4.天线的阻抗

《天线原理与》讲稿王建73第二章天线的阻抗本章的主要目的是要求天线的输入阻抗，它是天线的重要参数之一因为知道天线的输入阻抗之后，就可以选择合适的馈电传输线与之匹配要严格计算天线的输入阻抗是困难的上常采用一些近似主要有三种方法，即坡印亭矢量法、等值传输线法和感应电势法坡印亭矢量法是先求得天线的辐射功率，然后由求得其辐射电阻rP22rmrPIR=rR这个方法前面已经作了介绍这里主要讨论等值传输线法和感应电势法21等值传输线法坡印亭矢量法是由远区辐射场求得表示功率密度的坡印亭矢量，然后在以天线中点为圆心，以远区距离为半径的一个球面上积分求得辐射功率，最后求得辐射电阻该方法的缺点是：(1)只能计算天线的输入电阻，不能计算输入电抗(2)由于假定天线上电流为正弦分布，使得天线输入端为波节点时(如全波振子)，不能求出输入电阻这里介绍一种可以计算天线输入阻抗(包括虚、实部)的等值传输线法该方法所得公式简便，便于工程应用对称振子是由一段开路的双线传输线张开而成，把它等效为传输线是很自然的，于是可用传输线理论来计算它的输入阻抗设有一段长为l，特性阻抗为cZ的有耗开路传输线如图21(a)所示，由传输线理论可得其输入阻抗为coth()coth[(j)]inccZZlZlγαβ==+(21)式中，特性阻抗111jjc1RLZGC+=+(22)传播常数11j(j)(j1)RLGCγαβ=+=++(23a)β和α分别为相位常数和衰减常数，R1、G1、L1和C1为传输线的分布参数，分别代表单位长度上的电阻、电导、电感和电容忽略并联电导G1，且假设传输线损耗小11RL1<<，可得1111j(1j)2RLCLjγ=−=αβ+(23b)111111202RCRLZLCαβ===(24)1001(1j)(1j)2cRZZZLαβ=−=−(25)《天线原理与设计》讲稿王建74(a)开路传输线(b)对称振子图21开路传输线与对称振子传输线无耗时的特性阻抗011ZLC=(26)若已知双线传输线的特性阻抗Zc、分布电阻R1和分布电容C1，由式(21)就可确定一段长为l的有耗开路传输线的输入阻抗显然这还不能用于对称振子天线，因为双线传输线与对称天线存在如下显著的差别(1)传输线是非辐射系统，线上损耗为导体的欧姆损耗而对称振子天线是辐射系统，电流从输入端到末端，其间的每一点都将产生能量辐射，可用单位长度上的能量损耗来表示传输线的分布电阻R1(2)均匀双线传输线的两线距离恒定，其分布参数是均匀的而对称振子天线的两臂上对称点之间的距离是变化的，见图21(b)，其分布参数是非均匀的但是，对称振子天线的输入阻抗仍然可用式(21)表示，但必须修改参数Zc、α和β1、修改特性阻抗Zc在Dρ�的情况下，无耗双线传输线的特性阻抗为0120ln()ZDρ=(27)式中D为两线间距，ρ为导线截面直径，见图21(a)而对称振子两臂上的两个对称点之间的距离为D=2z，其特性阻抗在0zl≤≤内是变化的可用如下方法求对称振子的平均特性阻抗00122120ln()120[ln()1]lzZdzlρ′==∫lρ−(28)由此式可计算平均特性阻抗0Z′与lρ的关系曲线，见书上P32图27由图可见，对称振子的臂长愈小或导线截面直径lρ愈大，则0Z′就小，由于是对数关系，0Z′随lρ的变化较缓慢把式(25)中的0Z用0Z′替代得0(1)cZZjαβ′′=−(29)《天线原理与设计》讲稿王建752、修改衰减常数α在不计G1的情况下，传输线的衰减常数α是由传输线上单位长度的导体热损耗电阻R1产生的对于对称振子天线来说，不计导体热损耗，R1由单位长度的辐射电阻1R′取代，并假设1R′沿天线是均匀的这际上就是确定102RZα′′=′设距离天线中心点z处的电流为I(z)，该处线元dz的辐射功率为211()2rIzRdzdP′=(210)辐射总功率为2101()2lrPIzRdz′=∫(211)另一方面，对称振子的辐射功率可用其辐射电阻Rr表示212rmPI=rR故2210()lmrIRIzRdz′=∫(212)设1R′()沿线不变，即等效辐射损耗均匀地分布于振子臂上，并代入sin(||)mIzIlzβ=−后积分，得12sin(2)[1]2rRRlllββ′=−(213)因此100sin(2)2[1]2rRRlZZllαββ′′==′′−(214)3、修改相位常数β由于天线上每一点都产生辐射，即电流波在天线上一边传输一边辐射，使得电流有衰减，电流传播的相速减小，波长缩短，相位常数大于自由空间相位常数另外，对称振子有一定直径，其馈电端和末端分布电容增大，末端电流实际不为零，振子愈粗，末端效应愈显著，这也将影响相位常数书上P33图28给出了天线上电流传播的相位常数β′与自由空间相位常数β的比值ββ′=随lλ的曲线，参变量为，d为导线直径由于影响相位常数改变的因素不止一个，要确定ldβ′是较困难的在大多数情况下β′与β接近，所以工程上一般取β′＝β4、对称振子的输入阻抗inZ由式(21)、(29)、(214)可得对称振子的输入阻抗0(1j)coth[(j)]inZZlαβαβ′′=−+′(215)《天线原理与设计》讲稿王建760{[sinh(2)sin(2)