行走激励下大跨度楼板振动的最大加速度响应谱方法

!" #$%&’() $* +%,)-,’. /0&%10%&23 建 筑 结 构 学 报第 4! 卷第 4 期 5$)6 4!7 8$6 4 499: 年 :月 ;<&,)7 499: 文章编号：=999 > ?@?A B499: C94 > 99!" > 9" 行走激励下大跨度楼板振动的最大加速度响应谱方法 宋志刚，金伟良 （浙江大学 结构工程研究所7浙江杭州 D=994"） 摘要：人的走动引起的楼板振动是大跨度楼板正常使用极限状态设计中需要考虑的重要问题，现行规范给出的静力挠度 控制并不能充分体现大跨度楼板正常使用的内在要求。本文根据实测有代表性的落步曲线，采用 EFFG8HIJJK方法构造 激励函数，进行了大量的时程分析计算，得到了不同阻尼、跨度和边界条件下梁板结构振动的最大加速度响应谱，分析了 该响应谱对计算所采用的振型阶数、跨度、阻尼、边界条件等因素的敏感性，从而得到了加速度响应谱的包络曲线，给出了 人走动引起梁振动的简化计算方法，本文提出的方法避免了时程分析在荷载处理上的麻烦，计算得到的结果与时程分析 的结果有较好的一致性。 关键词：楼板振动；正常使用极限状态；行走；响应谱方法 中图分类号：LMD==6 D 文献标识码：; N2(O (112)2&(0,$’ &23<$’32 3<210&%P $* )$’. 3<(’ *)$$& Q,R&(0,$’ RS <2-230&,(’ 2T1,0(0,$’ /J8H UV,.(’.7 #G8 I2,),(’. B G’30,0%02 $* /0&%10%&() E’.,’22&,’.7 UV2W,(’. M’,Q2&3,0S7 X(’.YV$% D=994"7 ZV,’( C !"#$%&’$：[)$$& Q,R&(0,$’ -%2 0$ V%P(’ (10,Q,0,23 ,3 (’ ,P<$&0(’0 <&$R)2P ,’ 32&Q,12(R,),0S -23,.’ $* 0V2 ),.V0 (’- *)2T,R)2 30&%10%&236 /0(0,1 -2*)210,$’ ),P,03 30,<%)(02- ,’ 1%&&2’0 -23,.’ 1$-23 1(’ ’$0 3%**,1,2’0)S P220 0V2 ’22-3 $* 0V2 *)$$& 32&Q\ ,12(R,),0S6 LV&$%.V 0V2 P20V$- <&$<$32- RS EFFG8HIJJK7 0V2 )$(-3 (10,’. $’ *)$$& ]2&2 *$&P2- %3,’. 0S<,1() *$$0*()) 0&(1236 LV2’7 (*02& ( )(&.2 (P$%’0 $* -S’(P,1 3,P%)(0,$’3 $’ R2(P3 $* -,**2&2’0 P$-237 3<(’37 -(P<,’. (’- R$%’-(&S 1$’-,0,$’37 0V2 -S’(P,1 &23<$’32 3<210&%P $* *)$$& 0$ &2(),30,1 <2-230&,(’ 2T1,0(0,$’ ](3 (1V,2Q2- (’- R(32- $’ ]V,1V ( &23<$’32 3<210&%P P20V$- ](3 <&232’02-6 L$ W%30,*S 0V2 Q(),-,0S $* 0V2 P20V$-7 32’3,0,Q,0S (’()S3,3 ](3 1(&&,2- $%0 0$ 1)(&,*S 0V2 2**2103 $* 3%1V *(10$&3 (3 P$-2 32)210,$’7 3<(’7 -(P<,’. (’- R$%’-(&S 1$’-,0,$’36 LV&$%.V 2’Q2)$<2 1%&Q23 <&232’02- ,’ 0V,3 <(<2&7 $’2 1(’ 2(3,)S 1()1%)(02 0V2 P(T,P%P (112)2&(0,$’ $* 0V2 *)$$& Q,R&(0,$’ %’-2& 0V2 <2-230&,(’ )$(-36 LV2 (-Q(’0(.2 $* 0V2 P20V$- ,3 0V(0 ,0 1(’ .,Q2 (’ (<<&$T,P(02 &23%)0 ]V,)2 (Q$,-,’. 0V2 0&$%R)2 ,’ -2*,’,’. )$(-3 ,’ 0,P2 V,30$&S (’()S3,36 ()*+,%-#. *)$$& Q,R&(0,$’^ 32&Q,12(R,),0S^ <2-230&,(’^ &23<$’32 3<210&%P P20V$- 基金项目：国家自然科学基金资助项目 B !94"@9@! C。 