2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．（5分）已知，，则　　A． B． C． D．2．（5分）　　A． B． C． D．33．（5分）函数的大致图象为　　A． B． C． D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．5．（5分）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，，，则　　A．10 B．9 C．8 D．56．（5分）在平行四边形中，已知，，，，则的值是　　A．4 B．6 C．8 D．107．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，现向大正方形内丢一粒黄豆，当每个直角三角形的两直角边之比都是时，则该黄豆落入小正方形内的概率为　　A． B． C． D．8．（5分）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为　　A． B． C． D．9．（5分）已知奇函数满足，当时，，则　　A． B． C． D．10．（5分）已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为△的内心，若成立，则双曲线的离心率为　　A．4 B． C．2 D．11．（5分）如图是函数在区间上的图象，将该图象向右平移个单位后，所得图象关于直线对称，则的最大值为　　A． B． C． D．12．（5分）在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）符合的点的轨迹围成的图形面积为8；（2）设点是直线：上任意一点，则；（3）设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的必要条件是；（4）设点是圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为　　A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若直线经过抛物线的焦点，则　　．14．（5分）若，满足约束条件，则的最小值为　　．15．（5分）已知等差数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前7项和　　．16．（5分）已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值构成的集合为　　．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若（当时），数列满足，求数列的前项和．18．（12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．19．（12分）如图，在四棱锥中中，底面是边长为4的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是4，点，，分别是，，的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线与椭圆交于，两点，试在轴上求一点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形．21．（12分）已知函数．（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若有两个极值点，，求的取值范围．[选做题]22．（10分）已知直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标系方程及直线的参数方程；（2）若直线与圆交于，两点，求的最大值和最小值．23．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的最小值．2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参考与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．【解答】解：，，．故选：．【解答】解：，故选：．【解答】解：，，为奇函数，其图象关于原点对称，故排除，，，是增函数，，是增函数，，在是增函数，排除．（或者）当时，，故排除，故选：．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以以俯视图为底面的三棱柱的外接球，由底面三边长为3，4，5，故底面外接圆半径，球心到底面的距离，故球半径，故外接球的表面积，故选：．【解答】解：，即，为锐角，，又，，根据余弦定理得：，即，解得：或（舍去），则．故选：．【解答】解：平行四边形中，已知，，，又，，，即，．故选：．【解答】解：设小正方形的边长为，由每个直角三角形的两直角边之比都是，则直角三角形的两边长分别为：，，则大正方形的边长为：，设事件为“向大正方形内丢一粒黄豆，黄豆落入小正方形内”，则（A），故选：．【解答】解：圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则圆锥的母线满足：故圆锥的母线长为3，又由可得圆锥的底面半径为1，故该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为．故选：．【解答】解：奇函数满足，当时，，．故选：．【解答】解：如图，设圆与△的三边、、分别相切于点、、，连接、、，则，，，它们分别是△，，的高，，，其中是△的内切圆的半径．两边约去得：根据双曲线定义，得，离心率为故选：．【解答】解：由函数，的图象可得，可得：．再由五点法作图可得，可得：．故函数的的解析式为．故把的图象向右平移个单位长度，可得的图象，由于：所得图象关于直线对称，可得：，可得：，解得：，，由于：，可得：，，可得：当时，的最大值为：．故选：．【解答】解：（1）由，根据新定义得：，由方程表示的图形关于，轴对称和原点对称，且，画出图象如图所示：根据图形得到：四边形为边长是的正方形，面积等于8，故（1）正确；（2）为直线：上任一点，可得，可得，当时，；当时，，；当时，可得，综上可得的最小值为1，故（2）正确；（3），当时，，满足题意；而，当时，，满足题意．“使最小的点有无数个”的充要条件是“”，（3）正确；（4）点是圆上任意一点，则可设，，，，，，，，（4）正确．则正确的结论有：（2）、（3）、（4）．故选：．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分【解答】解：直线过点，即抛物线的焦点为，，则；故答案为：2．【解答】解：先根据，满足约束条件画出可行域：当直线过点时，最小是，故答案为：．【解答】解：等差数列中，点在经过点的定直线上，，数列的前7项和．故答案为：56．【解答】解：函数的导数为，由，得或时，递增；由，得时，递减．即有在处取得极小值（1）；在处取得极大值，作出的图象，如图所示；关于的方程，由判别式△，方程有两个不等实根，令，则，，则原方程有一正一负实根．而，即当，则，此时，和有两个交点，与有两个交点，此时共有4个交点，当，则，此时，和有1个交点，与有3个交点，此时共有4个交点，当，则或，此时和有3个交点，与有1个交点，此时共有4个交点，当，则，此时和有2个交点，与有2个交点，此时共有4个交点，当，则，此时和有1个交点，与有3个交点，此时共有4个交点，综上方程恒有4个不同的实数解，即，即的所有可能的值构成的集合为，故答案为：．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．【解答】解：（1），，①，，成等比数列，，②由①②得：或，当时，当时，；（2）（当时），，，，，①②①②得【解答】解：（Ⅰ）第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为．因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为，，，第4组的2名志愿者为，，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有10种．其中第4组的2名志愿者，至少有一名志愿者被抽中的有：，，，，，，，，，，，，，，共有7种所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．【解答】（1）证明：四边形是边长为4的正方形，是的中点，，又侧棱底面，面，，又，，，，是等腰三角形，是的中点，．同理，是等腰三角形，是的中点，，，，面，平面；（2）解：侧棱底面，面，，，，，由（1）知：平面，是三棱锥中，到平面的距离，是的中点，，，，，，，，四边形是边长为4的正方形，、分别是、的中点，，是等边三角形，，三棱锥的体积．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为，则点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为，，且，，，，则，所以，，则点的坐标为，直线与直线垂直，且点，所以，，，由，得，，所以，，．因此，椭圆的方程为；（2）设点，、，，直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，，所以，．因此，线段的中点为．设点的坐标为，由于，为邻边的平行四边形是菱形，则．直线的斜率为，解得．因此，当点的坐标为时，以，为邻边的平行四边形是菱形．【解答】解：（1）的定义域为，且在其定义域内单调递增，，即在区间恒成立，，当且仅当时取等号，，即实数的范围，；（2）由（1）知，令，时，有两个极值点，此时，，，，，解得，由于，于是，令，则，在区间，内单调递减，，，即，故的取值范围为，．[选做题]【解答】解：（1）由，得，即，所以圆的直角坐标方程为，直线过点，且倾斜角为，所以直线的参数方程为为参数）．（2）将代入，得，△，设，两点对应的参数分别为，，则，因为，，所以的最大值为，最小值为．【解答】解：（1），，或或解得或，故的解集为或．（2）由函数的解析式得：，，，即，当且仅当时等号成立，，，解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/4/523:00:13；用户：James；邮箱：15399095293；学号：8796782第1页（共1页）