]j[sinh(2)sin(2)]}cosh(2)cos(2)Zllllllαααβααβββ′′′′′=−−′−β+式中采用的是自由空间相位常数β可以证明，当1lα′�时上式可简化为0222200sin(2)j()sin2()sinrinrrRZlZRZlRZlβββ′=−′′++(216)当(220)sinrRZlβ′�时，上式又可简化为02jcot(sinrinR)ZZllββ′=−(217)该式一般可应用于l04λ≤的情况由式(216)计算的对称振子输入电阻和电抗随lλ变化的曲线如图22所示，图中参变量为振子的平均特性阻抗0Z′图22不同特性阻抗下对称振子输入阻抗随lλ的变化曲线由此图可总结出对称振子天线输入阻抗的如下特点：(1)对称振子的平均特性阻抗0Z′愈小，输入阻抗jinininZRX=+随lλ的变化就愈小，阻抗曲线就愈平缓，其频率特性就愈好实际中常采用加大振子直径的办法来降低特性阻抗，以展宽工作频带短波波段使用的笼形对称振子(P67)就是基于这个原理(2)当l4λ<时，输入阻抗呈容性，并有不大的输入电阻；当l4λ�时(半波振子)，输入电抗为零，对称振子就如一个串联谐振电路此时；当731rR=ininZR==Ω42lλλ<<时，输入阻抗呈感性；当l2λ�时(全波振子)，振子相当于一个并联谐振电路，输入电抗为零，输入电阻为最大值，此时由式(216)有20ininrZZRR′==(218)半波和全波振子的输入阻抗都是纯电阻，易于和馈线匹配但是与全波振子相比，在半波振子长度附近其阻抗曲线要平缓的多，工作频带要宽的多因此，《天线原理与设计》讲稿王建77在工程中大多采用半波振子(3)对称振子谐振长度的缩短现象对称振子的谐振长度是其输入阻抗的虚部为零时的长度由前面图22可见，对应的电长度0inX=lλ略小于025和略小于05这一现象称之为缩短效应振子天线愈粗，缩短愈多所以，实际使用的半波振子全长是小于半个波长的产生缩短的原因大致有两点：以上计算是取ββ′=，但由于电流波沿振子边传输边辐射有衰减，使得相位常数变大ββ′>，波长缩短λλ′<②振子天线的“末端效应”振子导体有一定直径，使振子馈电端和两个末端的分布电容增大，馈电端的效应使得附加电容与天线输入阻抗一起并联在馈电传输线上，引起误差；两个末端的效应使得末端电流不为零，这将使振子的等效长度增大，造成谐振长度缩短，如图23所示显然，振子愈粗，缩短效应愈明显图23对称振子的末端效应因此，设计半波振子天线时要考虑缩短效应22感应电动势法求天线辐射阻抗坡印亭矢量法是在以天线中心为球心，远区距离r为半径的一个球面上对坡印亭矢量(功率密度)积分求出辐射功率，然后求得天线的辐射电阻坡印亭矢量法只涉及远场的实功率，不涉及近场的储能虚功率，因此它只能求电阻，不能求电抗实际上，天线的辐射功率包括实功率和虚功率两部分，实功率是向空间辐射的有功功率，为坡印亭矢量法计算的部分，可由远场来计算；虚功率是存储于天线附近的无功功率，必须由近场来计算，这恰恰是计算天线输入电抗的部分221单根圆柱对称振子的辐射阻抗1圆柱对称振子的近区场圆柱对称振子如图24所示，并建立坐标系对问题的采用圆柱坐标，设近区场点P的坐标为(,,zρϕ)，它与天线轴线上的中心点和上下端点的距离分别为《天线原理与设计》讲稿王建7822rzρ=+，221()Rzlρ=+−，22()2Rzlρ=++(219)式中，l为振子臂长在求解这个问题之前我们作如下两点假设：振子上电流为正弦分布，由于振子截面半径a很小，电流在圆柱表面是均匀的，因此可看作电流集中在振子轴线上，其表示为：al�1()sin[(||)]mIzIlzβ=−②馈电间隙δ很小，l1δ�，其影响可忽略图24圆柱对称振子的近场计算图示由振子上的电流分布可求得矢量磁位为j0ˆ()4RllzIzRβµπ−−′′=∫Adzjj000ˆsin[()]sin[()]4RRlmlzIlzdzlzdzRRββµββπ−−−′′′=++−′∫∫(220)利用欧拉公式j()j()sin[()]2jlzlzlzβββ′′±−±−′±=(221)和磁场与矢量磁位的关系0011ˆ[zAϕ]µµρ∂=∇×=−∂HA，并考虑到j()j()[]{[()]RzRz}RzRRzzββρρ′′−±−±∂∂=′′∂∂±−(222)可得12jjjj[2cos()4RRrmIHlβββϕβπρ−−−=+−](223)再由麦氏方程0jε∇×=HE，可得《天线原理与设计》讲稿王建7912jjj012j[()()2cos()4RRrmIEzlzlzl]RRrβββρηβπρ−−−=−++−(224)和12jjj012j[2cos()4RRrmzIE]lRRrβββηβπ−−−=−+−(225)圆柱对称振子的近区电磁场只有三个分量Hϕ、Eρ和，而且它们的表示式(223)、(224)和(225)并不复杂这三个场分量的最后一项在振子臂长恰好为zE2λ的奇数倍时为零圆柱对称振子的近场是假设电流沿振子轴上流动时得到的，即假设振子为无限细但是，对于圆柱截面半径a很小时()，这三个近场表示是很好的近似公式当al�1aρ=时，这三个近场分量就是振子圆柱表面的场2感应电动势法求圆柱对称振子的