作者简介：宋志刚 B =A": > C，男，云南楚雄人，工学博士。 收稿日期：4994 年 =4 月 = 引言 楼板在正常使用状态下不能有过大的变形，是楼 板正常使用极限状态设计的基本要求，各国规范对于 楼板的正常使用极限状态，一般是采用两种途径来保 证：B = C 规定楼板在荷载值下的挠度 !与楼板跨 度 !的比值；B 4 C规定受弯构件截面的最小高跨比 _ = ‘。 大量的工程实践表明，这些规定对于常见的建筑材料 和施工工艺，常见开间大小 B a?PC 的楼板结构来说， 是可以满足正常使用要求的，但是，由于建筑设计、施 工技术的变革，计算方法的进步，轻质高强材料的使用 使得结构体系变得更轻、更柔、阻尼更小，大跨度楼板 因人的日常活动引起的振动问题就逐步表现出来。文 献 _ 4 ‘ 的研究结果表明，当楼板振动的基频 "=小于 4: ! > = b 4时，就应该考虑因人走、跑、跳等活动导致的楼 板振动问题。由于该问题是一个人机工程学和结构工 程学的交叉课题，大部分从事结构设计和力学分析的研 !" 究人员对此比较陌生，这已经在一些工程事故中暴露出 来 #$ %!&，因此，人的活动引起的楼板振动问题逐步得到了 国外研究人员的关注，绝大多数研究集中在人走动引 起的楼板振动计算及振动引起的舒适度问题上 #$’ !’ ( &。 )**+ 年英国混凝土协会发布了大跨度楼板设计指南 ,-./+0#1 &，该标准专门给出了人行走作用下楼板振动 响应的分析计算方法。应该指出的是，,-./+0给出的 计算方法存在如下问题： 2 ) 3 激振力时程曲线采用了 著名的 4$行走曲线 # +’ 1 &，4$行走曲线对应的行走步 频为 )5 !167，低于人走动的自然步频，$倍步频处振 动分量高达 )倍步频分量的 1!8，这与大量行走实验 得到的结论并不一致，因此 4$行走曲线是不具有代 表性的；2 $ 3 楼板的边界条件均考虑为简支边界条件， 这种处理过于简化，从而导致了楼板自振频率计算值 普遍偏小； 2 0 3 采用了稳态响应分析方法，人在楼板 上的走动总是在一段不长的时间内完成的，因此这种 分析方法与实际走动过程并不相符。 由于上述原 因，工程实践表明 ,-./+0往往给出过于保守的设计 结果 # 1 &。,69:#" &和 ;<=>,#1 &的研究则表明，采用有限 元时程分析可以得到非常理想的计算结果，但是由于 荷载处理的复杂性，实际应用中非常麻烦。 本文从三个角度考虑上述问题：2 ) 3 根据 4<.-?4@.@#0 & 的研究结果，选择一系列更有代表性 的荷载曲线进行计算，从而解决了荷载选择缺乏代表 性的问题； 2 $ 3 计算中考虑到结构不同边界条件的影 响；2 0 3振动响应计算采用瞬态响应计算方法。本文采 用了 9AA>:BC@@D#$ & 和 @6A--@:#+ & 建议的方法构造 激励时程曲线，在振型分解方法的基础上结合振动理 论提出了最大加速度响应谱分析方法，即先使用一系 列有代表性的落足曲线，考虑到不同跨度和边界条件 以后构造出一系列标准激励曲线（定义见下文），然后 通过大量的时程分析计算，对标准激励曲线作用下不同 阻尼的标准激振系统（定义见下文）进行了近 $E万次瞬 态响应时程分析，得到每次时程分析的最大加速度响应， 从而进一步得到最大加速度响应谱，在分析了最大加速 度响应谱对各种影响参数的敏感性以后，得到该响应谱 的包络线并拟合出包络线方程，用包络线方程可以很方 便地计算出梁在人走动作用下最大加速度响应的近似 值，从而避免了时程分析中荷载处理的复杂性。 $ 最大加速度响应谱分析方法 2 !" F #G " 3 F $ # H* ! # % I 2 & I ) 3! ’ & ( # ) I 2 & I )3 )G & 2 ) 3 对于矩形薄板，人在沿板长度（或宽度）方向走动 引起的振动的微分方程可以表达为 * #+$+$+ 2 %, - 3 F "+$+$ & F #. H* ! # % I 2 & I ) 3! ’ & ! 2 - / -E 3 ( # ) I 2 & I ) 3 )G & 2 $ 3 上两式中，!"是梁的弯曲刚度；$是单位长度梁的质 量；+ 2 % 3是梁的挠曲函数；#G，#分别为应变速度阻抗 和横向速度阻抗 # * &。*为板的弯曲刚度；+ 2 %, - 3为板 的挠曲面函数；#为材料密度；.