣效应： 补零对频谱的影响： 进行zero padding只是增加了数据的长度，而不是原信号的长度。就好比本来信号是一个周期的余弦信号，如果又给它补了9个周期长度的0，那么信号并不是10个周期的余弦信号，而是一个周期的余弦加一串0，补的0并没有带来新的信息。其实zero padding等价于频域的sinc函数内插，而这个sinc函数的形状（主瓣宽度）是由补0前的信号长度决定的，补0的作用只是细化了这个sinc函数，并没有改变其主瓣宽度。而频率分辨率的含义是两个频率不同的信号在频率上可分，也就要求它们不能落到一个sinc函数的主瓣上。所以，如果待分析的两个信号频率接近，而时域长度又较短，那么在频域上它们就落在一个sinc主瓣内了，补再多的0也是无济于事的。 泄露是由于非整周期采样引起的，因为FFT最精确的是将周期信号映射到一个正交函数空间上（傅立叶变换常用三角函数空间），对周期性信号，只要是整周期采样（采样周期是信号周期的整数倍数描述不对，应该说采样时间长是信号周期的整数倍），是没有谱泄露的，对于非周期信号，无法达到整周期采样，所以总会有泄露，选择合适的窗函数可以控制泄露的严重程度。 混叠是采样频率与信号最高频率的关系引起的，满足采样定理，即采样频率〉=2倍信号最高频率，即可避免混叠，实际信号都受噪声干扰，白噪声是宽带的，所以采样频率即便很高，都不可避免地存在混叠，只是混叠程度小些，满足应用。再者，采样频率不是越高越好，我另外的帖子谈过，采样点数有限的情况下，采样频率与频率分辨率是相互矛盾的。