辐射阻抗假如我们把坡印亭矢量法中的大球面缩小，直到缩小到天线的圆柱表面，通过这一封闭柱面的总功率表示为12rsP=×∫∫EHsiwd(226)式中，s为圆柱表面，，为圆柱表面的外法线单位矢量，ds为积分面元从形式上看，式(226)与坡印亭矢量法求辐射功率的表示相同，但其中的电磁场已经不同坡印亭矢量法中所用的电磁场是远区场，这里的积分面在天线表面，式中的电磁场必须是近场ˆdnds=snˆ式(226)中的电磁场矢量分别为ˆˆzEzEρρ=+E和ˆHϕϕ=H，则ˆˆzzEHEHρϕρ×=−EHϕ(227)式中，近区电磁场分量Hϕ、Eρ和由式(223)、(224)和(225)表示当振子半径很小时，封闭柱面的上下底面的积分可忽略不计，只考虑圆柱侧面的积分此时ddzEˆsρ=sˆaddzρϕ=，并把式(227)代入(226)，并注意到近场各分量与坐标ϕ无关，得201(,)(,)2lrzlPdEazHazadzπϕϕ−=−∫∫1(,)(,)22lzlEazHazadzϕπ−=−∫(228)由安培环路定律2(,)(aHazIzϕ)π=，则得1(,)()2lrzlPEazI−=−∫zdz(229)式中，[]表示振子dz小段上驱动电流(,)zEazdz−()Iz流动的感应电动势，故此法称之为“感应电动势法”由211||22rmrmmPIZII==rZ(230)可得归算为波腹电流的辐射阻抗rZ为《天线原理与设计》讲稿王建801(,)()lrzlmmZEazIzdzII−=−∫(231)把式(225)表示的及电流分布(,)zEaz()sin[(||)]mIzIlzβ=−代入式(231)得12jjj011jsin(||)[2cos()]4RRrlrlZlzldRRrβββηββπ−−−−=−+−∫zrrRjX=+(232)式中，2z=+2ra，221()Razl=+−，22()2Razl=++，a为振子截面半径，2βπλ=，0120ηπ=经一系列运算后，上式的实部电阻rR和虚部电抗rX可用正、余弦积分表示如下{302[ln(2)(2)]cos(2)[ln()(4)2(2)]riiiRClCllClClClβββββ=+−+++−β}sin(2)[(4)2(2)]iilSlSlβββ+−(233){302(2)cos(2)[2(2)(4)riii]XSllSlSlβββ=+−β}2sin(2)[2(2)(4)(2)]iiilClClCalββββ−−−(234)式(233)表示的辐射电阻rR与坡印亭矢量法所得结果完全相同，因为在无耗空间中，通过包围辐射源的任意封闭面的实功率是一样的由式(233)和(234)可计算并并绘出辐射电阻和电抗随lλ变化的曲线如图25所示，参变量为a234510,10,10,10ρ−−−=−图25对称振子的辐射自阻抗当电流采用近似的正弦分布时，所得辐射电阻与振子的截面半径无关，但辐射电抗的值却随振子截面半径的增大而减小因此宽频带天线往往采用粗振子，粗振子天线有较小的电抗对常用的半波振子，其辐射阻抗为(235)4|731425()rlZjλ==+Ω《天线原理与设计》讲稿王建81在式(230)中，如果波腹电流mI换成输入电流sininmIIlβ=，则得“归算于输入电流的辐射阻抗”，即输入阻抗2sinrinZZlβ=，则输入电阻和电抗为22sin()sin()inrinrRRlXXlββ==(236)对半波振子(2lβπ=)，其输入阻抗就是其辐射阻抗至此，我们讨论了单个振子天线的辐射阻抗，和输入阻抗的分析方法但对于由若干天线组成的阵列天线，各天线之间相距很近，互相耦合很强，不容忽略下面我们讨论二元对称振子的相互耦合问题222二元耦合对称振子的互阻抗相距较近的天线之间将发生很强的电磁耦合，它们周围空间的电磁场要发生变化，每个天线上的电流、辐射功率和输入功率也将改变因此，与电流、功率相联系的辐射阻抗和输入阻抗也将发生变化我们将相互靠得较近的那些天线称为耦合天线1二元耦合振子天线的阻抗方程任意排列的二元对称振子如图26所示当振子1单独存在时，它在电源的激励下产生电流1I，并建立满足本身边界条件的电磁场，设其表面的切向电场为然后在振子1的附近放置振子2，此时振子2上的电流11zE2I将在振子1的表面产生切向电场(称为感应电场)此时振子1表面上的总切向电场为12zE111zzzEEE=+12(237)图26二元耦合振子由前面式(229)可得在振子2影响下的振子1的总辐射功率为111112lrzlPE−=−∫11Idz111112111()2lzzlEEId−=−+∫z=+(238)1112PP式中，1111111112lzlPE−=−∫Idz(239)《天线原理与设计》讲稿王建821112121112lzlPE−=−∫Idz22(240)11P是振子1单独存在时的辐射功率，称为自辐射功率；由振子2的影响，在振子1上的感应电动势[]产生的功率称为感应辐射功率121zEdz−12P同理，可得在振子1影响下振子2的总辐射功率为221rPPP=+(241)式中，2221212212lzlPEI−=−∫dz(242)2222222212lzlPEI−=−∫dz(243)22P−是振子2的自辐射功率；