2019年最新吉林省长春市中考数学模拟试卷(8)及答案解析

吉林省长春市中考数学模拟试卷（8）一、选择（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．比﹣3大2的数是（　　）A．﹣5B．﹣1C．1D．52．下列计算正确的是（　　）A．a+2a=3a2B．a•a2=a3C．（2a）2=2a2D．（﹣a2）3=a63．如图，由五个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（　　）A．B．C．D．4．一次数学考试后，小明想知道成绩是否能排在前一半，那么他应该知道本次成绩的统计量是（　　）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）A．（5，2）B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）6．小华拿24元钱购买火腿肠和方便面，已知一盒方便面3元，一根火腿肠2元，他买了4盒方便面，x根火腿肠，则关于x的不等式表示正确的是（　　）A．3×4+2x＜24B．3×4+2x≤24C．3x+2×4≤24D．3x+2×4≥247．如图，点A在y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（　　）A．1B．2C．3D．48．若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k，b的值可能为（　　）A．k=3，b=3B．k=3，b=﹣3C．k=﹣3，b=3D．k=﹣3，b=﹣3　二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：=　　．10．方程=2的解是x=　　．11．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于y轴对称的点为B（a，b），则a=　　．12．二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为　　． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y 7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 713．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则弧AB的长为　　．14．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn=　　°．（用含n的代数式表示）　三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值：，其中．16．将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．（1）用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率．（2）摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？17．海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元．请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？18．如图，已知直线a，b及∠POQ，以点O为圆心，a为半径作圆，交∠POQ两边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A，连结OA，MA，NA，则∠AMO=∠ANO，请证明．19．如图，小明想测山高度，他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．求这座山的高度（小明的身高忽略不计）．【参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈】20．为了了解某市初中学生上学的交通方式，从中随机调查了a名学生的上学交通方式，统计结果如图．（1）求a的值；（2）补全条形统计图并求出乘坐公共汽车上学占上学交通方式百分比的扇形圆心角的度数；（3）该市共有初中学生15000名，请估计其中坐校车上学的人数．21．一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示．请你根据图象，回答下列问题：（1）慢车比快车早出发　　小时，快车追上慢车时行驶了　　千米，快车比慢车早　　小时到达B地；（2）在下列3个问题中任选一题求解（多做不加分）：①快车追上慢车需几个小时？②求慢车、快车的速度；③求A、B两地之间的路程．22．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：张同学画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=45°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．则对角线AC的长为　　．23．如图，抛物线l1：y=x2﹣4的图象与x轴交于A，C两点，抛物线l2与l1关于x轴对称．（1）直接写出l2所对应的函数表达式；（2）若点B是抛物线l2上的动点（B与A，C不重合），以AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D，求证：D点在l2上．（3）当点B位于l1在x轴下方的图象上，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它面积的最值；若不存在，请说明理由．24．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=3，CB=4，设P，Q分别为AB边，CB边上的动点，它们同时分别从A，C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设P，Q运动的时间为t秒．（1）求△CPQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并求出S的最大值．（2）t为何值时，△CPQ为直角三角形．（3）①探索：△CPQ是否可能为正三角形，说明理由．②P，Q两点同时出发，若点P的运动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△CPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．　