为板厚度；"为粘滞 阻尼系数 # )E &。)为时间，0是人从结构一端开始走动的 步数，! ’是步幅，计算中可以取 1!JK。 ! 2· 3函数定 义为 E %,E ) % H E ( # ) I 2 & I ) 3 )G &是第 &步的作用力，由下式确定 ( 2 $ 3 E$ $ 1 ) I 2 & I ) 3 )G$ )L E 其他 其中， )L为人足部和地面接触的时间； )G为步频的倒 数，对于走动，)L M )G；( 2 $ 3称为单步落足曲线 2 NOOPQRSS PTRJL 3，根据实验，一般以单足作用在地面上的竖向作 用力和落足时间的形式给出，除以人在静止时候的体 重 2GPR后得到名义单步落足曲线。 落足曲线有两个峰值，见图 )所示。图中坐标原点 3 表示足跟开始接触地面；在曲线高度达到 )5 $ % )5 $!倍人静止状态下体重时，达到其第一个峰值 4； 然后曲线下降至 5点，5点的力一般要小于人静止时 的体重；接着人的脚掌蹬地，使得曲线再次升高至点 6， 6点作用力的大小约为人静止时体重的 )5 )!倍； 过 6点以后，曲线迅速下降直至 *点——— 人的足尖完 全脱离于地面。 根据单步落足曲线、人行走时的步频和步幅， 9AA>:BC@@D 和 @6A--@: 在假定人左右足产生的 单步落足曲线相同的条件下，构造了行走过程激振力 时程曲线。根据图 )构造的行走时程曲线见图 $，图 $ -0 + 2 % 3 - %$- ) -$ + 2 % 3 - )$ -+ 2 % 3 - ) -$ + 2 % 3 - %$ 2 3 - $ + 2 %, - 3 - )$ 0 & H ) 0 & H ) F- $ - %$ -+ 2 %, - 3 - ) ( # ) I 2 & I ) )G & H U U ! 2 % 3 H 20 3 2 + 3 !" # 基本方程 人行走作用下梁的振动微分方程可以表达为 !" # ! $ . " % & . " % # $ ’ # %&( !& $ $& & %& ) ’ * %&( & # $ ’ # & & & & & & 图 # 典型单步落足曲线 +,-$ # ./0,123 45564233 6(217 图 8 行走时程曲线 +,-$ 8 .,97 :,;65(/ 1<(=7 54 07>7;6(,2? 表明连续两段单步落足曲线在时间上有一定的重叠， 但是，需要注意的是，不同落步作用力的作用点在结构 的不同位置。 !" ! 最大加速度响应谱方法 对式 ) # *进行振型分解，得到广义坐标下的梁振动 微分方程的表达式 (& ) ’ * @ 8 !&"&(& ) ’ * @ "8 (& ) ’ * ’ %& ) ’ * ) ! * 式 ) ! * 中 (&（ ’），!&和 "&分别为第 &振型下的广义位 移、阻尼比和振动频率，等式左端项的推导过程见文献 A " B，!&为第 &振型广义质量 !& ’ #8 ) ) * *> ) ) C * "为梁的长度， #& ) ) * 为结构振动的第 &个振型，且 92D) #& ) ) * * ’ #。 %& ) ’ *为第 &振型广义力 %& ) ’ * ’ #& ) ) ** $ A ) E ) $ E #*! " B + A ’ E ) $ E # * ’; B > ) ’* #& A ) $ E # *! " B + A ’ E ) $ E # * ’; B ) F * 令 %&(为 %& ) ’ * 的最大绝对值，即 %&( ’ 92D ) G %& ) ’ * G *， 式 ) ! *可以表示为 (& ) ’ * @ 8 !&"&(& ) ’ * @ "8 (& ) ’ * ’ %& ) ’ * ’ ,&(74 %& ) ’ * ) H * 其中 %& ) ’ * ’ )" * 本文定义 %& ) ’ *为第 & 振型的标准激励曲线， ,&(74 ’ %&( I !&定义为第 &振型参考加速度。 下面的微分方程定义的振动系统为标准激振系统 -& ) ’ * @ 8 !&"-& ) ’ * @ "8 -& ) ’ * ’ %& ) ’ * ) #% * 令 .&92D ) " * 为标准激振系统加速度响应的最大绝对 值，即 .&92D ) " * ’ 92D ) / -& ) "0 ’ * G * ) ## * 由式 ) #% *和 ) ## *确定的 .92D ) " *是一条随 "变化 的曲线，称为第 &振型最大加速度响应谱曲线。