是由振子1的影响，在振子2上的感应电动势[]产生的感应辐射功率21P212zEdz设对称振子1和2上电流的波腹值分别为1mI和2mI，由式(238)和(241)可得11112211122122222222||||||222||||||rmmmrmmPPPIIIPPPIII=+=+22222m(244)则211112112212mrmmrmI22ZZZIIZZZI=+=+(245)式中，11212||rrmPI=Z为振子1的总辐射阻抗；(246a)22222||rrmPZI=为振子2的总辐射阻抗；(246b)1111212||mPZI=为振子1单独存在时辐射阻抗，简称自阻抗；(246c)1212122mmPZII=为振子2对振子1影响的感应辐射阻抗，简称互阻抗；(246d)2222222||mPZI=为振子2单独存在时辐射阻抗，为自阻抗；(246)2121212mmPZII=为振子1对振子2影响的感应辐射阻抗，为互阻抗(246f)根据互易原理1221ZZ=(247)《天线原理与设计》讲稿王建83如果振子1和振子2的几何尺寸相同，则1122ZZ=对式(245)的第一和第二式两边分别乘以1mI和2mI，并记UI，，则得阻抗方程11mrZ=1222mrUIZ=21111212212122mmmmUIZIZUIZIZ=+=+(248)由此关系可以得到二元耦合振子天线的等效电路，如图27所示图27二元耦合振子的等效电路对于二元耦合振子，振子的自阻抗前面式(232)已经求得，根据互易原理，我们只需计算互阻抗12Z即可把前面式(240)代入(246d)得11121211121lzlmmZEIdzII−=−∫(249)要计算任意排列的二元耦合对称振子之间的互耦电场是较复杂的，然而，在实际应用中，如对称振子组成的阵列中，各振子均是平行排列的，且几何尺寸相同(即ll)这种情况下的计算是较容易的12zE12==l2平行等长对称振子二元阵的互阻抗平行二元耦合对称振子如图28所示原则上可导出不等长的互阻抗计算公式，但其推导过程和最终结果都很复杂，在此只考虑两振子等长的情况耦合对称振子的互阻抗可由式(249)计算，此式中的互耦电场是振子2在振子1的表面产生的切向电场，它可由前面式(225)计算，即12zE1221212[2cos(4jRjRjrmzIEjl)]RRrβββηβπ−−−=−+−(250)在坐标系下，式中z′22()rdzH′=++，221()RdzHl′=++−，222()RdzHl′=+++振子1上电流分布为11()sin(||)mIzIlzβ′=−(251)把式(250)和(251)代入(249)得12jjj1212jsin(||)[2cos()]4RRrllZlzldzRRrβββηββπ−−−−′′=−+−∫1212jRX=+(252)《天线原理与设计》讲稿王建84图28平行耦合对称振子的互阻抗计算此式的计算过程较繁，但最后也可用正余弦积分表示，其电阻和电抗分别为{12011223315sin()[2()2()()()()()]iiiiiiRwSwSwSwSwSwSw′′′=−−+−+}011223cos()[2()2()()()()()]iiiiiiwCwCwCwCwCwCw3′′′−−−++++(253){12011223315sin()[2()2()()()()()]iiiiiiXwCwCwCwCwCwCw′′′=−−+−+}0112233cos()[2()2()()()()()]iiiiiiwSwSwSwSwSwSw′′′−+−−−−(254)式中，w0Hβ=(255a)221(Hβ=++)Hwd(255b)221(Hβ′=+−)Hwd(255c)222[(2)(2HlHβ=+−+−)]lwd(255d)222[(2)(2dHlHlβ′=+−−−)]w(255)223[(2)(2dHlHlβ=++++)]w(255f)223[(2)(2dHlHlβ′=++−+)]w(255g)由式(253)、(254)和(255)可计算错位平行排列的等长二元耦合对称振子之间的互阻抗，并可得到书上P369－386的半波对称振子互阻抗表当H=0，(平行排列)时，式(253)和(254)可简化为0d≠1201230[2()()()]iiiRCuCuCu=−−(256a)1201230[2()()()]iiiXSuSuSu=−−−(256b)式中，ud0β=，221[(2)lβ=++2l]ud，222[(2)udlβ=+−2]l《天线原理与设计》讲稿王建85当d=0，0H≠(共轴排列)时，式(253)和(254)的简化形式为{12001215sin()[2(2)()()]iiiRSSS=−−}0012cos()[2(2)()()ln()]iiiwCCC−+3+−(257a){120012315sin()[2(2)()()ln()]iiiXwCCC=−−−}0012cos()[2()()()]iiiwSSS−−−(257b)式中，H0β=，12(2)Hlβ=+，22(2)Hlβ=−，223[(2)]HlH=−2由式(256)可计算并绘出平行排列时二元耦合半波振子的互阻抗；由式(257)可计算并绘