吉林省长春市中考数学模拟试卷（8）参考答案与解析　一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．比﹣3大2的数是（　　）A．﹣5B．﹣1C．1D．5【考点】19：有理数的加法．【】有理数运算中加法法则：异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相减．【解答】解：﹣3+2=﹣（3﹣2）=﹣1．故选B．　2．下列计算正确的是（　　）A．a+2a=3a2B．a•a2=a3C．（2a）2=2a2D．（﹣a2）3=a6【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a+2a=3a，故本选项错误；B、a•a2=a3，故本选项正确；C、（2a）2=4a2，故本选项错误；D、（﹣a2）3=﹣a6，故本选项错误．故选B．　3．如图，由五个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（　　）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得一行正方形的个数为3，故选D．　4．一次数学考试后，小明想知道成绩是否能排在前一半，那么他应该知道本次成绩的统计量是（　　）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【考点】WA：统计量的选择．【分析】据题意可得：由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数．参赛选手要想知道自己是否能排在前一半，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于想知道成绩是否能排在前一半，故应知道中位数．故选C．　5．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）A．（5，2）B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）【考点】D1：点的坐标．【分析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案．【解答】解：根据图示，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负；分析选项可得只有D符合．故选D．　6．小华拿24元钱购买火腿肠和方便面，已知一盒方便面3元，一根火腿肠2元，他买了4盒方便面，x根火腿肠，则关于x的不等式表示正确的是（　　）A．3×4+2x＜24B．3×4+2x≤24C．3x+2×4≤24D．3x+2×4≥24【考点】C8：由实际问题抽象出一元一次不等式．【分析】此题中的不等关系：方便面与火腿肠的总价不能超过24元，也就是应＜或等于24元．【解答】解：根据题意，得3×4+2x≤24．故选B．　7．如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（　　）A．1B．2C．3D．4【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．【分析】延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出S△OAD=1，S矩形OCBD=4，则四边形ABCO的面积=S矩形OCBD﹣S△OAD=3．【解答】解：如图，延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．∵点A在双曲线y=y=上，点B在双曲线y=上，∴S△OAD=1，S矩形OCBD=4，∴四边形ABCO的面积=S矩形OCBD﹣S△OAD=4﹣1=3．故选C．　8．若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k，b的值可能为（　　）A．k=3，b=3B．k=3，b=﹣3C．k=﹣3，b=3D．k=﹣3，b=﹣3【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】由一次函数图象经过第一、二、四象限，可得出k＜0、b＞0，对照四个选项后即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．故选C．　二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：=　　．【考点】78：二次根式的加减法．【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式=3+=4．　10．方程=2的解是x=　﹣2　．【考点】B3：解分式方程．【分析】根据解方程的步骤首先方程两边同时乘以x+1，去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，进行计算即可，注意不要忘记检验．【解答】解：去分母得：x=2（x+1），去括号得：x=2x+2，移项得：x﹣2x=2，合并同类项得：﹣x=2，把x的系数化为1得：x=﹣2，检验：把x=﹣2代入最简公分母x+1≠0，∴原分式方程的解为：x=﹣2．　11．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于y轴对称的点为B（a，b），则a=　﹣1　．【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得到a的值．【解答】解：∵点A（1，2）关于y轴对称的点为B（a，b），∴a=﹣1．故答案为：﹣1．　12．二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为　﹣1　． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y 7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．【解答】解：根据图表可以得到，点（﹣2，7）与（4，7）是对称点，点（﹣1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x=1，∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点，∴m=﹣1．　13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则弧AB的长为　2π　．【考点】MM：正多边形和圆；MN：弧长的计算．【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．【解答】解：如图所示：连接OA、OB．∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为5，∴∠AOB==72°，∴的长为：=2π．故答案为2π．　14．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn=　（90﹣）　°．（用含n的代数式表示）【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】利用三角形的内角和计算，同时注意利用等腰三角形的性质．【解答】解：由张角度数变化可知顶角∠An+1CnAn=，则∠An+1AnCn=÷2=90﹣．故答案为：（90﹣）．　三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值：，其中．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先将分式通分合并同类项再约分化成最简形式，将x的值代入计算即可．【解答】解：原式===当时，原式===1+　16．将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．（1）用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率．（2）摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和达到某种效果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）或 甲袋和乙袋 2 3 4 2 4 5 6 4 6 7 8摸出的两个球上数字之和为5的概率为．（2）从表看，摸出的两个球上数字之和为6时概率最大．　17．海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元．请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】设李叔叔购买“无核荔枝”x千克，购买“鸡蛋芒果”y千克，根据总质量为30千克，总花费为708元，可得出方程组，解出即可．【解答】解：设李叔叔购买“无核荔枝”x千克，购买“鸡蛋芒果”y千克，由题意，得：，解得：．答：李叔叔购买“无核荔枝”12千克，购买“鸡蛋芒果”18千克．　18．如图，已知直线a，b及∠POQ，以点O为圆心，a为半径作圆，交∠POQ两边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A，连结OA，MA，NA，则∠AMO=∠ANO，请证明．【考点】N3：作图—复杂作图．【分析】利用作法得到OM=ON=a，MA=NA=b，则利用“SSS”可判定△AOM≌△AON，从而得到∠AMO=∠ANO．【解答】证明：由作法得OM=ON=a，MA=NA=b，在△AOM和△AON中，∴△AOM≌△AON，∴∠AMO=∠ANO．　19．如图，小明想测山高度，他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．求这座山的高度（小明的身高忽略不计）．【参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈】【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，tan31°=，∴BD=≈=x，在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，tan39°=，∴CD=≈=x，∵BC=BD﹣CD，∴xx=80，解得：x=180．即山的高度为180米．　20．为了了解某市初中学生上学的交通方式，从中随机调查了a名学生的上学交通方式，统计结果如图．（1）求a的值；（2）补全条形统计图并求出乘坐公共汽车上学占上学交通方式百分比的扇形圆心角的度数；（3）该市共有初中学生15000名，请估计其中坐校车上学的人数．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】（1）用乘坐私家车的人数除以其所占的百分比即可确定a值；（2）总数减去其他交通方式出行的人数即可确定乘坐校车的人数，从而补全统计图；（3）用学生总数乘以乘坐校车的所占的百分比即可．【解答】解：（1）观察两种统计图知：乘坐私家车上学的有600人，占20%，∴a=600÷20%=3000人；（2）乘坐校车的有3000﹣600﹣600﹣300﹣300=1200人，统计图为：乘坐公共汽车上学占上学交通方式百分比的扇形圆心角的度数为×360°=72°；（3）初中学生15000名中，坐校车上学的人数有15000×=6000人．　21．一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示．请你根据图象，回答下列问题：（1）慢车比快车早出发　2　小时，快车追上慢车时行驶了　276　千米，快车比慢车早　4　小时到达B地；（2）在下列3个问题中任选一题求解（多做不加分）：①快车追上慢车需几个小时？②求慢车、快车的速度；③求A、B两地之间的路程．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据图中，快，慢车的函数图象可得出结果．（2）①快车追上慢车时，两者都行驶了276千米，再根据慢车比快车早走2小时，可在这段距离内，表示出两车的速度，然后根据行驶的总路程相等，来列出方程，求出未知数．②根据①求出的快车追上慢车时走的时间，可知道慢车和快车在相遇时分别用了多少小时，已知这段路程是276千米，因此根据速度=路程÷时间，即可求出两车的速度．③有了②求出的两车的速度，从图中又知道了两车走完全程用的时间，因此，可以得出AB两地的路程．【解答】解：（1）慢车比快车早出发2小时，快车追上慢车时行驶了276千米，快车比慢车早4小时到达B地；（2）设快车追上慢车时，慢车行驶了x小时，则慢车的速度可以表示为千米/小时，快车的速度为千米/小时，根据两车行驶的路程相等，可以列出方程解得x=6（小时）．所以，①快车追上慢车需6﹣2=4（小时）；②慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时；③A、B两地间的路程为46×18=828千米．　22．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：张同学画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=45°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．则对角线AC的长为　　．