比较式 ) H *和式 ) #% *，显然，在 " 1 "&时，有 92D) / (& ) ’ * G * ’ ,&(74 .&92D ) "& * ) #8 * 因此，如果 %& ) ’ * 是跨度为 "的梁的第 &振型广义力， 由式 ) " *、式 ) #% *和式 ) ## *得到的 .&92D ) " *曲线可以计 算出跨度为 "的所有梁的第 &振型加速度响应最大绝 对值 92D) G (& ) ’ * G *。 对于图 J所示的方板，根据板壳振动理论 A #% B可以 知道，其第 &振型总可以写成下面形式或其级数和的 形式 #& ) )0 2 * ’ 3& ) ) * 4& ) 2 * ) #J * 其中 3& ) ) *、4& ) 2 *分别为 A %K , B、A %K 5 B区间 )、2方向 的振型，这两个方向上的振型在其定义范围内有最大 值 #。 对于板，考虑由下面两式定义的不利走动方式 2 1 2% 对于 )方向 ) #L * ) 1 )% 对于 2方向 ) #! * 其中，)%，2%分别满足 3& ) )% * ’ #和 4& ) 2% * ’ #，对于实 际工程中的楼板，这两种走动方式是最为常见的，也是 一种较为不利的情况。以四边简支板为例，按式 ) #L *、 ) #! *得到的两个方向的走动方式见图 J。 考虑在 )方向走动方式下薄板强迫振动方程，见 式 ) 8 *，对式 ) 8 *进行振型分解可得到下列形式 (& ) ’ * @ 8 "& !&(& ) ’ * @ "8 (& $ ) ’ *& & !" # ! . " . " # "$ $ # ! 图 $ 简支板上的走动方式 %&’( $ )*+*,-.&/0 10 / ,&2345 ,6331.-*+ ,4/7 % & 8 # % & 8 # 9 ’$. !$ "( "": :( "" ;( #" "( """# "( """$ #( <; $( <; ;( ;" "( """$ "( "= $( <; "( "= 表 ! "#跨度梁计算结果 $%&’( ! )%’*+’%,-./ 0(1+’,1 .2 % "# 13%/ &(%# 振型阶数 # : $ 加速度最大值 "&2/> ? 2·, @ : 各振型加速度最大值出现时间 (& ? , (# 时刻各阶振动加速度 "& A (# B ? 2·, @ : 注：(# 时刻为第 # 阶振型加速度达到最大值的时刻。 8 * ! C ) @ A & @ # B! * D ! A + , +" B - . C ( @ A & @ #B (, D "$ A )/ + B + )+ + 8 * . C ( @ A & @ # B (, D 0 C A & @ #B! * D A #! B 比较式 A #! B、式 A ; B、式 A < B，显然，式 A #! B的右端项也可 以记为 A # ? !$ B ’$ A ( B，即在定义的走动方式下，可以得 到与梁完全一样的标准激振体系，因此，梁的分析完全 也适用于板的分析。 按照式 A = B、式 A < B和式 A E B得到一条 ’$ A ( B以后， 结合式 A #" B 和式 A ## B，给定一个 #，对标准激振体系 进行一次瞬态响应时程分析可以得到 1$2/> A # B 曲线上 的一个点 1$2/> A # B，连续变化 # 值，可以得到一条 1$2/> A # B曲线。考虑到不同边界条件、不同跨度、不同 的单步落足曲线等计算参数以后，可以得到一组 ’$A (B曲 线，把这些 ’$ A ( B 曲线放到标准激振体系中进行时程 分析，从而计算得到一组 1$2/> A # B 曲线。 作出这些 1$2/> A # B 曲线的外包络线 1$2/> A # B， 根据外包络线 1$2/> A # B确定结构加速度响应的最大绝对值 2/>A F 2$ A ( B F B) "$.*G 1$2/> A # B 8 1$2/> A #$ B A #< B 如果 1$2/> A # B 对上述计算参数比较敏感，那么式 A #< B将给出偏于保守的计算结果，因此，对 1$2/> A # B的 参数敏感性进行分析是非常必要的。 $ 1$2/> A # B的参数敏感性分析 45 ! 高阶振型响应 HIIJKLMNNO认为结构的响应主要是第 #阶振型 起控制作用，而高阶振型响应会因阻尼效应很快衰减。