出共轴排列时二元耦合半波振子的互阻抗如图29所示图29两种典型排列的耦合对称振子的互阻抗曲线两个耦合振子之间的互耦强弱，主要反映在互阻抗值上由上面两种情况的互阻抗随间距的变化可见：互阻抗值随间距的变化呈波动变化，而且间距愈大，互阻抗值逐渐变小，呈“震荡衰减状”，这说明两振子之间的互耦随间距增大而减小；②平行排列的两个振子之间的互阻抗的变化幅度比共轴排列的要大些，说明前者的互耦要强些③互阻抗的实部R12有正有负，它表示另一根振子在这根振子上附加的感应电动势源而产生的；而自辐射阻抗的实部为大于零的正数，它表示振子单独存在时全部辐射的有功功率均由它吸收【例21】如图210为两种情况的半波振子组成的二元阵，查表计算各振子的辐射阻抗1rZ和2rZ解：已知半波振子的自阻抗为ZZ1122731j425==+(Ω)图(a)：02d5λ=，0Hλ=表中无d025λ=对应的值，可查得前后两个值取平均得互阻抗1221431385268298j22+==−ZZ=408j283(Ω)+《天线原理与设计》讲稿王建86(a)(b)图210两种情况的耦合对称振子则21111mrmI12ZZI=+Z=731+j425＋j(408j283)2=8725+j629(Ω)12122mrmI22ZZZI=+＝j2(408j283)+731+j425=165j391(Ω)图(b)：d024λ=，0H5λ=查表得ZZ(Ω)1221117j119==−则ZZ(Ω)，11112848j306rZ=+=+21rrZZ=23无源振子前面讨论的二元耦合振子，是每个振子单元都加激励的情况，各自的输入端电压分别为U1和U2若两个耦合振子中有一个不加激励，这个不加激励的振子就称作无源振子，或寄生振子无源振子广泛应用于短波和超短波波段中例如，八木天线(见书上P131图612)，就是由一个无源反射器，一个激励振子和多个无源引向器振子组成的要计算由一个激励振子和一个无源振子组成的二元阵的方向图、辐射阻抗等参量，首先要确定无源振子上的电流分布及其与激励振子上电流分布之间的关系如果能调节无源振子上的电流幅度和相位，就能得到二元阵所需要的方向图无源振子上的电流幅度和相位的调节，大致可用如下两种方法：改变无源振子的长度，及两振子间距，以改变其自阻抗和互阻抗；②在无源振子上接入可变电抗，电抗是一段短路传输线做成，调节短路点位置，可改变接入电抗的大小和相位含无源振子的二元阵如图211所示有两种情况，即无源振子接入电抗和无源振子短路《天线原理与设计》讲稿王建87(a)无源振子接可调电抗(b)无源振子短路图211含无源振子的二元阵1无源振子和激励振子上的电流比设无源振子2接有可变电抗XL并设振子1的激励电压为U1，所激励的电流为I1由于振子1的作用，在无源振子2上将感应电流I2由于有无源振子2的作用，振子1的辐射功率为P(258)r11112PP=+无源振子2从振子1吸收的功率与感应电流I21P2产生的自辐射功率及负载X22PL所消耗的功率之和为零，即2212221j|2inLPPIX=++0(259)|式中，2inI为无源振子2中点的电流在式(258)等号两端同乘以221||inI，并在式(259)中乘以2可得22||inI111122211121222222222||||||220||||rinininLininPPPIIIPP2jXII=+=++(260)上式可写作：21111211212220ininininininininLinIZZZIIZZjXI=+=++(261)式中，11212||rininPI=Z为归算于输入电流的辐射阻抗，若振子无耗，它就是振子1的输入阻抗；11rPP=in1111212||ininPI=Z为振子1归算于输入电流的自阻抗；12212||inPI=12inZ为归算于输入电流1inI的互阻抗；2121222||ininPZI=为归算于输入电流2inI的互阻抗；《天线原理与设计》讲稿王建882222222||ininPZI=为振子2归算于输入电流的自阻抗如果记归算于波腹电流的自阻抗和互阻抗为11mZ、22mZ、12mZ和21mZ，则两种不同归算电流的阻抗关系为pmkinZII=1221mmininII12in12mZZII12m12inZ220(ininIZ11112ininZj)LUIIZI=+=+sin(m+)kk||)kzIlzβ=nkskmIlβ=22inL12inIZiZj=−12inZ21ininII=222ininRXRX+222in()inLXan()inan(X−j11in12inαZ=+kmkpinkpmpinIIZ，k=1,2；p=1,2(262)例如，k=1,p=2时，=对于半波振子情况，Z=当阵列中的振子长度有大于半波长的情况，或无源振子的中点接有电抗的情况最好采用归算于输入电流的阻抗方程由式(261)得111222ininininZX(263)当时即为书上式(258)若U0LX=1和XL已知，归算于波腹电流的各阻抗也可算得，此式可解出振子1和2上的输入电流假设振子上的电流为正弦分布(I−，k=1,2则ikinI就可采用前面的方法求得二元阵的辐射方向图由前面介绍的知识，这个计算过程是可以做的为简