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=80°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；（2）连接BD，由AB=AD，得出∠ABD=∠ADB，证出∠CBD=∠CDB，即可得出CB=CD；（3）分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，先用等腰直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；②当∠BCD=∠DAB=45°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=1，BN=DM=4，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；（2）证明：如图2所示，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；（3）解：分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：∵∠ABC=90°，∠DAB=45°，AB=5，∴∠E=45°，∴AE=AB=5，∴DE=AE﹣AD=5﹣4═，∵∠EDC=90°，∠E=45°，∴CD=，∴AC===；②当∠BCD=∠DAB=45°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，∵∠DAB=45°，∴∠ADM=45°，∴AM=DM=AD=4，∴BM=AB﹣AM=5﹣4=1，∵四边形BNDM是矩形，∴DN=BM=1，BN=DM=4，∵∠BCD=45°，∴CN=DN=1，∴BC=CN+BN=5，∴AC==5；故此情况不存在．综上所述：AC的长为，故答案为：．　23．如图，抛物线l1：y=x2﹣4的图象与x轴交于A，C两点，抛物线l2与l1关于x轴对称．（1）直接写出l2所对应的函数表达式；（2）若点B是抛物线l2上的动点（B与A，C不重合），以AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D，求证：D点在l2上．（3）当点B位于l1在x轴下方的图象上，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它面积的最值；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线l1的解析式求出点A、C的坐标，以及顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出l2的顶点坐标，然后利用待定系数法求出l2的解析式；（2）设点B的坐标为（x1，x12﹣4），根据平行四边形的性质和关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出点D的坐标，代入解析式即可证明：点D在l2上；（3）首先表示出S的值，当点B在x轴下方时，﹣4≤y1＜0，根据一次函数的增减性判断出点B的位置，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明，并求出S最大=16．【解答】解：（1）∵l1与x轴的交点A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，﹣4），l1与l2关于x轴对称，∴l2过A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），设y=ax2+4，则4a+4=0，解得a=﹣1，∴l2的解析式为y=﹣x2+4；（2）设B（x1，y1），∵点B在l1上，∴B（x1，x12﹣4），∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称，∴B、D关于O对称，∴D（﹣x1，﹣x12+4），将D（﹣x1，﹣x12+4）的坐标代入l2：y=﹣x2+4，∴左边=右边，∴点D在l2上；（3）当y=0时，﹣x2+4=0，解得：x1=2，x2=﹣2，所以AC=4，则S▱ABCD=AC•（﹣yB）=﹣4x2+16，当x=0时，S▱ABCD取得最大值16，∵当点B在x轴下方时，﹣4≤y1＜0，∴S=﹣4y1，它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，∴当y1=﹣4时，S有最大值16，但它没有最小值，此时B（0，﹣4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形．　24．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=3，CB=4，设P，Q分别为AB边，CB边上的动点，它们同时分别从A，C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设P，Q运动的时间为t秒．（1）求△CPQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并求出S的最大值．（2）t为何值时，△CPQ为直角三角形．（3）①探索：△CPQ是否可能为正三角形，说明理由．②P，Q两点同时出发，若点P的运动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△CPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，根据勾股定理求出AB，用t表示出AD、PD，根据三角形的面积公式计算即可；（2）根据勾股定理列出算式，求出t的值；（3）①根据等边三角形的三线合一列式计算即可；②设点Q的运动速度为a，根据等边三角形的性质列式求出a，根据等边三角形的性质、正切的概念计算即可．【解答】解：（1）作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，∵∠ACB=90°，CA=3，CB=4，∴AB==5，∵AP=t，∴AD=t，PD=t，∴PE=DC=3﹣t，∴S=×t×（3﹣t）=﹣t2+t，∵S=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴S的最大值为；（2）只有当PC2+PQ2=CQ2时，△CPQ为直角三角形，∴（t）2+（3﹣t）2+（3﹣t）2+（t﹣t）2=t2，解得，t1=3，t2=15（舍去），∴当t=3时，△CPQ为直角三角形；（3）①△CPQ不可能为正三角形，理由如下：若△CPQ是正三角形，则PC=PQ，EC=EQ，即t﹣t=t，解得，t=0，∴△CPQ不可能为正三角形；②设点Q的运动速度为a，当CE=EQ时，即t=at﹣t，解得，a=，∵∠PCQ=60°，∴PE=PD，解得，t=．PAGE