本 文对跨度为 ! P #!2梁的前 $阶振型响应进行了大量分 析计算，计算结果表明确实可以忽略高阶振型响应的 影响。以一 !2跨度梁的计算结果为例，见表 #。 从表 #可以看出，对于加速度响应时程的形状来 说，高阶振型会有少量的影响，对于最大加速度响应，# 阶振型响应起控制作用，其余振型响应均比第 #振型 响应低一到两个数量级，不同振型的最大动力响应并 不发生在同一时刻，因此，根据 #阶振型计算出的最大 加速度响应基本上就等于梁的最大加速度响应，在以 后的分析中，可以仅仅考虑第 #振型响应。 45 6 不同跨度和不同边界条件 由式 A < B、式 A E B可以看出，第 #振型标准激励曲线 ’# A ( B 受三个参数控制： A " B 走动的步数 %，如果人 是从梁的一端走向另一端的话， %取决于梁的跨度 *；A # B 振型曲线 "# A ) B，"# A ) B 取决于结构的边界条 件 C EQ #" D；A 3 B 单步落足曲线 . A $ B，这与计算所选择的单 步落足曲线有关。而对于式 A #" B确定的标准激振系统 而言，一旦给定了阻尼比 %，1#2/> A # B仅仅取决于标准 激励荷载 ’# A ( B。 本文考虑的跨度范围为 ! P #!2，考虑了简支 A RSR B，一端简支一端固支 A %SR B和两端固支 A %S%B几种 边界下的梁的振型 "# A ) B。以 TJRUN)给出的步频为 #( EUV单步落足曲线为例，按照上述条件得到了一系 列第 # 振型标准激励曲线 ’# A ( B，在阻尼比 % 8 "W "; 和 % 8 "W "# 的情况下，计算得到了最大加速度响应 谱，这些响应谱的峰值见表 :，括号中的数据对应了 % 8 "W "#的情况。 在表 :中，基频 #"是指走动的步频，为 #( EUV，计 算分析结果表明，最大加速度响应谱峰值出现在 4倍 基频 4#"位置 A 4 8 #Q :Q $( ( ( B。从表 :的数据也可以 看出，随着跨度的增加，各倍频峰值响应峰值也有所增 加；相同跨度、不同的边界条件下，峰值响应也有所不 同，但是变化不大，这是由于不同的边界条件导致了振 !" 表 ! 不同跨度和边界条件下的峰值 !"#$% & !’ ( ") *+,） -$./0 ! -10 20$3 4$/506 78 !"#$% 59:0; :<880;09= 62$9 /09>=16 $9: :<880;09= .759:$;? @79:<=<796 & !’ ( "A *+,B 边界条件 ! # $ ""$%& ’ !( ) ""$%& ’ * !( ) ""$%& ’ + !( ) ! , "( "* "- "! ! , "( "* "- "! ! , "( "* "- "! ". /,0 ’+. 1!" ) ". 011 ’-. *-* ) *. (/- ’-. 0!+ ) *. "01 ’1. ,+! ) *. *"0 ’!. "(- ) *. *11 ’!. 1/, ) ". !!/ ’+. ""( ) ". ,(* ’+. !0+ ) ". 0!+ ’-. *,1 ) *. *(, ’1. (0( ) *. "*1 ’1. +-0 ) *. "/! ’1. /," ) ". /*0 ’+. +-" ) ". ,// ’+. 0-1 ) *. "(/ ’-. !(( ) *. "-( ’1. -/, ) *. ",( ’1. /*! ) *. **- ’!. "0* ) (. -!* ’". */0 ) (. -/" ’". +(( ) (. -/! ’". +0! ) (. -/0 ’". 1"" ) (. -,* ’". 1-( ) (. -,! ’". 1,( ) (. -11 ’". "1! ) (. -1, ’". *(( ) (. -!+ ’". *,1 ) (. -/( ’". -(! ) (. -/+ ’". -1( ) (. -/1 ’". -01 ) (. -1/ ’". *,- ) (. -!! ’". +"+ ) (. -/+ ’". +-! ) (. -/1 ’". -!0 ) (. -/, ’". -0/ ) (. 1-+ ’". 1-" ) (. -(, ’(. 0"1 ) (. -"0 ’". ("" ) (. -*- ’". (01 ) (. -*! ’". "// ) (. -*, ’". "00 ) (. -*, ’". *+* ) (. -(( ’(. ,1" ) (. -"+ ’(. 