单起见，这里只求无元振子和激励振子上的电流比由式(263)的第二式可得2112122222()ininininninLRjXIXRjXX+=−++(264)+式中用了关系21inZ=令jmα，得221212=++m(265)12221222arctarct)inLininXXRRαπ+=+(266)由式(261)可得振子1的输入阻抗(或叫归算于输入电流的辐射阻抗)为1inZZm(267)如果振子1为半波振子，则输入电流就是波腹电流两个振子的电流幅度比m和相位差α，取决于无源振子的自阻抗22Z(与l2λ《天线原理与设计》讲稿王建89和a2λ有关)、互阻抗12Z(与dλ，1lλ，l2λ有关)，以及接入无源振子的可调电抗XL改变m和α，都会引起二元阵方向图的变化因此可以采用改变无源振子长度、两振子间距和可调电抗的办法，来调整二元阵的方向图22]inRan[(2212222ininX1222ininR2222an(RRan()arX−)Xλ>22Xλ12mX12an(12)mmXR02l22mX012(12)mmarctrctan(−λ2书上P41图217给出了半波振子二元阵的H面方向图随无源振子的阻抗相角arct及间距d的变化22)inLXX+若将无源振子的可调电抗短路XL=0，则2mRX+=+(268)1212arctctininininαπ=+(269)2无源振子可作引向器和反射器调节无源振子的长度及两振子间距及可变电抗，如果使0απ<<，则二元阵的方向图最大值指向激励振子方向，无源振子就为反射器；若使2πα<<π，则二元阵方向图最大值指向无源振子方向，无源振子就为引向器若不计可变电抗，这时的电流幅度比和相位差见式(268)和(269)，则(1)当无源振子臂长l24时(大得不多)：有，，若间距d=(01504)0m>2222arctan()0mmXR>，由前面“平行排列半波对称振子互阻抗”图有，R，arct0<12m0><，则0απ<<，即无源振子上的电流相位超前于激励振子的电流相位，此时无源振子起反射器作用(2)当4λ<时(小得不多)：有<，，若间距d=(01504)2222arctan()0mmXR<λ，使2222)0mmXRanXRa>，则2πα<<π，即无源振子上的电流相位滞后于激励振子的电流相位，此时无源振子起引向器作用总之，在间距d=(01504)内，无源振子作为反射器时的长度l，应略大于串联谐振长度，作为引向器时的长度l，应略小于串联谐振长度实际中应综合调整间距和振子长度，以便使无源振子具有良好的反射或引向作用2从含无源振子的二元阵，可以引伸出方向性较强的含多个无元振子组成的端射直线阵天线例如八木天线24对称振子阵的阻抗1阵列中各振子的辐射阻抗设天线阵中有n个单元，二元阵的耦合振子阻抗方程式(248)可推广到n元阵即：《天线原理与设计》讲稿王建90UI(270)1,1,2,nimjijjZi===,n可写成矩阵形式[][][]UZI=式中，[]，[]，[12(,,,)TnUUUU=12(,,,)TmmmnIIII=]Z为方阵即11112122122212nmnmnnnnnmUZZZIUZZZIUZZZI12n=方阵中的各元素,,1,2,,ijZijn=当j=i时iiZ表示第i个振子的自阻抗，当j≠i时ijZ表示第j个振子对第i个振子的互阻抗由式(270)等号两边同除以miI可得阵列中各振子的辐射阻抗11,,1,2,,nnmjriijiiijjjjimiIZZZZiI==≠′==+=n(271)式中，mjijijmiIZZI′=称为第j个振子对第i个振子的感应辐射阻抗当mjmiII=时，感应辐射阻抗就等于互阻抗对于电流等幅同相且单元几何尺寸相同的天线阵，式(271)可简化为1,1,2,nriijj,ZZi===n(272)上面各式中的辐射阻抗、自阻抗和互阻抗均是归算于波腹电流的假如阵列中有部分单元为无源振子，则在式(270)中相应的U为零2天线阵的总辐射阻抗天线阵的总辐射功率，等于各单元辐射功率的总和，即PΣ221111,11||||[22nnnnriimriimiiijiiijjiPPIZIZZΣ====≠]′===+(273)于是，归算于第k个振子波腹电流imI的总辐射阻抗为221||2||||nimriikmkmIP2ZZIIΣΣ===(274)若是由半波振子组成的阵列，且电流等幅同相，则有1nriiZZΣ==(275)即等幅同相的半波振子阵列的总辐射阻抗为各单元辐射阻抗之和《天线原理与设计》讲稿王建913天线阵的方向性系数由阵列的总辐射阻抗取其实部，可得阵列天线的总辐射电阻R()RZΣΣ=，若求得阵列的方向图函数(,)afθϕ及最大指向(,)mmθϕ，对称振子阵列的方向性系数可由下式计算2120(,)ammfDRθϕΣ=(276)【例22】在下图212中，图(a)为全波振子，图(b)为等幅同相的半波振子三元阵求其总场方向图函数(,)Tfθϕ，总辐射阻抗ZΣ和方向性系数D图212含无源振子的二元阵解：图(a)一个全波振子可以看作是一个共轴半波振子二元阵已知二元阵的垂直间距0H5λ=，平行间距d0λ=(1)二元阵总场方向图函数(,)Tfθϕ0(,)(,)(