0-* ) (. -*( ’". (*" ) (. -** ’". "(" ) (. -*1 ’". "++ ) (. -*! ’". "!/ ) (. -"+ ’". "!/ ) (. -"! ’(. 0/! ) (. -*( ’". (1, ) (. -*! ’". "-1 ) (. -*! ’". "!/ ) (. -*! ’". *(- ) 232 434 432 图 - ,$跨标准激振系统最大加速度响应谱 456. - 7%&5$8$ %99:;:<%=5>? <:@A>?@: @A:9=<8$ >B =C: ,$ @A%? @=%?D% 9?7 !( <=3; <93;@3%@/A7@ B73( # 系统的最大加速度响应谱（ ! * +1 +’）见图 ’。图 ’中给 出了步频为 $1 !CA、$1 DCA、"1 "CA典型落步曲线作用 下的最大加速度响应谱，根据 2EFGH2IFIJK L 的研究 结果，这三个频率覆盖了人行走时可能出现的绝大部 分频率范围。图 ’中三条曲线有几个共同特征：（$）最 大峰值出现在基频即步频位置；（"）随频率的增大峰值 会逐步降低，" 倍频的峰值一般不超过基频峰值的 ’+M；（K）K倍频峰值一般比 "倍频峰值小，也有个别 情况高于 "倍频峰值，但是不超过基频峰值。上述特 征，与 NOGCIPJ! L 对 ’++个实测行走过程进行 .:5%/7% 变换得到的结论是相当吻合的。 Q 最大加速度响应谱的包络线 在敏感性分析的基础上可以给出两组分别对应于 ! * +, +’和 ! * +, +$的最大加速度基准响应谱。考虑 到跨度修正系数的定义，这两组基准响应谱可以取为 跨度为 !(、边界条件为两端简支、使用了不同的单步 落足曲线得到的 !$ ) # - 所确定的 $$(34 ) " - 曲线组，为 分析方便，频率以 CA为单位，这两组 $$(34 ) " - 及其包 络线见图 !。 图 !给出的包络线很难用一个比较简单的数学表 达式表征，因此本文在包络线的基础上进一步进行曲 线拟合，得到包络线的近似曲线，该曲线由三段组成， 其数学表达式如下。 ) 3 - ! * +, +’ +1 !D! " R +1 Q’ + S"$ %T $$ ) " - * #J$1 +"D )$ U #" - " R +1 K+D #" L U $ V " %T S"$Q #J+1 QW+’ )$ U #" - " R "1 $KD #" L U $ V " "X Q )"+ & - ) B - ! * +, +$ $1 ’Q! " R +1 ’ + S"$ %T $" ) " - * # J +1 $Q! )$ U #" - " R +1 +Y" #" L U $ V " %T S"$Q #J +1 $+W )$ U #" - " R +1 $WY #" L U $ V " "X Q )"+ ’ - 方程 ) "+ & -和（"+ ’）中，"是梁振动频率（CA），%T 是对应谱峰的参考频率，%T * $1 DQCA，#是频率比，# * " ( %T。考虑到式 ) $W -、式 ) $Y -和式 ) $D -，对于跨度为 ) 的梁或板，只要知道其基频 "$，就可以求得其加速度 响应最大值为 (34 ) Z *$ ) # - Z -) +6$ &$%7> $$ ) "$ - * +6$ $$ ) "$ - ! * +, +’ )"$ - (34 ) Z *$ ) # - Z -) +6" &$%7> $" ) "$ - * +6" $" ) "$ - ! * +, +$ )"" - 因为 (34J $ ) , - L * $，所以，振动加速度最大绝对值 图 ! 响应谱的包络线 ./01 ! F?7 7;[78:=7< :> 9?7 %7<=:;<7 <=769%3 !" #下转第 $%页 & ’ ’ !()*为 !()* + ()* # !, # " & &()* # - #, # $ & - & + ()* # - #, # $ & - & # ." & 由式 # ! &、式 # / &和式 # $ &知，对于等截面梁或板， %, 仅仅取决于质量集度 & 和振型函数 !, # " &（ 或 !, # "0 ’ &），(,1取决于振型函数 !, # " & 和单步落足曲 线 ) # " &的形态。&和 ) # " &一般是已知参数，而 !, # " & 仅仅和边界条件有关。