,)Tafffθϕθϕθ=ϕ式中，单元方向图函数：0cos(cos2)(,)sinfπθθϕθ=二元阵因子：(,)2cos(cos)2cos(cos2)2aHfβθϕθπθ==则22cos(cos2)cos(cos)1(,)sinsinTfπθπθθϕθθ+==直接由公式：cos(cos)cos(,)sinTllfβθβθϕθ−=，并代入l2λ=也可得到这个结果(2)总辐射阻抗ZΣ单元1的辐射阻抗为：1111r2ZZZ=+单元2的辐射阻抗为：221r22ZZZ=+因2211ZZ=，2112ZZ=，则2rZZ=，因此，只须求出11Z和12Z即可1r半波振子自辐射阻抗：11731425()Zj=+Ω互阻抗可查表(0H5λ=，d0λ=)求得：12264202()Zj=+ΩZZ11112995627()rZj=+=+Ω由式(275)得二元阵(即全波振子)的总辐射阻抗为《天线原理与设计》讲稿王建92ZZ12121991254()rrrZZjΣ=+==+Ω(3)方向性系数D总辐射电阻为：，全波振子的最大辐射方向在其侧向R()199()RZΣΣ==Ω2mθπ=，则()Tmf2θ=，由式(276)得2120(,)12042412199ammfDRθϕΣ×===注：把全波振子拆分为两个半波振子组成的二元阵，就可以方便地利用书上P369的“半波振子的互阻抗表”及已知的半波振子辐射阻抗值，计算全波振子的辐射阻抗及方向性系数图212含无源振子的二元阵图(b)(书上P42例24)已知垂直间距H0λ=，振子1和2之间的平行间距120d5λ=，振子1和3之间的平行间距13d1λ=(1)半波振子三元阵总场方向图函数(,)Tfθϕ0(,)(,)(,)Tafffθϕθϕθ=ϕ式中，单元方向图函数：0cos(cos2)(,)sinfπθθϕθ=三元阵因子：3sin(sinsin)2(,)1sin(sinsin)2adfdβθϕθϕβθϕ=(2)总辐射阻抗ZΣ振子1的辐射阻抗为：11112rZZZZ=++1振子2的辐射阻抗为：22122r23ZZZZ=++3振子3的辐射阻抗为：23132r33ZZZZ=++由于结构的对称性，则振子3的辐射阻抗与振子1的相同即31rrZZ=半波振子自辐射阻抗：Zj11731425()=+Ω互阻抗可查表求得：(121221230,05),125299()HdZZZjλλ=====−−Ω(13130,1),4177()HdZjλλ===+Ω1111213646303()rZZZZj=++=+Ω2212223481173()rZZZZj=++=−Ω《天线原理与设计》讲稿王建93三元阵的总辐射阻抗为ZZ1231221773433()rrrrrZZZZjΣ=++=+=+Ω(3)方向性系数D总辐射电阻为，三元阵的最大辐射方向在其侧向R()1773()RZΣΣ==Ω2mθπ=，0mϕ=，则(,)3Tmmfθϕ=，得2120(,)12096091773ammfDRθϕΣ×===另外，见书上P43例2525阵列中对称振子天线的输入阻抗当振子天线组成阵列之后，由于互耦的影响使得其输入阻抗与其单独存在时是不同的但是阵列中单元天线输入阻抗的计算仍然可采用两种近似方法，一种是等值传输线法，一种是直接归算法1、直接归算法(感应电动势法)前面我们采用感应电动势法计算了单个对称振子和耦合二元阵及n元阵列的辐射阻抗问题振子天线的辐射阻抗采用的定义为：22||rrZPI=(276)式中，P为振子天线的辐射功率；I为振子天线上的电流，这个电流通常可以选择为波腹电流和馈电点的输入电流如果选择波腹电流，上式就表示“归算于波腹电流的辐射阻抗”，如果选择输入电流，则上式表示“归算于输入电流的辐射阻抗”，即输入阻抗r如果天线无欧姆损耗，则inrPP=，即2211||||22ininmrIZI=Z22||||sinmrinrinIZZZ2Ilβ==(277)式中用了关系0()|sininzmIIzIlβ===05l当输入点电流为波节点时上式无效因此上式只适合于长度为λ<的振子对于n元阵，第k个振子归算于波腹电流的辐射阻抗为1,1,2,nmirkkiimkI,ZZkI===n(278)由式(277)可得第k个振子天线的输入阻抗为,2,1,2,,sinrkinkkZZklβ==n(279)式中，l为第k个振子的半长度k《天线原理与设计》讲稿王建942、等值传输线法阵列中振子单元上的电流分布仍然近似为正弦分布，因此仍然可采用等值传输线方法这种方法适合于任何长度的对称振子，但等效传输线中的参数因互耦影响应重新计算由书上式(235)，阵列中第k个对称振子的输入阻抗仍然可写作,,(1j)cot[(j)]inkckkkkZZlαβαβ′′′=−+(280)式中，,ckZ′和kα′分别为第k个振子的特性阻抗和衰减常数，2βπλ=为相位常数若为孤立振子时，特性阻抗可由书上式(223)或(231)计算，衰减常数可由书上式(233)计算但是在阵列中，第k个振子要受其它振子的互耦影响，其特性阻抗和衰减常数应该修正(1)特性阻抗的修正设rkX′为除本振子以外的其它振子对此振子的感应电抗的总和1,Im()nrkkiiikXZ=≠′=′(281)式中求和部