对于工程中常见的梁板结构， 可以专门给出 %, 和 (,1 的计算表格，因此，利用式 # ., &、式 # .. &和式 # ." &计算梁板结构的最大加速度响 应可以仅仅考虑结构自振频率 #, 的计算，从而避免 了复杂的时程分析过程。例如，本文结合一系列单步 落足曲线和工程中常见的等跨梁板结构，得到如下计 算参数 (,1 + ,2 ! (34) # .5 & 对于梁，%, + *$( &+，+为梁跨度，$(的取值见表 "。 对于板，%, + *$( &,，,为板面积，$(的取值见表 5。 上述计算数据中， (34) 是人静止状态下的体重 #6 &，和人种有关，对于中国人，可以取 !%!6 #/789 &，* 为梁或板的数量，符号“:”、“;”和“;1”分别表示简支、 固支和自由边界条件，! - .表示板边长比，符号“<”表 示位置相对，“ =”表示位置相邻，有关表 "和表 5的计 算可以参考文献 > $ ?、> ,7 ?。 @ 结论 最大加速度响应谱分析方法避免了复杂的时程响 应计算，只要对梁板结构进行简单的动力特性分析，得 到梁板结构的自振频率和广义质量，利用最大加速度 响应谱就可以求得楼板最大加速度响应的近似值。最 大加速度响应谱是直接建立在大量瞬态响应时程分析 统计基础上的，因此，该近似值能反映出时程分析的结 果。由于得到的包络线是一系列有代表性落足曲线计 算结果的综合，因此，该方法避免了荷载选择不具有代 表性的问题。边界条件对最大加速度响应谱没有明显 影响，边界条件的影响主要体现在结构自振频率的计 算上，而对于考虑到不同边界条件下，工程中常见梁板 结构自振频率的精确计算，可以参考文献 > $ ?、> ,7 ?，也 可以用有限元方法进行计算。 在行走引起的加速度响应分析计算中可以仅考虑 结构的第一振型响应；计算中应该考虑到跨度的影响， 本文引入了跨度修正系数 *A,和 *A.，使用跨度修正系 数，可以根据 !(跨标准激振系统的最大加速度响应 谱换算得到 ! B ,!(跨度的其它标准激振系统的最大 加速度响应谱。 包络线在下降段的转折频率是 5CD，在楼板基频 小于 5CD时，基频对楼板的振动响应起控制作用， 这个频率范围，也是人日常活动作用力的主要频率范 围 > . ?。在楼板基频大于 5CD时，基频不起控制作用，由 于 (,1是给定大小的作用力，仅与人的体重有关，由式 # ., &、式 # .. &可以看出，楼板的振动响应主要受质量控 制。这个结论与 EFFGH9IJJK所建议的楼板的基频不宜 低于 5CD的结论是一致的。 参 考 文 献 > , ? L6:M L@%2 ,N,$%. OGHG(P( KQ3G9H FJ)K3 RJ1 SPGFKGH93 )HK J4TQ1 341PA4P1Q3 > : ? 2 L(Q1GA)H 6)4GJH)F :4)HK)1K3 MH34G4P4Q2 >. ? EUUM6VWXXY Z0 [LUUM6 L2 :41PA4P1)F 3Q1\GAQ)SGFG4]< ;FJJ1 \GS1)4GJH3 > ^ ? 2 ^JP1H)F JR :41PA4P1)F EH9GHQQ1GH90 ,$%50 ,,7 #. & < 57, = 5,%2 >" ? OL[:_OX[X ‘0 6M:CMXaL [0 :CMX^MbM C2 Y]H)(GA KQ3G9H JR RJJ4S1GK9Q3 >L ? 2 MH4Q1H)4GJH)F L33JAG)4GJH RJ1 Z1GK9Q )HK :41PA4P1)F EH9GHQQ1GH9 # MLZ:E & >c ? 2 6)9J])0 ,$/%< ,/ = .%2 >5 ? XCU::X6 : d2 :e1GH9GHQ33 )HK TP()HNGHKPAQK RFJJ1 \GS1)4GJH< L KQ3G9H 9PGKQ >b ? 2 :4JA8TJF(< :4JA8TJF( cJPHAGF RJ1 ZPGFKGH9 bQ3Q)1AT0 ,$%%2 表 ! 梁的 !" 取值 #$%&’ ! #(’ )$&*’+ ,- !" -,. %’$"+ :< : ;< ; ;< : $( 72 @ 72 "$!@ 72 5"$, 72 .@7 72 ,!@ 72 .77 72 ."7 72 7%5 72 ,57 72 .7$ 72 .@7 72 ,!@ 72 .77 72 ."7 72 ,5$ 72 ,", 72 .$5 72 .@7 72 ,!@ 72 .77 72 ."7 72 ,5" 72 ,,! 72 "5/ 72 .@7 72 ,!@ 72 .77 72 ."7 72 ,"! 72 7%" 72 "$% 72 .@7 72 ,!@ 72 .77 72 ."7 72 ,"7 72 75@ 72 55$ 表 / 板的 !" 取值 #$%&’ / #(’ )$&*’+ ,- !" -,. +&$%+ ! - . 72 5 . f " ,2 7 ,2 @ .2 @ :< :N:< : ;< ;N;< ; :< :N;< ; :< :N:< ; :< :N;< ;1 :< :N:< ;1 :< :N;1< ;1 !" 表 ! 径向残损指数 !值计算结果 "#$%& ! ’#%(&) *+ ,#-.#% -#/#0& .1-&2 ! 设定损 !# !$ !% .& " " # 坏情况 ’ ’ () ()·’ "*+ ",+ "-+ ".+ "/+ "0+ ""+ "12+ #*+ #,+ #-+ #.+ #/+ #0+ #"+ #12+ 23 1"1 23 .-* 23 .-* 23 1"* 23 .-/ 23 .-/ 23 1,/ 23 1,/ 23 *,- 23 *2* 23 *2* 23 .,2 11203 2 !."3 . 23 *0 23 0! 23 ,! 23 .! 23 10 23 *2 23 /1 23 ,2 23 ,! 23 1* 23 1. 23 -/ 23 *, 23 *! 23 2! 23 1* 23 ,0 23 1" 23 *- 23 20 23 12 23 ,2 23 1. 23 *2 23 2/ 23 20 23 */ 23 1, 23 10 23 2. 23 2" 23 *, 23 11 23 1. 23 2- 23 2. 23 *2 23 2! 23 1, 23 2* *3 1* 13 /. *3 2" 13 1/ 13 ./ 13 "1 13 ,, 13 /! 23 "! 13 -, 13 .. 13 2" 13 ,! 23 0/ 13 ,* 13 ,! 23 !1 13 1" 23 /! 13 *- 13 *, 23 0" 13 2/ 23 /- 13 *2 13 *2 23 01 23 !" 23 /2 13 1/ 13 1" 23 // 23 "! 23 .0 13 1* 13 21 23 /* 23 ", 23 .. 13 2! 中等 严重 中等 严重 * 层 , 层 注：",+、#,+ 中，,+指 , 次滞回循环。 12/.3 ! 12/.3 ! *.123 , /!!3 , /!!3 , *2103 - 成为维修加固考虑的基本因素之一。 / 结论 （1）利用双参数地震损坏准则来

评价

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比较复杂的 古建筑木结构的地震反应，对位移反应和耗能作用的 影响有比较明显的了解，特别是节点的残损对耗能作 用的影响，这对修缮工程措施的有效性是很重要的。 （*）震害等级的划分和层位移角参数的对比，对地 震损坏的数值化是比较合理和方便有效的。 （,）能量等效推算非线性位移在中等刚度的古建 筑木结构中简化计算是非常方便的，但在实体结构上 应用，必须有合理的模型实验结果作依据，因为古建筑 木结构中的结构特性和材料的离散难以

总结

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出一组覆 盖面大的骨架曲线。 （-）利用实体测试和传递函数的方法，求得在设定 地震波作用下的线性地震反应，对不确定因素众多的 古建筑木结构的计算来说，避免了建模及选择参数方 面的困难，而且较符合实际，是可以发展的一个方向。 （.）通过对地震引起的残损指数的计算，可以表示 烈度 0度和 "度地震影响下应县木塔的震害趋势。并 发现在地震作用下，由于下部几层的构件损坏和倾斜， 其变形能力和耗能能力均大大降低。为了保证木塔的 安全，提高抗震可靠性，有必要更加深入地探讨在修缮 加固时应着重解决的这一问题。 参 考 文 献 4 1 5 陈明达 3 应县木塔 46 5 3 北京7文物出版社，1!//3 4* 5 89:); <= >?@( A +BCDE$9 F G +HI3 6JKL?H=MN=K MJ=M’=K &?’?IJ ’O&JM PO@ @J=HPO@KJ& QOHK@JNJ 4 < 5 R 报告

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