分为下式中除自阻抗之外的部分11nnmirkkikkkiiimkI,ikZZZZI==≠′==+(282)mikikimkIZZI′=为第i个振子对第k个振子的感应辐射阻抗把rkX′均匀分布在整个振子上做法是设单位长度上的附加电抗为1X，则221011()22lkmkrkIzXdzIX′=∫代入sin()kmkIIlzβ=−，积分后得12sin(2)[1]2rkkkkXXlllββ′=−(283)由书上P31式(224)，在分布电感的感抗上加上1X得111,0101ckkkLXXZZCZβ+′′==+′(284)式中，011120[ln(2)1]kClρ′==kk−ZL为对称振子的平均特性阻抗(2)衰减常数的修正把书上式(233)中的rR改成rkR，0Z′改成,ckZ′，l改成l即可，即k《天线原理与设计》讲稿王建95,sin(2)[1]2rkkkckkkRlZllαββ′=′−(285)式中，rkR是式(282)的实部，即R()rkrkRZ=同样，当振子长度l04kλ<时，可由下式计算输入阻抗,,2cot()sinrkinkckkkRZjZllββ′=−(286)26地面对天线阻抗的影响前面我们讨论了地面对天线方向图的影响，这里讨论地面对天线阻抗的影响天线方向图及阻抗的改变将直接影响到天线的方向性系数、增益等地面的影响这里采用镜像法分析近地天线常见的有三种情况，即近地水平天线、近地垂直天线和垂直接地天线，如下图213所示也可以是由它们组成的近地阵列天线(a)水平天线(b)垂直天线(c)垂直接地天线图213几种典型的近地天线1、垂直接地天线如上图(c)所示垂直接地天线考虑镜像之后，其总场就是一个自由空间对称振子的贡献，但只有上半空间有辐射场此时由坡印亭矢量法求得的辐射电阻，只需对上半空间积分，即2220030(,)sinrRdfππdϕθϕθθπ=∫∫(287)可以证明：长为l的垂直接地天线的辐射电阻rgR，是全长为2l的自由空间对称振子辐射电阻rR的一半即12rgrRR=(288a)如用感应电动势法求其辐射阻抗，也可以证明：长为l的垂直接地天线的辐射阻抗rgZ，是全长为2l的自由空间对称振子辐射阻抗rZ的一半即12rgrZZ=(288b)《天线原理与设计》讲稿王建96自由空间半波振子(2l2λ=)的辐射阻抗为：731425()rZj=+Ω则长为l4λ=的垂直接地天线的辐射阻抗为：36552125()rgZj=+Ω若用等效传输线法求其输入阻抗，其平均特性阻抗应为0260[ln()1]lZρ′=−(289)此时按书上P33式(236)计算的输入阻抗也为自由空间全长为2l的对称振子的输入阻抗的一半垂直接地天线后面还将详细介绍2、近地垂直和水平天线设近地天线上的波腹电流为mI，自阻抗为11Z，镜像电流波腹值为mI′，镜像天线与原天线的互阻抗为11Z′，则近地天线的辐射阻抗为1111mrmIZZI′Z′=+(290)(1)近地垂直天线见图213(b)其镜像天线为正像，正像的波腹电流mmII′=，则此天线的辐射阻抗为：1111rZZZ′=+(291)(2)近地水平天线见图213(a)其镜像天线为负像，负像的波腹电流mmII′=−，则此天线的辐射阻抗为：1111rZZZ′=−(292)3、近地垂直和水平二元阵情况近地二元阵考虑镜像之后，可看作是四元阵，如图214所示二元阵各单元的辐射阻抗为2121111211111mmmrmmmIII12ZZZZIIIZ′′′′=+++(293a)11221222122mmrmmIII2222mmZZZZZIII′′′′=+++(293b)式中，1mI、2mI分别为天线1和2上的波腹电流，1mI′、2mI′分别为镜像天线1和上的波腹电流′2′1122,ZZ分别是天线1和2的自辐射阻抗；1221,ZZ是天线1和2的互阻抗；11,22ZZ′′分别是天线1和2与其镜像间的互阻抗；12Z′、21Z′为天线1与天线2的镜像间的互阻抗《天线原理与设计》讲稿王建97(a)近地水平二元阵(b)近地垂直二元阵图214近的水平和垂直二元阵(1)近地水平二元阵有11mmII′=−，2mII′=−，由式(293a)和(293b)得2m21111112121(mrmI)ZZZZZI′=−+−′(294a)122121222()mrmI22ZZZZZI′′=−+−(294b)若二元阵中有一个天线无源，如设天线2无源，，则20rZ=1222222121()(mm)IIZZZZ′′=−−，又因21122121,ZZZZ′′==，得21212111112222(rZZZZZZZ)′−′=−−′−(295)(2)近地垂直二元阵有11mmII′=，22mII′=，则得m21111112121(mrmI)ZZZZZI′=+++′(296a)122121222()mrmI22ZZZZZI′′=+++(296b)如果近地二元阵各单元电流等幅同相1m2mII=，则上面的表达式就简单了各阻抗元素可查表求得，从而可计算各单元的辐射阻抗，近地二元阵的总辐射阻抗就可确定(1r2rZZZΣ=+)，若已知近地二元阵的方向图函数，就可由式(276)计算近地二元阵的方向性系数书上28节“圆柱天线理论”不作要求